Metrologia

21

Из нормативно-технической документации на прибор известно: нормальные условия эксплуатации прибора t00 = 20°C; Uпит = 220 В; дополнительная температурная погрешность не

превышает половины основной при изменении температуры на каждые 20°С ; дополнительная погрешность за счет напряжения питания не превышает основной при изменении напряжения питания на каждые 10 В.

Записать результат измерения.

Решение задачи

Запись результата измерения должна содержать сам результат, погрешность результата и вероятность этой погрешности. Результат измерения известен, следовательно, необходимо определить общую (полную, эксплуатационную) погрешность измерения. Она будет состоять из основной погрешности (определяется классом точности) и двух дополнительных погрешностей (за счет отклонения температуры и напряжения питания от нормальных значений).

Основная погрешность, согласно обозначению класса точности,

Uосн = γ Uшк = 1,0 100 = 1В. 100 100

Дополнительная температурная погрешность

	tизм0		− t00		50 − 20
Uдопt = Kt Uосн				= 0,5 1		= 0,75	В.
	t	0			20
		нормир

Здесь коэффициент влияния К = 0,5 (из условия — «полови-

ны основной»), tнормир0 = 20°С (из условия — «на каждые 20°С »). Аналогично, дополнительная погрешность за счет напряжения питания

Uдоп,пит = Kпит Uосн Uпит,изм − Uпит0 = 1 1 240 − 220 = 2 В. Uпит,норм 10

Далее необходимо просуммировать все эти составляющие погрешности, чтобы получить общую погрешность измерения.

22

Известно, что основная погрешность, определяемая паспортными характеристиками прибора, представляет собой границы интервала погрешности и считается распределенной равновероятно. В этом случае, согласно правилам суммирования погрешностей, границы интервала полной погрешности определяются

n

выражением θΣ (РД ) = k(PД ) ∑θi2 , где k(PД ) — коэффици-

i=1

ент, зависящий от выбранной доверительной вероятности РД , а

θi — границы интервалов отдельных составляющих погрешно-

сти. Доверительная вероятность нам в условии задачи не задана, следовательно, необходимо воспользоваться известными рекомендациями, считая, что данные измерения представляют собой обычные технические электрорадиоизмерения. Тогда рекомен-

дуемое РД = 0,95 и k(0,95) = 1,1.

Применительно к нашей задаче полная погрешность измерения

3
Uобщ(0,95) = k(0,95) ∑ Ui2 = 1.1 Uосн2 + Uдоп2	t + Uдоп2	,пит

i=1

или

Uобщ = 1,1 12 + 0,752 + 22 = 2,5943В.

Результат измерения, с учетом правил округления,

Uизм = (85, 9 ± 2, 6) В; РД = 0,95.

Задача 3

При многократных измерениях сопротивления резистора получены следующие результаты: 10; 10,1; 10,2; 9,8; 9,9; 10; 9,9;

10,1; 10,8; 10 Ом.

Записать результат измерения при доверительной вероятно-

сти 0,95.

Решение задачи

Подсчитываем количество наблюдений: n = 10 . Так как при n 15 − 20 невозможно идентифицировать закон распреде-

23

ления, то этот пункт из стандартного алгоритма обработки многократных измерений опускаем. Используем упрощенный алгоритм обработки, который начинается с пункта:

1) Удаление промахов. Условие промаха

Xi
	− X				> tгр(РД , n) ,
	S

где Xi — подозрительный на наличие промаха результат измерения из полученной выборки; tгр (РД , n) — коэффициент допускаемых нормированных отклонений (границы интервала цензурирования), выбираетсяпри заданных РД и n изтаблицы П.2 Приложения. Определяем для нашей задачи

						10
						∑(Ri −		)2
	10						R
			= ∑	Ri	= 10, 08Ом; S =	i =1			= 0, 27 Ом.
		R
			i 1 10			10 − 1
	=								РД = 0,95 (реко-
	Зададимся доверительной вероятностью

мендуется брать 0,9—0,99) и из таблицы П.2 Приложения найдем tгр (0,95;10) = 2, 414 . Промахи удаляют итеративно, по од-

ному. Начинают проверку Ri с величины, наиболее отстоящей от R . В нашей задаче это Ri = 10,8. Тогда

10,8 − 10, 08 = 2,667 > tгр = 2, 414 . 0, 27

Условие промаха выполняется, то есть Ri = 10,8 — промах.

