Mat_analiz_ekzamen

11

32.Определение экстремума функции

Экстре́мум— максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума.

33.Необходимое и достаточное условие существование экстремума

Теорема 1 (необходимые условия существования экстремума)

Если функция z = f(x, y) в точке имеет экстремум, то в этой точке обе частные производные равны нулю (fx¢(P0) = 0, fy¢(P0) = 0) или, по крайней мере, одна из них не существует.

Теорема 2 (достаточные условия существования экстремума)

Пусть функция z = f(x,y) в стационарной точке Р0 (х0,у0) имеет непрерывные частные производные до третьего порядка включительно. Если А = f¢¢xx(Р0), B = f¢¢xy (Р0), C = f¢¢yy (Р0) и D(Р0) = АС - В2, то возможны три случая:

1)при D(Р0) > 0 Р0 – точка экстремума, причем, в точке Р0 максимум, когда А < 0, и минимум, когда А > 0;

2)при D(Р0) < 0 Р0 не является точкой экстремума;

3)при D(Р0) = 0 о характере стационарной точки Р0 никакого заключения сделать нельзя, нужны дополнительные исследования.

34.Определение выпуклости и вогнутости кривой в интервале

Функция f ( x ) называется выпуклой на интервале ( a, b ), если её график на этом интервале лежит ниже касательной, проведенной к кривой y = f ( x ) в любой точке ( x0 , f ( x0 ) ), x0 ( a, b ).

Функция f ( x ) называется вогнутой на интервале ( a, b ), если её график на этом интервале лежит выше касательной, проведенной к кривой y = f ( x ) в любой точке ( x0 , f ( x0 ) ), x0 ( a, b ).

Выпуклость/вогнутость графика характеризует вторая производная функции.

35.Определение точек перегиба

Точка перегиба функции — это точка, в которой функция непрерывна и при переходе через которую функция меняет направление выпуклости.

36.Достаточные условия выпуклости и вогнутости

Пусть функция f ( x ) дважды дифференцируема ( имеет вторую производную ) на интервале ( a, b ), тогда:

если f '' ( x ) > 0 для любого x ( a, b ), то функция f ( x ) является вогнутой на интервале ( a, b );

если f '' ( x ) < 0 для любого x ( a, b ), то функция f ( x ) является выпуклой на интервале ( a, b ) .

12

Точка, при переходе через которую функция меняет выпуклость на вогнутость или наоборот, называется точкой перегиба. Отсюда следует, чтоесли в точке перегиба x0 существует вторая производная f '' ( x0 ), то f '' ( x0 ) = 0.

37.Достаточные условия существования точек перегиба

(О необходимом условии существования точки перегиба)

Если функция имеет перегиб в точке , то или не существует.

Теорема

(О достаточном условии существования точки перегиба)

Если:

1.первая производная непрерывна в окрестности точки ;

2.вторая производная или не существует в точке ;

3. при переходе через точку меняет свой знак,

тогда в точке функция имеет перегиб.

38.Четность, нечетность функции

39.Уравнение касательной и нормали к кривой

13

40.Определение функции нескольких переменных

Если каждой паре (x,y) значений двух независимых друг от друга, переменных величин x и y, из некоторой области их изменения D, соответствует определенное значение величины z, то говорят, что z функция двух независимых переменных x и y, определенная в области D.

41.Область определения функции двух переменных

Областью определения функции двух переменных называется множествовсех пар , для которых существует значение .

Графически область определения представляет собой всю плоскость либо её часть. Так,

областью определения функции	является вся координатная плоскость
– по той причине, что для любой точки	существует значение .

42.Определение частной производной

Вматематическом анализе частная производная — одно из обобщений понятия производной на случай функции нескольких переменных.

Частная производная — это предел отношения приращения функции по выбранной переменной к приращению этой переменной, при стремлении этого приращения к нулю.

Вявном виде частная производная функции в точке определяется следующим образом:

14

43.Правило вычисления частных производных

Для частных производных справедливы все правила дифференцирования и таблица производных элементарных функций. Есть только пара небольших отличий:

1)Когда мы дифференцируем по , то переменная считается константой.

2)Когда же дифференцирование осуществляется по , то константой считается .

3)Правила и таблица производных элементарных функций справедливы и применимы для любой переменной (, либо какой-нибудь другой), по которой ведется дифференцирование.

44.Полный дифференциал функции

Линейная (относительно и ) часть полного приращения функции называется полным дифференциалом и обозначается :

,

где и – дифференциалы независимых переменных, которые, по определению, равны

соответствующим приращениям и .

45.Частные производные высших порядков

Частные производные функции двух переменных z=f(x,y) являются функциями переменных x и y. Поэтому их снова можно дифференцировать. Так как каждую

функцию zx/ и zy/ можно дифференцировать по x и y, то производных второго порядка будет

четыре. Результат дифференцирования

по x обозначается через

, а результат

дифференцирования по y через . Производная обозначает двукратное дифференцирование функции z=f(x,y) по y.

Производные второго порядка можно снова дифференцировать по x или по y.

Частная производная n-го порядка, есть первая производная от производной (n-1)-го порядка.