UMP_grif_UMO_MET_2014

Температурный коэффициент диэлектрической проницаемости сложного диэлектрика можно определить дифференцированием

	уравнения Лихтенеккера по температуре:					1 d					1 d 1			2		d 2
						dT
											dT				2	dT
											1
	или 1	2	2	.
	1				2					1 2
	Решая систему уравнений 0 1							2	,			1, нахо-
				1

дим:

объемную концентрацию диэлектрика с диэлектрической проницаемостью 1

		2		15 10 4	0,882 ;
		2 1
1				15 10 4 2 10 4

объемную концентрацию диэлектрика с диэлектрической проницаемостью 2

2 1 1 1 0,882 0,118;

диэлектрическую проницаемость композиционного диэлектрика

e 1 ln 1 2 ln 2 2,72 0,882 ln40 0,118 ln80 43,53.

Задание 30. Между плоскими электродами площадью S 2 10 4 м2 размещены соединенные последовательно две пла-

стины из различных диэлектрических материалов. Параметры одного из диэлектриков: диэлектрическая проницаемость 1 2,

удельное электрическое сопротивление	106	Ом м, толщина
1

d1 0,5 10 2 м. Параметры второго диэлектрика: диэлектрическая проницаемость 2 3, удельное электрическое сопротивление2 108 Ом м, толщина d2 2 10 2 м. В момент времени t 0 к электродам подключается постоянное напряжение U 1,6 103 В.

Определить напряженность электрического поля в диэлектриках в моменты времени t0 0 и t . Определить напряженность

31

электрического поля в диэлектриках при t , если к электродам приложено переменное напряжение U~ 16 В частотой f 5 106 Гц.

Решение. При постоянном напряжении в момент времени t0 0

напряженность электрического поля в обоих диэлектриках E1 E2 0, так как поляризация в них еще не произошла.

В общем случае распределение напряжения между слоями диэлектриков определяется модулями полных сопротивлений слоев:

						X 1		2			1			1		1			2			1
											2
U		Z				C1										XC	2					2
												R1										R2
1		1																							,
														1
U2		Z2							2							1			2			1
					XC1							1				XC1
																						R2
												2
						2						R2										1

где R1, R2 – активные сопротивления слоев слоистого диэлектрика; XC1 , XC2 – емкостные сопротивления слоев слоистого диэлек-

трика.

При t распределение постоянного напряжения между пластинами диэлектриков определяется их активными сопротивле-

ниями R1 и R2 : U1 R1 . В случае плоского образца материала

U2 R2

диэлектрика, расположенного в однородном электрическом поле, объемное электрическое сопротивление R образца рассчитывается по формуле

R dS ,

где – удельное объемное электрическое сопротивление, Ом м;

d– толщина образца, м; S – площадь электрода, м2 . Тогда с учетом равенства U U1 U2 получим

U		U1		R		d		106 0,5	10 2	0,25 10 2 .
1				1		1 1		108 2	10 2
U2
		U U1		R2		2d2

32

Находим падение напряжения U1 в слое диэлектрика толщиной d1 :

	U1	0,25 10 2U		0,25 10 2 1,6	103	3,99 В.
		1 0,25 10 2		1 0,25 10 2

Падение напряжения U2 в слое диэлектрика толщиной d2

U2 U U1 1,6 103 3,99 1,596 103 В.

Определим напряженности электрического поля в каждом из диэлектриков:

	E1		U1				3,99			798	В
											м;
					d1			0,5 10 2
E		U2					1,596 103				3	В
							2 10 2		79,8 10				.
		d2										м
2

Определим емкостные сопротивления слоев диэлектрика:

				XC					1						d1
								2 fC1					2 f 0 S
					1
				0,5 10 2														4,498 104 Ом;
	2		3,14 5 106 8,85 10 12								2 2 10 4
				X	C2				1						d2
										2 fC2					2 f 0 S
					2	10 2													11,995 104 Ом.
	2			3,14 5 106 8,85					10 12 3					2 10 4

Определим объемные сопротивления слоев диэлектриков:

R

d1

106

0,5 10 2

25 106 Ом;

1 1 S

2 10 4

R

d2

108

2 10 2

1010 Ом.