Его удаляем из ряда многократных измерений. Теперь n = 9 . Продолжаем проверку на наличие промахов. Пересчитываем вновь значения

						9
						∑(Ri	−		)2
	9							R
			= ∑	Ri	= 10Ом и S =	i=1				= 0,123Ом.
		R
			i=1	9		9 − 1

24

Опять находим наиболее удаленные от R значения Ri . Это

9,8 и 10,2, причем они равноудалены от R . Проверяем, являются ли они промахами. По таблице определяем новые границы

цензорского интервала tгр (0,95;9) = 2,349 . Условие промаха

		10, 2 − 10			< 2,349 не выполняется, то есть R = 10,2, и
				= 1, 626
	0,123				i

Ri = 9,8 (т.к. цензорский интервал симметричен) не являются промахами. Все остальные Ri расположены к R еще ближе,

следовательно, тем более не являются промахами, их индивидуальная проверка нецелесообразна.

2) Результат измерения, погрешность. За результат изме-

рения принимается среднее арифметическое ряда наблюдений

без промахов R = 10 Ом. Границы доверительного интервала погрешности

ε = tS (РД , n) SR = tS (РД , n) S . n

Здесь tS (РД , n) — коэффициент Стьюдента, выбирается из таблицы П.3 Приложения. В нашем случае tS (0,95,9) = 2,306 . Тогда

ε = 2,306 0,123 = 0,0943 Ом. 9

Результат измерения в соответствии с правилами представления результата запишем следующим образом:

Rизм = (10 ± 0, 09) Ом; РД = 0,95; n = 9.

Задача 4

Определить результат и погрешность косвенного измерения

напряжения U = I (R1 − R2 )2 − U0 по результатам прямых изме-

R3

рений: R1 = (100 ± 1) Ом; R2 = (51± 0,5) Ом; R3 = 2, 4 Ом,

25

δ R3 = ±1 % . U0 = 2 B — измерено вольтметром с пределом

шкалы Uшк = 3 В, класса точности γ = 1,0.	I = 9 мА измерено
амперметром класса точности γ = 1,5 с	пределом шкалы
Iшк = 10 мА. Записать результат измерения.

Решение задачи

Известно, что результат косвенных измерений определяется представленной функциональной зависимостью при подстановке в нее результатов измерений аргументов. В нашем случае

(R

− R )2

= 9 10−3

(100 − 51)2

U = I

1

2

− U0

− 2 = 7, 0037B .

R3

2, 4

В

общем

виде

погрешность

косвенного

измерения

n

∂F

y = ∑

Xi

где Xi — аргументы функции F ,

Xi — их

i=1

∂Xi

абсолютные погрешности, y — измеряемая косвенным образом

∂F

величина, ∂Xi — частные производные функции по соответст-

вующим аргументам.

Определим абсолютные погрешности аргументов заданной зависимости:

R1 = ±1Ом;

R2

= ±0,5Ом,

R3

=

δR3 R3

=

1 2, 4

= 0,024Ом,

100 %

100

U =

γu Uшк

=

1 3

= 0, 03 В,

I =

γ I Iизм

=

1, 5 9

= 0,135 мА.

