ОТВЕТЫ

7.Статистические оценки случайных погрешностей. Определение доверительного интервала погрешностей

8.

Правила суммирования погрешностей (неисключённые остатки систематических погрешностей и случайные погрешности).

Возникает задача суммирования отдельных составляющих погрешности с целью определения оценки полной результирующей погрешности измерения.

Задачу оценки результирующей погрешности при систематических и случайных составляющих можно разбить на три этапа:

–определение суммарной систематической погрешности;

–определение суммарной случайной погрешности;

–определение общей погрешности.

Суммирование систематических погрешностей

В случае когда отдельные составляющие Xiñèñò , где i 1, 2,...n , определены по значению и по знаку, суммарная погрешность находится арифметическим суммированием

Σсист=ΣΔ

Величина X ñèñò представляет собой результирующую поправку,

которая должна быть исключена из результата измерения.

Если отдельные составляющие представлены границами интервалов погрешностей i (для неисключенных остатков систематических погрешностей НСП), то суммарную границу интервала определяют

геометрическим суммированием, задавая желаемое значение доверительной вероятности PÄ :

	n
(PÄ ) K (PÄ )	i2 .		(2.30)
	i 1

Коэффициент K (PÄ ) зависит от доверительной вероятности PÄ и от

числа слагаемых n . На практике пользуются усредненными значениями коэффициента K (PÄ ) , не зависящими от числа слагаемых n :

K 0,9 0,95, K 0,95 1,1, K 0,98 1,3, K 0,99 1, 4.

Формула справедлива как для абсолютной, так и для относительной формы представления погрешности.

В случае, когда отдельные составляющие значительно отличаются друг от друга по величине, кроме (PÄ ) находят ещё арифметическую границу

n

* и сравнивают эти оценки между собой. В качестве границ интервала

i i 1

суммарной систематической погрешности принимается меньшая величина из

и * .

Так как при суммировании систематических погрешностей используется вероятностный подход, считается, что составляющие i распределены по равномерному закону, результирующая погрешность при большом числе слагаемых имеет практически нормальное распределение и вводится понятие

среднего квадратичного отклонения суммарной систематической погрешности

			1	n
	S			i2 .		(2.31)
			3 i 1

Суммирование случайных погрешностей

Если отдельные составляющие случайной погрешности представлены СКП Si , то суммарная СКП находится по известной из теории вероятности формуле:

	n	n
S	Si2	2 rij Si S j ,		(2.32)
	i 1	ij 1
		i j

где rij — коэффициент корреляции, характеризует степень связи i -й и j -й составляющих (1 rij 1) . Точное значение коэффициента корреляции

обычно неизвестно, и нахождение его затруднительно. На практике при расчётах полагают r 0 , если составляющие слабо коррелированны, или r 1 , если корреляция заметна. При необходимости точного учёта коэффициента корреляции необходимо обратиться к специальной литературе [Л5, Л13]. Для

коррелированных составляющих, например											S	и S	2	, т.е. при	r 1	,
											1				12
S			S 2	S 2	2 S S	2	S S	2	,	(2.33)
			1	2	1		1

т.е. суммирование таких составляющих производится алгебраически. Для независимых составляющих ( rij 0 ):

	n
S	Si2 .		(2.34)
	i 1

Если случайные погрешности представлены доверительными границамиi с разными доверительными вероятностями PÄi , то сначала находят

отдельные СКП Si i / ti , где ti — коэффициент, определяемый видом закона распределения составляющей погрешности и доверительной вероятностью PÄi . Затем находят суммарную СКП S по общим правилам.

Для определения доверительного интервала суммарной случайной погрешности необходимо найти закон распределения суммы отдельных составляющих и, зная закон, определить t и соответственно

t (PÄ ) S .

(2.35)

Строгое решение этой задачи достаточно сложно, поэтому на практике рекомендуется при PÄ 0,9 использовать коэффициент t 1, 6 .

При суммировании нормально распределённых составляющих результирующая погрешность также будет распределена нормально. Тогда, если PÄ для всех составляющих одинаково, получим:

– для коррелированных составляющих

				1		n	n
	S					i ;	i ,	(2.36)
		t	H	(P	)
						i 1	i 1
				Ä

где tH (PÄ ) — квантиль нормального распределения, соответствующий доверительной вероятности PÄ ;

– для независимых составляющих

1

n

n

S

i2

;

i2 .

