Т4 Управление в ДС

упорядоченностью, устойчивостью и диссипацией (рассеиванием энергии - Л. К.) возникает в высшей степени нетривиальная связь. Чтобы четче выделить эту связь, мы будем называть упорядоченные конфигурации, появляющиеся вне области устойчивости ... диссипативными структурами (т. е. определенными конфигурациями диссипативных процессов в системе - Л. К.) ... Такие структуры могут существовать вдали от равновесия лишь за счет достаточно большого потока энергии и вещества ... Диссипативные структуры являют собой поразительный пример, демонстрирующий способность неравновесности служить источником упорядоченности".

В закрытых равновесных физических системах диссипативные процессы устраняют любую упорядоченность - устанавливается термодинамическое равновесие. В нелинейных открытых системах диссипация выступает в совершенно ином качестве. Ее совместное действие с другими процессами приводит к возникновению ярко выраженных структур движения, она влияет на их тип, форму, размеры19.

Формы движения в нелинейных открытых системах по типу диссипативных структур имеют характерные особенности, среди которых необходимо указать следующие.

Установившееся движение здесь обычно является устойчивым, при этом различные начальные отклонения со временем выходят на один и тот же установившейся режим. Для линейных систем и целого класса нелинейных систем, например, для замкнутых физических систем установившейся режим характеризуется равновесным состоянием простой однородной структуры. Однако данная ситуация для многих открытых нелинейных систем является не правилом, а исключением. Здесь установившийся режим зачастую является более сложным. Его математическим образом является предельное множество, к которому притягиваются траектории в фазовом пространстве системы. Это предельное множество называют аттрактором.

Исследования показывают, что во многих случаях установившиеся режимы в нелинейных диссипативных системах обладают инвариантногрупповой структурой. Например, это могут быть фракталы - структуры, подобные себе, на разных уровнях иерархии декомпозиции по принципу "целое-части".

Наличие нескольких аттракторов дает новые возможности управления процессами в нелинейных диссипативных системах. Здесь в

19 Интересно отметить, что в глобальном плане стремление закрытых физических систем к термодинамическому равновесию служит обоснованием концепции роста энтропии и "тепловой смерти" Вселенной, как конечного этапа ее развития. Напротив, теория самоорганизации открытых физических систем служит основой концепции последовательной структуризации процессов при развитии Вселенной.

378

фазовом пространстве системы можно выделить границы, разделяющие области притяжения различных аттракторов. Малое изменение начальных данных вблизи этой границы может привести к качественно различному поведению на развитой стадии. Это свойство является общим для многих открытых нелинейных систем. В большинстве их них есть определенная область фазового пространства, где система особо чувствительна к внешним воздействиям (например, по типу резонансных явлений, динамического хаоса и др.). При этом амплитуда и продолжительность воздействий менее важны, чем их целевая направленность, согласованная с "готовностью" системы двигаться в соответствующем направлении. Эта "готовность" системы может быть создана искусственно, как один из способов управления нелинейными диссипативными системами. Подобный подход дает новые инструменты управления сложными нелинейными системами.

Вычислительное моделирование при исследовании диссипативных структур и явлений самоорганизации в нелинейных системах обладает характерными особенностями. Здесь необходимо органично сочетать аналитические методы исследования с вычислительными расчетами. Аналитические исследования позволяют произвести декомпозицию процессов в сложной нелинейной системе, выделить области притяжения, разделить быстрые и медленные движения, движения на аттракторах и др. В результате будет получена совокупность вычислительных моделей, позволяющая на основе вычислительных экспериментов, проводить анализ процессов со сложной структурой для исследуемых систем.

_______________________________________

Рассмотрим основные особенности процессов самоорганизации в нелинейных динамических системах в соответствии с работой А.А. Колесникова20.

Сначала рассмотрим известный пример21.

Пусть задана нелинейная динамическая система, поведение которой описывается уравнениями:

	x(t) 1x xy,	(1)
	y(t) y x2.
	2

20Колесников, А.А. Синергетические методы управления сложными системами: Теория системного синтеза / А.А. Колесников. – М.: КомКнига, 2006. – 240 с.

Колесников Анатолий Аркадьевич, заслуженный деятель науки и техники РФ, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой синергетики и процессов управления Таганрогского государственного радиотехнического университета. Труды по синергетической теории управления.

21Хакен Г. Информация и самоорганизация. Макроскопический подход к сложным системам / Г. Хакен. – М.: Мир, 1991; изд. 2.– М.: КомКнига, 2005.