100%

100

100 %

100

Частные производные:

∂U (R − R )2

(100 − 51)2

=

1

2

=

= 1000, 42 ,

∂I

R3

2, 4

∂U

= I

2(R1

− R2 )

= 9 10−3

2(100 − 51)

= 0, 3675 ,

∂R1

R3

2, 4

						26
∂U	= −I		2(R1 − R2 )		= −0,3675 ,
∂R2			R3
∂U	= −I		(R − R )2		= −9	10−3	(100 − 51)2	= −3, 7516 ,
			1 2
∂R			R2				2, 42
3			3

∂U = −1 . ∂U0

Так как погрешности аргументов заданы границами интервалов, которые определены, в том числе, и с помощью измерительных приборов, то можно считать, что эти погрешности распределены равновероятно. Тогда, в соответствии с правилами суммирования погрешностей, общая погрешность при заданной

доверительной вероятности PД жением

U (PД ) = κ (РД )

может быть определена выра-

	n	∂U
	∑(		Xi )2 .
	i=1	∂Xi

Величина доверительной вероятности в условии задачи не указана. Необходимо воспользоваться известными рекомендациями, в которых для технических электрорадиоизмерений

применяется PД = 0,95. Тогда

U(0,95)= κ(0,95)

(∂U I)2 +(∂U R)2

+(

∂U

R )2

+(

∂U

R )2

+(

∂U

U )2

=

∂I

1

∂R2

2

∂R3

3

∂U0

0

∂R1

=1,1 (1000,42 0,135 10−3)2 +(0,3675 1)2 +(−0,3675 0,5)2 +(−3,7516 0,024)2 +(−1 0,03)2 =

=0,4871B.

Запишем результат измерения с учетом правил округления

U = (7, 0 ± 0,5) B, РД = 0,95.

Задача 5

Емкость C = C2 − C1 определена по результатам прямых измерений C1 = 94,8 пФ, C2 = 102,3 пФ. Известно, что неис-

ключенные систематические погрешности θС1 = 0,9 пФ,

27

θС2 = 1,1 пФ, а среднеквадратические отклонения случайных погрешностей, распределенных по нормальному закону, —

SC1 = SC 2 = 0,5 пФ, коэффициент корреляции r12 = 0 . Записать результат измерения.

Решение задачи

Результат косвенного измерения определяется подстановкой результатов прямых измерений аргументов в указанную функциональную зависимость, т.е.

C = C2 − C1 = 102,3 − 94,8 = 7,5 пФ.

Так как погрешности аргументов содержат и систематическую, и случайную составляющие, то для нахождения общей погрешности измерения необходимо сначала просуммировать отдельно эти погрешности по группам.

Согласно правилам суммирования погрешностей суммар-

ная систематическая погрешность косвенного измерения при доверительной вероятности PД

	n	∂F
	θΣ (РД ) = κ(РД ) ∑(			θi )2 .
	i=1	∂X	i

Для нашей задачи при принятой для технических измерений доверительной вероятности PД = 0,95

θ

Σ

= κ(0,95)

(

∂C

θ

)2

+ (

∂C

θ

)2

=

∂C1

C1

∂C2

C 2

= 1,1 (−1 0,

9)2 + (1 1,1)2 = 1,563

пФ.

Среднеквадратическое отклонение систематической погрешности

		1	2	∂С
	Sθ =		∑(		θCi )2 =
		3		∂С
			i=1	i

= 1 [(−1 0,9)2 + (1 1,1)2 = 0,821 пФ.

3

28

Суммарная случайная погрешность в общем случае опре-

деляется выражением:

n

∂F

n

∂F

∂F

SΣ = ∑(

Si )2 + 2∑

Si

S jrij .

∂X

i=1

i

i< j

∂X

i

∂X

j

Для нашей задачи

2

∂C

SΣ = ∑(

SCi )2 =

(−1 0,5)2 + (1 0,5)

2 = 0,707 пФ.

∂C

i=1

i

Границы доверительного интервала случайной погрешно-

сти

εΣ = tн(РД = 0,95) SΣ = 1,96 0,707 = 1,386 пФ.

Здесь tн (РД ) — коэффициент нормального распределения (согласно условию задачи случайные погрешности С1 и С2

распределены нормально, следовательно, и суммарная случайная погрешность также распределена нормально).