(2.37)

t

H

(P

)

i 1

i 1

Ä

9.Погрешности СИ их нормирование. Классы точности СИ. Обработка результатов прямых однократных измерений.

Под нормированным значением понимается предельное значение

погрешности для данного СИ. Для большинства рабочих СИ нормирование осуществляется по пределу допускаемого значения суммы систематических и случайных погрешностей. Нормируются основные и дополнительные погрешности СИ. Предел допускаемой основной погрешности устанавливается для нормальных условий эксплуатации СИ, которые указываются в технической документации и соответствующих стандартах.

Пределы	допускаемых	дополнительных	погрешностей
нормируются	для каждой	влияющей величины	отдельно и

устанавливаются обычно в виде кратного либо дольного (коэффициент влияния) значения предела основной погрешности. Они также приводятся в технической документации СИ.

Класс точности — обобщенная характеристика точности СИ, позволяет судить о том, в каких пределах находится погрешность средства измерения данного типа.

Способ выражения предела допускаемой основной погрешности в

электрорадиоизмерениях в виде класса точности определяется характером поведения погрешности прибора в пределах диапазона измерений. Выделяют

три группы приборов: с аддитивной погрешностью, с мультипликативной погрешностью и с наличием как аддитивной, так и мультипликативной составляющих погрешности. Для первой группы приборов предел основной погрешности нормируется по максимальному значению приведенной погрешности, для второй группы — по максимальному значению относительной погрешности, а для третьей группы — по максимальному значению общей относительной погрешности с учетом значений приведенной погрешности d в начале шкалы и c в конце шкалы. Следует отметить, что класс точности является обобщенной характеристикой точности типа СИ, а не конкретного образца СИ. Нормированное значение основной погрешности СИ является случайной величиной, т.к. представляет собой предел суммы систематической и случайной погрешностей.

Если в технической документации не указывается закон распределения погрешности его считают равно вероятным в пределах основной погрешности.

Наиболее часто на практике применяются измерения с

приближенным оцениванием погрешности.

Значительно реже применяются прямые однократные измерения с

точным оцениванием погрешности.

При точном оценивании предварительной поверкой или метрологической аттестацией находят индивидуальные погрешности конкретного используемого экземпляра СИ

10. Определение результата и погрешности косвенных измерений.

Косвенные измерения — измерения неизвестной ФВ по результатам измерений других ФВ, связанных с искомой ФВ известной функциональной зависимостью. Задача обработки результатов косвенных измерений заключается в нахождении оценки результата косвенного измерения y и границ интервала погрешности y при известных F, Xi , Xi . Общее строгое решение задачи сложно и требует большого объема вычислений. В связи с этим проводят приближенную оценку погрешности косвенного измерения.

11.Обработка результатов прямых многократных равноточных измерений. Идентификация закона распределения случайной величины. Критерии Пирсона

Прямые измерения с многократными наблюдениями используются для уменьшения случайных погрешностей измерений. При этом задачей обработки является нахождение наилучшей (оптимальной) оценки измеряемой величины и доверительного интервала, в котором она находится с заданной доверительной вероятностью. Равноточными называются независимые измерения, выполняемые одним оператором в одинаковых условиях, средствами измерения одинаковой точности. При равноточных измерениях СКО всех отдельных наблюдений равны между собой. Обработка экспериментальных данных при этом выполняется методами теории вероятности и математической статистики и поэтому называется статистической обработкой, а сами измерения часто называют статистическими измерениями.

Алгоритм обработки результатов прямых многократных измерений:

1)Определяем метод. погрешность, устраняем систематическую погрешность. Определяем НСП= , метод.погр., осн., доп.погр.

2)Составляем вариационный ряд, при n<20 необяз.

3)Идентификация закона распределения:

4)Обнаружение и устранение промахов

5)Определение результата измерения (чаще всего Хизм = Хср)

Результат среднего арифметического

Идентификация закона распределения:

12.Классификация цифровых измерительных приборов (ЦИП).

Основные характеристики цифровых устройств.

Цифровым измерительным прибором (ЦИП) называется прибор,

автоматически вырабатывающий дискретные сигналы измерительной информации, показания которого представлены в цифровой форме.

По методу формирования выходного кода АЦП различают:

1) АЦП последовательного счета (метод последовательного счета).