2

2

S

2 10 4

Z

XC

Так как X

C

R

и X

C

R , то

1

1

, и тогда

1

2

Z2

XC2

1

2

U1

U1

XC

4,498 104

0,375,

~

~

1

11,995 104

U2~

U~

U1~

XC2

33

откуда

U 0,375U~				0,37516 4,36 В;
1	1	0,375		1 0,375
~

U2~ U~ U1~ 16 4,36 11,64 В.

Теперь можем определить напряженности электрического поля в диэлектриках при переменном напряжении U~ 16 В часто-

той f 5 106 Гц:

E

U1

4,36

872

В

E

U2

~

11,64

582

В

~

;

.

d1

0,5

10 2

м

d2

2 10 2

м

1~

2~

Задание

31.

При

изменении

температуры от

T1 333 К

до T2 400 К удельное электрическое сопротивление фарфора

уменьшается от значения	1013 Ом м	до значения	2
1

1011 Ом м. Определить температурный коэффициент удельного электрического сопротивления и удельное электрическое сопротивление фарфора при температуре T3 293 К, полагая коэффициент постоянным в рассматриваемом диапазоне темпе-

ратур.

Решение. При рассмотрении зависимости удельного электрического сопротивления от температуры можно использо-

вать приближенную формулу вида 0exp T T0 , где 0 –

удельное объемное электрическое сопротивление при температуре T T0 , например при температуре T0 273 К; – температурный

коэффициент удельного электрического сопротивления.

Тогда при температуре T1 333 К удельное электрическое сопротивление фарфора 1 0exp T1 T0 , а при температуре

T2 400 К – 2 0exp T2 T0 .

34

					T0
Следовательно,		2		0exp T2					,
							exp T2	T1
		1		0exp T1	T0

откуда получим выражение для определения удельного электриче-

	ского сопротивления				1	ln	2 .
				T	T
				2	1		1

Подставляя числовые значения, получаем значение температурного коэффициента удельного электрического сопротивления фарфора:

				1	ln	1011	0,0687	К 1.
				400 333		1013

Определим удельное электрическое сопротивление 3 фарфора при температуре T3 293 К:

3 1 exp T3 T1

1013 exp 0,0687 293 333 1,56 1014 Ом м

или

3 2 exp T3 T2

1011 exp 0,0687 293 400 1,56 1014 Ом м

Задание 32. При температуре T1 293 К тангенс угла диэлектрических потерь ультрафарфора tg T1 5 10 4 , а при температуре T2 373 К тангенс угла диэлектрических потерь tg T2 10 10 4 . Определить tg T3 ультрафарфора при температуре T3 473 К.

Изменением диэлектрической проницаемости ультрафарфора в рассматриваемом диапазоне температур пренебречь.

Решение. Потери в ультрафарфоре обусловлены сквозной электропроводностью, поэтому тангенс угла диэлектрических потерь возрастает с температурой по экспоненциальному закону:

tg T			, где	tg T0	– тангенс угла диэлектри-
	tg T0 exp tgδ T T0

ческих потерь при температуре T0 , например при T0 273 К; tg – температурный коэффициент tg .

35

Температурный коэффициент угла диэлектрических потерьtg найдем из выражения

	tgδ	ln tg T2 ln tg T1		ln 10 10 4 ln 5 10 4	8,66 10 3	К 1.
		T2 T1		373 293

Тангенс угла диэлектрических потерь ультрафарфора при температуре T3 473 К:

tg T3 tg T1exp tgδ T3 T1

5 10 4 exp 8,66 10 3 473 293 23,76 10 4.