Для определения общей погрешности найдем соотношение

θΣ / SΣ = 1, 563 / 0, 707 = 2, 21 . Так как 0,8 < θΣ / SΣ < 8 , то в соот-

ветствии с правилами суммирования погрешностей общая по-

грешность определится как		Собщ (РД ) = КΣ Sобщ , где
Sобщ = SΣ2 + Sθ2 =		0, 7072 + 0,8212 = 1, 083 пФ ,
КΣ =	εΣ + θΣ	=	1,	386 + 1, 563	= 1, 93 .
	SΣ + Sθ
		0,		707 + 0,821

Тогда

Cобщ(0,95) = 1,93 1,083 = 2,09 пФ .

Результат измерения можно записать в следующем виде

С = (7,5 ± 2,1) пФ, РД = 0,95.

Задача 6

Частота f измеряется косвенно в соответствии с выражением f = 1/ 2πRC . Известно, что относительные случайные, нормально распределенные погрешности измерения величин R

29

и C соответственно δR = ±1,5 %, δC = ±0,5 % . Определить значение относительной погрешности δf .

Решение задачи

По определению относительная погрешность δf = f / f .

Так как доверительные вероятности, при которых оценивались интервалы погрешностей δR и δC в условии задачи не указаны, то можно считать, что эти вероятности одинаковы. Тогда для независимых нормально распределенных случайных погрешностей можно напрямую суммировать границы интервалов погрешностей в соответствии с выражением

n

∂f

∂f

∂f

R

C

fсл = ∑(

Xiсл)

2

=

(

R)

2

+ (

C)

2

=

(

)

2

+ (

)

2

.

∂Xi

∂R

∂C

2πR

2

2πRC

2

i =1

C

Относительная погрешность

δf =

f

=

1

(

R

)2 + (

C

)2 = (

R

)2 + (

C

)2 =

2πR2C

f 2πRC

2πRC2

R

C

=δR2 + δC2 = 1, 52 + 0, 52 = 1, 58 %.

4.3.2Задачи для самостоятельного решения

1)При измерении силы тока амперметр класса точности

γ= 2.0 с пределом шкалы Iшк = 10 мА показал Iизм = 7.29 мА.

Измерения проводились при температуре t0 = 40 °С. Из паспортных данных прибора известно, что нормальные условия измерения t00 = 20 °С и дополнительная температурная по-

грешность не превышает половины основной при изменении температуры на каждые 20° . Записать результат измерения.

2) При многократных измерениях ёмкости получены следующие результаты:

40; 40.4; 40.8; 39.2; 39.6; 40; 39.6; 40.4; 44.2; 40пФ.

Записать результат измерения при доверительной вероятно-

сти PД = 0.95 .

30

3) Определить результат и абсолютную погрешность косвенного измерения реактивной мощности Q = U × I sin ϕ по ре-

зультатам прямых измерений:

показания вольтметра с классом точности 2.5 с пределом измерения 100 В , U = 75 В .

– показания амперметра класса точности 1.0 с пределом

измерения 10 А, I = 4 А, ϕ = 30° ± 1° .

Записать результат измерения.

4) Измеряемое косвенным методом напряжение определяется выражением U = I R1 R2 / R3

В результате прямых	измерений получено, что
R1 = (100 ± 1) Ом, R2 = (1000 ± 10) Ом; R3 = 200 Ом , δR3 = ±1% .
Амперметр класса точности 0.5	с пределом измерения 30 мА

показал I = 20 мА. Записать результат измерения.

5) При многократных измерениях силы тока получены следующие результаты:

20; 20.2; 20.4; 19.6; 19.8; 20; 19.8; 20.2; 18.0; 20 мА.

Записать результат измерения при доверительной вероятности PД = 0.9 .

6) Построить графики зависимости абсолютной и относительной погрешностей от измеряемой мощность для ваттметра с пределом шкалы Pшк = 100 Вт, класса точности 2.5. Количество

расчетных точек графика ≥ 4 . Повторить задачу для прибора с классом точности 1.5/0.5.