Выходной код — последовательный. Создается последовательно во времени с дискретом, равным стоимости единицы младшего разряда кода. В качестве примера можно привести единичный код — последовательность счетных импульсов при время-импульсном преобразовании. Данный метод обеспечивает малый аппаратурный объем АЦП, но и малое быстродействие.

Рис. 4.5 — Метод последовательного счета

2) АЦП последовательного приближения (метод последовательного приближения.Выходной код АЦП в этом случае — параллельнопоследовательный. В качестве примера можно привести уравновешивание измеряемого напряжения U x образцовым напряжением U 0 согласно рис. 4.6.

Рис 4.6 — Метод последовательного приближения

Данный метод требует большего аппаратурного объема, чем предыдущий метод, но быстродействие его значительно выше.

3) АЦП, построенные по методу считывания.

Выходной код — параллельный. При этом методе (рис. 4.7) происходит одновременное сравнение измеряемой величины U x с множеством разрешенных уровней квантования образцовой величины U01 , U02 , U03 ,…, U N , кодовые значения которых известны.Метод обладает максимальным быстродействием, но и максимальным объемом аппаратуры.

Рис. 4.7 — Метод считывания

).

5) Амплитудного

По виду структурной схемы АЦП подразделяются на АЦП прямого и уравновешивающего преобразований.

В свою очередь, по виду непосредственно кодируемой величины АЦП прямого преобразования подразделяются на АЦП:

1)Пространственного преобразования. В таких АЦП измеряемая величина преобразуется в положение чего-либо (луча, вала и т.д.) в пространстве, и это положение кодируется.

2)Число-импульсного преобразования. В таких АЦП измеряемая величина X преобразуется в число импульсов N.

3)Время-импульсного преобразования. Измеряемая величина X

преобразуется в интервал времени t , который, в свою очередь, преобразуется в число импульсов N.

4)Частотно-импульсного преобразования. Измеряемая величина

преобразуется в частоту fx , которая затем кодируется в N ( X fx N

преобразования. Измеряемая величина X преобразуется в постоянное напряжение или в какой-либо из параметров переменного напряжения, которые потом и кодируются.

АЦП уравновешивающего преобразования подразделяются на АЦП:

1.Развертывающего уравновешивания. В таких АЦП образцовая величина по определенной программе разворачивается во всем диапазоне измерений, от своего минимального значения до максимального значения, и это действие циклически повторяется.

Рис. 4.8 — Метод развертывающего уравновешивания

2. Следящего уравновешивания. Здесь образцовая величина доходит до равенства X 0 X , считывается результат измерения, и образцовая величина X 0 остается на том же уровне (рис. 4.9), т.е. как бы следит за измеряемой величиной X .

Основные характеристики ЦИП

1. Статическая характеристика преобразования. На рисунке 4.10

показана статическая характеристика преобразования величины X , Xk1 Xkn

— уровни квантования, X k — квант, N — выходной код.

Рис. 4.10 — Статическая характеристика ЦИП

2. Статическая погрешность ЦИП. Основная погрешность ЦИП обычно складывается из следующих составляющих:

Погрешности дискретности xd .

Погрешности реализации уровней квантования xp .

Погрешности из-за порога чувствительности сравнивающего устройства x÷ .

Наиболее специфической, присущей только цифровым СИ, является

погрешность дискретности.

Погрешность реализации уровней квантования xp носит

инструментальный характер, обусловлена отличием реальных уровней квантования от идеальных.

Погрешность из-за порога чувствительности сравнивающего устройства (СУ) x÷ возникает из-за неидеальности характеристик СУ и является инструментальной погрешностью.

13. Вольтметры постоянного напряжения. Компенсаторы.

Электронные вольтметры постоянного напряжения прямого преобразования содержат входное устройство, обеспечивающее высокое входное сопротивление и многопредельность прибора, для повышения чувствительности применяется усилитель постоянного тока (УПТ). Выходной измеритель может быть как аналоговым, так и цифровым. Точность цифровых приборов выше. Вольтметры уравновешивающего преобразования (метод сравнения) основаны на сравнении измеряемого напряжения U x с образцовым напряжением Uo . К наиболее точным вольтметрам такого вида относятся потенциометры (компенсаторы), их погрешность может достигать порядка 10 5 .

Компенсаторы – приборы для измерения методом сравнения ЭДС, напряжений или величин, функционально с ним связанных.