Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Методы анализа и расчета электронных схем - пособие

.pdf

Скачиваний:

623

Добавлен:

16.03.2016

Размер:

1.69 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1613 14 15 16 > Следующая >>>

5.1 Математическое описание
электронных схем в базисе переменных состояния	121

ILT = −πLLILN − πLJ J.	(5.21)

Векторы напряжений емкостей и токов индуктивностей с учетом соотношений (5.20) и (5.21) могут быть представлены в виде:

UCT

UC = [

] = [

] UCT + [

] E

UCN

πCCT

πECT

= ΠCCUCT + ΠECE,

ILN

−

ILN

−

PLLILN

PLJ J.

= [

ILT

] = [

πLL

] + [

πLJ

]

(5.18)

Подставляя выражения (5.22) и (5.23) в

и (5.19), получаем:

q= (ΠCCCΠTCC) UCT + (ΠCCCΠTEC) E,

ψ= (PLLLPTLL) ILN + (PLLLPTLJ ) J,

на основании чего можно записать:

x˜

= [

ΠCC

ΠCCT

ΠCC] =Π[EC

+ [

PLL

PLJT

0			] [	UCT	] +
PLL	L	PLLT		ILN

] [ J ] = WxX + Θ3F.

Дифференцируя уравнение (5.24), находим:

dx˜	= Wx	dX	+ Θ3	dF
					.
dt		dt		dt

(5.22)

(5.23)

(5.24)

Подстановка полученного выражения для производной dx˜/dt в уравнение (5.17) дает:

Wx dX

X Θ

F Θ3 dF

′

откуда получаем

уравнение

переменных состояния линейной электронной схемы

в виде:

−

(5.25)

где A Wx Θ1, B

Wx Θ2, B1

Θ3+

′

= −

W 1 .

Появление−

производной−

вектора−

F в уравнении переменных состояния обу-

словлено особыми циклами и сечениями с задающими источниками. Если зада-

ющие источники в особых циклах и сечениях отсутствуют, то

πEC =

0 и

πLJ =

следовательно, Θ3

При

отсутствии особых циклов и сечений все дифференциальные переменные

независимы и входят в векторы UCT и ILN , а в составе топологических матриц

отсутствуют подматрицы πCC и πLL. Тогда ΠCC

и PLL

, вследствие чего

матрица Wx имеет квазидиагональную структуру: =

Wx = [

] ,

а при отсутствии индуктивных связей Wx представляет собой диагональную матрицу, элементами которой являются параметры реактивных двухполюсников.

122	Глава 5. Анализ электронных схем во временной области

Уравнения переменных состояния нелинейных электронных схем

При формировании покрывающего дерева из дуг безреактивных компонентов (x-дуг) выделяются дуги нелинейных двухполюсников, причем управляемые током дуги включают в дерево после e-дуг и C-дуг, а управляемые напряжением — в дополнение дерева перед L-дугами и j-дугами.

Уравнение для безреактивных линейных компонентов и дифференциальное уравнение для зарядов и потокосцеплений отличаются от аналогичных уравнений (5.12) и (5.16) линейной схемы только наличием в правой части слагаемых, которые зависят от вектора переменных нелинейных безреактивных компонентов

XH = [

UHT

IHN

W0X0

Q1X

Q2F

Q3XH,

(5.26)

dx˜

Θ3XH,

(5.27)

Θ1X

Θ2F

dt =

πCH

где Q3

VUN πHX

VIT πXH ; Θ3

πHLT

−

качестве топологических уравнений, связывающих переменные нелинейных

= [ −

]

= [

]

безреактивных компонентов, используются уравнение для главных сечений, определяемых дугами нелинейных компонентов, входящих в дерево:

IHT

πHX IXN

πHLILN

πHJ J

πHHIHN

(5.28)

циклов, определяемых дугами нелинейных компонентов,

и уравнение для главных = −

−

входящих в дополнение дерева:

UHT πT

UXT

πT

UCT

πT

UHT .