379

Для данной нелинейной системы при условии 2 1 постоянная времени 2 1 2 по координате v будет относительно «малой», а сама координата y системы (1) будет представлять «быстрые» движения,

соответственно координата x - «медленные» движения. Асимптотически при 2 0 система уравнений (1) будет иметь вид

						x(t) 1x xy,		(2)
						0 y x2.
							2
Стационарные точки системы определяются из уравнений
						0 1x xy,		(3)
						0 y x2.
							2
	На		рис.		4.6.1	изображен	фазовый портрет системы	(1) при
2	1 100 . Из рисунка видно, что траектории сначала устремляются к
состоянию, которое представлено уравнением
						x2 y 0 ,		(4)
							2
а	затем		движутся вдоль него				к стационарным точкам ,	ys 1 и
					1 .
xs	1 2 , ys					В теории самоорганизации рассмотренный процесс

называется кооперативным процессом, а уравнение (4) – уравнением кооперативного состояния.

1 у
0,5
уs
0
-0,5
-1	x

-2	-xs	0	xs	2
Рис. 4.6.1. Фазовый портрет системы (1) при 2 / 1					100
Таким образом, в системе (1) при 2 1 возникают кооперативные
процессы, основанные	на	приближении	y(t) 0	и,	следовательно,

представлении ее движения на финишном этапе так называемым эволюционным уравнением

380

		x(t) x 1				x3 ,					(5)
				1	2
записанным относительно «медленной» переменной								x . Этой переменной
подчинена «быстрая» переменная					y в виде уравнения кооперативного
состояния (4). В теории самоорганизации подобные «медленные»
переменные представляют собой параметры порядка.
Необходимо отметить, что эволюционными уравнениями вида (5)
описывается обширный класс систем (физических, химических,
биологических и др.).
Согласно положениям теории самоорганизации в динамических
системах, уравнение (5) имеет точку бифуркации – раздвоения решений
при критическом значении			x 0 .		В этой точке в результате действий
малых флюктуаций, обуславливающих хаотическое состояние системы,
движение системы разветвляется. При этом дальнейшее движение
происходит по одной из двух возможных ветвей асимптотически
устойчивого движения, т. е. может возникнуть спонтанная
самоорганизация.		Описанное		явление		называется		бифуркацией		типа
«вилка».
Явление бифуркации решений для системы (1) зависит от
соотношения параметров 1 , 2 . На рис. 4.6.2 изображен фазовый портрет
системы (1) при 2		1 1. Из рисунка видно, что траектории здесь сразу
устремляются	к	стационарным			точкам		xs	1 2 ,	zs 1 ,		а
кооперативные процессы заметно ослабляются.
1
уs
0
-1
	-2		-xs		0		xs	2
					381

Рис. 4.6.2. Фазовый портрет системы (1) при 2 / 1 1

Явление спонтанной самоорганизации в динамических системах может быть рассмотрено в общем случае.

Пусть поведение объекта описывается системой дифференциальных уравнений, для которого состояния можно разделить на две части: «медленные» x(t) и «быстрые» v(t) . Тогда движение объекта может быть описано в виде двух дифференциальных уравнений:

	x(t) F1(x, v)			(6)
	v(t) F2 (x, v).
Далее предполагается, что существует некоторое инвариантное
множество
v Ф(x)				(7)
такое, что на нем удовлетворятся второе уравнение системы (6), т. е.
	d	Ф(x) F (x, v) 0 .
	dt		2
При указанных условиях исходная система (6) дифференциальных
уравнений становится эквивалентной дифференциальному уравнению
x(t) F1(x, Ф(x)) .				(8)
Уравнение (8) – это эволюционное уравнение, а x				– параметр

порядка. Для возникновения указанной ситуации на асимптотическом этапе движения исходной системы необходимо, чтобы многообразие (7) было притягивающим, т.е. асимптотически устойчивым. Такое асимптотически устойчивое инвариантное многообразие, содержащие аттрактор исходной системы, называется инерциальным многообразием22. Обратим внимание на то, что движение динамической системы на аттракторе (8) обычно значительно проще по сравнению с общим случаем

(6). Этот эффект объясняется тем, что при наличии инерциального многообразия можно опустить переходной процесс и рассматривать движение системы только на указанном многообразии. В этом случае переменные, входящие в исходную систему, можно разделить на две группы: «существенные» – x(t) , определяющие динамику, и

«несущественные» – v(t) , которые подчиняются первым и следуют за ними.

Применительно к объекту, который описывается системой (1), соотношение (4) является инвариантным многообразием типа (7), а х(t) – параметром порядка. Движение на указанном многообразии описывается эволюционным уравнением (5) типа (8).