Задание 33. Между латунными электродами площадью S по-

мещена керамическая пластина толщиной d 5 10 3 м, диэлектрическая проницаемость керамической пластины 7 , тангенс угла

диэлектрических потерь при температуре T0 293 К tg T0 2 10 4 ,

температурный		коэффициент угла			диэлектрических		потерь
tg 5 10 3	К 1. Определить допустимое напряжение U между
электродами	на частоте		f	5 106 Гц,	если	температура	нагрева
керамической		пластины	в	электрическом		поле не превышает

T1 373 К. Коэффициент теплоотдачи от диэлектрика во внешнюю среду 10 мВт2 К , температура окружающей среды Tокр 303 К.

Решение. В керамических материалах с диэлектрической проницаемостью 10 преобладающими являются потери сквозной электропроводности. Диэлектрические потери (электрическую мощность, затрачиваемую на нагрев диэлектрика, находящегося в электрическом поле) можно рассчитать по формуле

P U 2 C tg T ,

где 2 f – круговая частота; C – электрическая емкость; tg – тангенс угла диэлектрических потерь.

36

Поскольку потери в керамической пластине обусловлены сквозной электропроводностью, то тангенс угла диэлектрических потерь возрастает с температурой по экспоненциальному закону:

tg T tg T0 exp tgδ T T0 ,

где tg T0 – тангенс угла диэлектрических потерь при температуре

T0 ; tg – температурный коэффициент tg .
Поскольку C	0 S	, 2 f	и tg T tg T0 exp			,
	d			tgδ T T0

диэлектрические потери в керамической пластине при температуре T1 373 К рассчитываются по формуле

	2	SU 2 f
P	0
		d	tg T0 exp tgδ T1	T0 .

Мощность, отводимая от диэлектрика, при температуре нагрева керамической пластины T1 373 К и температуре окружающей

среды Tокр 303 К определяется выражением

Pотв 2 S T1

Tокр .

В термодинамическом равновесии P Pотв:

2 0 SU 2 f tg T

exp tgδ T1 T0

2 S

T1 Tокр , откуда

до-

d

0

пустимое напряжение U между электродами на частоте f

U

d T 1 Tокр

.

0 f

tg T0 exp

tgδ T1

T0

Подставляя

числовые

значения 10

Вт

,

d 5 10 3

м,

10 12 Ф

м2 К

T

373 К, T

303 К,

0

8,85

, 7 ,

f 5 106 Гц,

1

окр

м

2 10 4 ,

5 10 3

К 1, T

tg

tg

293 К, находим

T

0

0

37

U	10	5 10 3 373 303
	3,14 8,85 10 12 7 5	106 2 10 4	exp 5	10 3	373 293
		3,47 103	В.

Задание 34. Спонтанная поляризованность монокристаллов титаната бария при комнатной температуре равна 0,25 Кл/м2. Предполагая, что причиной возникновения спонтанной поляризации является только смещение иона титана из центра элементарной кубической ячейки, определить это смещение. Период идентично-

сти a решетки принять равным 0,4 10 9 м.

Решение. Поляризованность есть электрический момент еди-

ницы объема: P q x , где q – заряд иона титана; x – смещение

V0

иона под действием электрического поля; V0 – объем элементарной ячейки.

	Заряд иона титана Ti4						q 4 q	41,6 10 19	Кл. Объем эле-
							e
	ментарной ячейки V			a3 .
		0				0,4 10 9 3
		PV			0,25			0,25 10 9
	Тогда x	0							м.
					4 1,6		10 19
		q

Задание 35. В пространстве между обкладками двухслойного конденсатора находится пленка полиэтилена и пропитанная

конденсаторная бумага одинаковой толщины d1 d2 20 10 6 м. Определить напряженности электрического поля E1, E2 и падения напряжения U1, U2 в каждом слое двухслойного конденсатора. Известны диэлектрические проницаемости и удельные объемные

сопротивления		этих материалов: полиэтилена					– 1	2,3;
	1014 Ом м;	конденсаторной бумаги –	2	4,0;		2	108	Ом·м.
1

Расчет провести для постоянного напряжения 100 В и переменного напряжения амплитудой 100 В.