(5.29)

X H

Объединяя (5.28) и

(5.29), получаем матричное топологическое уравнение для

нелинейных безреактивных компонентов вида:

IHT

−

πHX

UXT

] + [

−

πHL

UCT

] +

UHN

πXT H

IXN

πCT H

ILN

[

] = [

πHJ

] [

πHH

] [

+ [

− 0

] [

] + [

− 0

] [

]

πETH

πHHT

IHN

которое в сокращенной записи принимает форму:

IHT

YH = Ω0X0 + Ω1X + Ω2F + Ω3XH,

(5.30)

где YH = [ UHN

Решив уравнение (5.26) относительно вектора X0 и подставив найденное решение X0 = W0−1 (Q1X + Q2F + Q3XH) = Q′1X + Q′2F + Q′3XH в (5.27) и (5.30), получим:

dx˜

(

′

)

(

′

)

+ (

′

)

+′

(5.31)

′

Θ0Q2

Θ2

Θ0Q3

Θ3

Θ0Q1

Θ1

Θ1X

Θ2F

Θ3XH,

5.1 Математическое описание
электронных схем в базисе переменных состояния	123

(

′

+′

)

′

+ (

′

)

+ (

′

)

(5.32)

Ω0Q

Ω1

Ω0Q2

Ω2

Ω0Q3

Ω3

Ω1X

Ω2F

Ω3XH.

Уравнения (5.31) и (5.32) дополняются компонентными уравнениями нелинейных безреактивных компонентов 3(XH, YH) = 0, в результате чего математическая модель нелинейной электронной схемы в базисе переменных состояния принимает вид:

XH,

Ω

X Ω

Ω

XH,

(5.33)

′

(

) =

Q1X

Q2F

Q3XH,

XH, YH

где

3 XH, YH

—

(

)

нелинейная вектор-функция.

Если нелинейными являются только безреактивные компоненты, то дифференциальное уравнение математической модели нелинейной электронной схемы может быть приведено к канонической форме. Для этого уравнение (5.24), которое остается справедливым, необходимо подставить в дифференциальное уравнение математической модели:

Wx dX

Θ3 dF

′

XH,

(5.34)

′

−

′

−

′

−

′

= (

Θ1

)dX

+ (

Θ2

)

− (dF

Θ3

)

+ (

Θ3

)

XH,

= AX + BF + B′

+ DXH.

Остальные уравнения математической модели (5.33) остаются без изменений. При наличии нелинейных реактивных компонентов используется дифференциальное уравнение математической модели, разрешенное относительно производной dx˜/dt, а вектор x˜ определяется в процессе решения на основе заданных

нелинейных функций qC(uC), ψL(iL) или C(uC), L(iL).

Рассмотренным алгоритмам формирования уравнений переменных состояния присущи следующие ограничения:

•управляемые и управляющие дуги являются дугами безреактивных компонентов;

•управляющие параметры являются постоянными величинами.

Ограничения на характер управляющих двухполюсников снимаются за счет введения дополнительных дуг, фиксирующих управляющие переменные: последовательно с управляющими по току двухполюсниками вводятся короткозамкнутые дуги, а параллельно с управляющими по напряжению двухполюсниками — разомкнутые дуги.

Обобщение на случаи нелинейных зависимостей между управляемыми и управляющими величинами достигается введением дуг, фиксирующих управляющие переменные, и отнесением их к множеству дуг нелинейных компонентов. При этом в векторе XH следует положить равными нулю компоненты, соответствующие управляющим дугам, что равносильно их удалению совместно с соответствующими столбцами матриц Θ′3, Ω′3, Q′3.

124	Глава 5. Анализ электронных схем во временной области

При математическом описании нелинейных электронных схем по изложенным алгоритмам дуги всех нелинейных компонентов, управляемых током, должны войти в дерево, а дуги всех нелинейных компонентов, управляемых напряжением, — в дополнение дерева. Это требование является топологическим ограничением, которое служит одним из условий детерминированности схемы, то есть возможности получения для искомых переменных однозначного решения при заданных воздействиях и начальных условиях. Невыполнение этого требования служит признаком того, что схема может оказаться недетерминированной.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Порядок системы дифференциальных уравнений определяется числом переменных состояния как разность между числом всех дифференциальных переменных и числом зависимых дифференциальных переменных.