22 Компьютеры и нелинейные явления: Информатика и современное естествознание / под ред. А.А. Самарского. – М.: Наука, 1988.

382

Как указывается в работе А. А. Колесникова23, «параметры порядка в синергетике формируют макроскопическую структуру нелинейной системы. При этом поведение любой из координат … системы однозначно определяется параметрами порядка. Это означает, что движение системы в ее фазовом пространстве управляется параметрами порядка и подчинено именно им. В этом и состоит принцип подчинения в синергетике. Суть подчинения состоит в том, что поведение системы определяется иерархией масштабов времени между «ускоренными» процессами изменения некоторых переменных и «медленными» процессами эволюции параметров порядка. Обычно число параметров порядка существенно меньше числа координат системы, т. е. в результате перехода к параметрам порядка существенно сокращается число степеней свободы системы, что приводит к значительному сжатию информации. Однако оказывается, что отдельные координаты …, объединяясь в кооперативное движение, в свою очередь, оказывают воздействие на сами параметры порядка. Это означает, что параметры порядка, с одной стороны, формируют движение отдельных координат системы, а с другой стороны, отдельные координаты в совокупности порождают параметры порядка. В синергетике описанное явление называют круговой причинностью. Объединяясь в параметры порядка, отдельные координаты системы стремятся найти консенсус24. Иначе говоря, подчинение и поиск согласия являются двумя базовыми свойствами синергетического подхода».

Следует также отметить, что механизмы формирования параметров порядка во многом опираются на приближенный метод «малого» параметра в теории нелинейных дифференциальных уравнений, которому посвящена обширная литература.

Для того чтобы показать возможность направленной самоорганизации в системе (1) со свойствами, определяемыми эволюционным уравнением (3), в работе25 вводится в рассмотрение обратная связь и :

x(t) 1x xy,

y(t) 2 y x2 u.

Далее, вводится следующая макропеременная:

1(x, y) x2 2 y .

(12)

(9)

Функция (9) на финишных этапах движения системы (1) должна быть согласно (4) равной нулю. Для того чтобы удовлетворить условию

23Колесников, А.А. Синергетические методы управления сложными системами: Теория системного синтеза / А.А. Колесников. – М.: КомКнига, 2006. – 240 с.

24Пригожин, И. От существующего к возникающему / И. Пригожин. – М.: Наука, 1985; изд. 3.– М.: КомКнига, 2006.

25Колесников, А.А. Синергетические методы управления сложными системами: Теория системного синтеза / А.А. Колесников. – М.: КомКнига, 2006. – С. 97–98.

383

1(x,	y) 0 после выхода				системы (1) на финишный этап движения,
вводится простейшее функциональное уравнение
					T1 1(t) 1 0.
	Тогда на основе подстановки сюда функции 1(x, v) (9) с учетом
исходных уравнений (1) находится u1 – обратная связь:
	u		2 1		1 x2	2	x2 y y	1			.
										1
	1		2			2		2T1
						2

Далее на основе подстановки u1					в	(1)		находятся уравнения
сконструированной системы:
x(t) 1x xy,
y(t)	2 1	x2	2	x2 y	1		.	(10)
	2		2			1
					2T1
Система (10) имеет состояние					1	0		как притягивающее

многообразие – аттрактор. Для того чтобы это показать, находится из первого и второго уравнений (10) величина dt и подставляется в систему (10) в следующей симметричной форме:

		dt	dx						2T1dy			.
			x xy					2T ( x xy)x			1
			1			1			1
Положив функцию 1 0 , после интегрирования находится частный
интеграл x2 y ,		который			совпадает с выражением								1	0	(9).	Это
2
означает, что система (10) имеет асимптотический аттрактор 1 0 .
Система (10), стартуя из произвольных начальных условий x0,																v0 и,
следовательно,	0	x2 y			,	неизбежно через				время (4 5)T					должна
		0	2	0										1
выйти на аттрактор 1			0		–		притягивающее			многообразие.					Другими

словами, ее движение на финишном этапе будет обязательно протекать по

многообразию

1 0

(9) или

в его

окрестности.

Это

движение

описывается уравнением

x

(t) x

1

x3 .

(11)

1

2

Дифференциальное уравнение (11) описывает движение системы

(10) на аттракторе 1(x,

y) 0 , т. е. на ее финишном этапе.

На рис.