38

Решение. Если E1 и E2 – напряженности электрического поля, U1 и U2 – падения потенциала в каждом слое, то на переменном

напряжении справедливо соотношение U1	C2	2d1 , где	C –
U2	C1	1d2	1

емкость конденсатора с диэлектриком из полиэтилена; C2 – ем-

кость конденсатора с диэлектриком из конденсаторной бумаги. Очевидно также, что U U1 U2 .

После преобразования имеем:

													2			d U														4 20 10 6 100
	U1																1																		63,49 В;
									1d2							2d1									2,3 20 10 6						4 20 10 6
																d U														2,3 20 10 6 100
	U			2									1				2																			36,51 В
											1d2 2d1																2,3			20 10 6	4 20 10 6
или U2 U U1															100 63,49 36,51 В;
E	U1														2U															4 100						3,17 106						В;
1		d1										1d2 2d1																2,3 20 10 6 4 20 10 6														м
	E2											1U																		2,3 100					1,83 10					6	В
																																									м .
						1d2 2d1																2,3 20 10 6 4 20 10 6
На					постоянном																					напряжении					справедливо отношение
U1	R1							1d1						, где R												– сопротивление слоя полиэтилена;																R –
U2	R 2						2d2														1																					2
сопротивление слоя конденсаторной бумаги.
После преобразования имеем:
													d U																	1014 20 10 6 100
	U1										1					1																					100 В;
								1d1					2d2											1014						20 10 6	108	20 10 6
															2		d U													108 20 10 6		100
	U2																2																					0 В;
										1d1 2d2																		1014 20 10 6 108 20 10 6
E	U1															1U														1014 100									5 106			В;
1		d1										1d1 2d2																1014 20 10 6 108 20 10 6														м

39

		U		U		108 100		В
E			2	2			5		.
	2	d2		1d1 2d2		1014 20 10 6 108 20 10 6		м

Задание 36. В комбинированном пленочном конденсаторе спиральной конструкции для получения высокой температурной стабильности емкости совместно используют диэлектрические пленки двух различных полимеров, имеющих разные знаки температурного коэффициента диэлектрической проницаемости . Од-

на из пленок полистирольная, другая – поликарбонатная. Пленки различной толщины. Пробивное напряжение U пр конденсатора

должно быть не менее 1000 В. Определить толщину каждой пленки, при которой температурный коэффициент емкости TKE близок нулю. Определить тангенс угла диэлектрических потерь tg с учетом

потерь только в диэлектрических пленках. Параметры диэлектрических материалов при температуре293 К:

полистирол –			2,5 2,6;				150 200 10 6 К 1;		E
		1							пр1
	В;					1
20 110 106			tg		2 4 10 4 ;
	м			1
							50 100 10 6	К 1;
поликарбонат		–		2	3,0;	2			E
	В								пр2
30 150 106		; tg 2			2 60 10 3 .
	м

Решение. Полагаем, что конструкция конденсатора представляет собой две тонкие диэлектрические ленты длиной L , на каждую из которых с одной стороны нанесен металлический слой толщиной. В таком комбинированном пленочном конденсаторе емкости двух диэлектрических слоев включены параллельно, поэтому экви-

валентная емкость конденсатора C C1							C2 , где C1 – емкость кон-
денсатора с диэлектриком из полистирола; C2								– емкость конденса-
тора с диэлектриком из поликарбоната.
Для комбинированного пленочного конденсатора температур-
ный коэффициент емкости определяется выражением
TKE	1	dC	1	dC1	dC2	C1 TKE C2 TKE				2	,
	C dT				dT		C	1	C
			C dT

40