4.6.3 изображен

фазовый

портрет

системы

(10) при

2 / 1 100 и

T1 10 / 2 ,

из которого

видно, что траектории сначала

устремляются к аттрактору 1 0

(9),

а затем движутся вдоль него к

ys 1 , т.

стационарным

точкам

xs

1 2 ,

е.

имеет место

кооперативный процесс. Аналогично на рис. 4.6.4 изображен фазовый портрет системы (10) при 2 / 1 1 и T1 0,5 / 2 , из которого следует, что

384

в отличие от случая u1 0 (рис. 4.8.2), траектории сближаются с аттрактором 1 0 (9), а затем движутся вдоль него к стационарным точкам xs 1 2 , ys 1 , т. е. по-прежнему возникают кооперативные

явления. Система (1) в установившемся режиме может равновероятно находиться в одном из двух возможных состояний: xs 1 2 , ys 1 . В

системе (10) также устанавливаются эти состояния, при этом функция u1s 0. В целом это означает полную идентичность поведения систем (1) и

(10) на этапе самоорганизации».

Итак, в системе может быть направлено сформирована желаемая структура – аттрактор, на которой возникает процесс самоорганизации. Такое явление называется целенаправленной самоорганизацией. Отмечается также, что в системе

x(t) 1x xy,	(12)
y(t) y x2	u.
2

за счет выбора соответствующих обратных связей u(x, z) можно обеспечить и другие виды бифуркации, т. е. иные типы самоорганизации.

В синергетике, помимо описанной выше бифуркации типа «вилка», распространена также транскритическая бифуркация26, уравнение которой относительно параметра порядка имеет вид:

x(t) x x2 .			(13)
	1	1
и представляет собой широко		известное	в экологии логистическое

уравнение, которое, в свою очередь, является частным случаем уравнения Бернулли.

26 Хакен, Г. Информация и самоорганизация. Макроскопический подход к сложным системам / Г. Хакен. – М.: Мир, 1991; изд. 2. – М.: КомКнига, 2005.

Николис Г. Познание сложного / Г. Николис, И. Пригожин. – М.: Мир, 1990; изд.

2. – М.: УРСС, 2003.

Компьютеры и нелинейная являения: Информатика и современное естествознание / под ред. А.А. Самарского. – М.: Наука, 1988.

385

2	у
		ψ1=0
1
уs
0
-1
-2									x
	-3	-2	-xs	0	xs		2		3
Рис. 4.6.3. Фазовый портрет системы (10) при 2 / 1						100 и T1			10 / 2
2	у
1
уs
					ψ1=0
0
-1
-2									x
-3		-2	-xs	0	xs		2		3
Рис. 4.6.4. Фазовый портрет системы (10) при 2 / 1							1 и T1	0,5 / 2
				386

Транскритическая бифуркация невозможна в системе (12) при любом сочетании параметров 1 , 2 в случае u 0 . Однако, за счет выбора соответствующей функции u(x, y) , указанную бифуркацию можно обеспечить. С этой целью в работе27 вводится макропеременная

2 1x y ,

подставив которую в уравнение

T2 (t) 2 0 ,

можно получить с учетом уравнений (1) следующую обратную связь:

u2 1x xy 2 y x2 1 2 .

T2

Подставив 2 0 , т. е. v 1x , в первое уравнение системы (1), можно получить уравнение

x (t) 1x 1x2 ,

которое описывает движение замкнутой системы на многообразии 2 0 и точно совпадает с (13). Это означает, что в системе (1) с обратной связью

на финишном этапе через время (4 5)T2	возникнет	движение		на
аттракторе 2 0 уже с транскритической бифуркацией (13). На рис. 4.6.5
изображен фазовый портрет системы с обратной связью u2		,	из которого
видно, что траектории сначала устремляются к аттрактору 2			0 , а затем
движутся вдоль него к стационарной точке	xs 1 / 1 ,	ys 1 , т.		е.
возникает кооперативный процесс с транскритической бифуркацией.
Если ввести макропеременную

3 3 x2 y x

и подставить ее в функциональное уравнение

T3 (t) 3 0,

то тогда в силу исходных уравнений (1) может быть найдена следующая обратная связь:

u y x2			x2	( x xy)					1			.
											3
3	2		x2	1					T
									3
Подставив теперь эту обратную связь в (12), можно получить
уравнения замкнутой системы:
x(t) 1x xy,
y(t) x		2	( xy)		1			.				(14)
							3
	x2		1		T
				3

27Колесников, А.А. Синергетические методы управления сложными системами: Теория системного синтеза / А.А. Колесников. – М.: КомКнига, 2006. – С. 100–101.

387