.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Всостав зависимых дифференциальных переменных входят топологически зависимые и компонентно зависимые переменные. Компонентно зависимые переменные имеются только в схемах с необратимыми компонентами при определенных значениях управляющих параметров зависимых источников. Наличие компонентно зависимых дифференциальных переменных делает матрицу W0 особенной,

аих число определяется дефектом d этой матрицы. Дефект матрицы W0 представляет собой разность между порядком и рангом матрицы. Компонентно зависимые дифференциальные переменные исключаются из числа переменных состояния в процессе приведения матрицы W0 к единичной матрице. При этом в дифференциальных уравнениях математической модели появляются производные высших порядков diF(t)/dti от вектора входных переменных.

Общее количество независимых переменных состояния выражается соотношением:

α0 = νC + σL − d.

(5.35)

Рассмотрим формирование математической модели в базисе переменных состояния для схемы однокаскадного избирательного усилителя, приведенной на рис. 5.1, а.

Схема замещения усилителя по переменному току, в которой полевой транзистор представлен эквивалентной схемой (рис. 5.1, б), приведена на рис. 5.2.

Полюсный граф избирательного усилителя, соответствующий схеме замещения (рис. 5.2), представлен на рис. 5.3.

Полюсный граф избирательного усилителя содержит ℓE = 1 e-дуг (Ux); ℓC = 6 C- дуг (C1, C2, C3, C4, Cзи, Cзc); ℓL = 1 L-дуг (L1) и ℓX = 5 x-дуг (дуг безреактивных компонентов). При этом дуга x2 отображает параллельно включенные в схеме замещения зависимый источник тока SUзи и ветвь с проводимостью Gcи. Поскольку при использовании рассмотренного алгоритма формирования математических моделей в базисе переменных состояния управляющими могут быть только безреактивные дуги, в граф введена разомкнутая дуга x5, управляющая по напряжению Uзи. В полюсном графе отсутствуют j-дуги.

Для определения числа топологически зависимых дифференциальных переменных сформируем C- и L-графы (рис. 5.4).

5.1 Математическое описание
электронных схем в базисе переменных состояния	125

Рис. 5.1 – Схема избирательного усилителя (а) и эквивалентная схема полевого транзистора с управляющим p-n-переходом

Рис. 5.2 – Схема замещения избирательного усилителя по переменному току

Определяем число особых контуров σC = ℓC − υC + nC = 6 − 5 + 1 = 2 и особых сечений νL = υL − nL = 1 − 1 = 0.

Для исключения топологически зависимых дифференциальных переменных в состав покрывающего дерева последовательно включены ℓE = 1 e-дуга (Uвx) и lCT = 4 C-дуг (C1, C2, C3, C4). В дополнение покрывающего дерева входят ℓL = 1 L-дуга (L1), ℓXN = 5 x-дуг (x1, x2, x3, x4, x5) и ℓCN = 2 C-дуг (Cзи, Cзc).

Выбранное покрывающее дерево определяет систему ν = υ − n = 6 − 1 = 5 главных сечений. При этом ℓE = 1 сечение (сечение CE) определяется e-дугой дерева, а ℓCT = 4 сечений (сечений CC1, CC2, CC3, CC4) — C-дугами дерева. Сечения, определяемые x-дугами и L-дугами, в графе (рис. 5.3) отсутствуют. Следовательно, (5.7), (5.8) и (5.9) принимают вид:

0 πEC

πEX

πEL

ICT

πCC

πCX

πCL

(5.36)

[

ICN

]

ILN

126	Глава 5. Анализ электронных схем во временной области

Рис. 5.3 – Полюсный граф избирательного усилителя

Рис. 5.4 – C-граф (а) и L-граф (б) избирательного усилителя

UCN

(5.37)

−

πECT

−

πCCT

1 0 0

UCT

0 0 1

−

πEL

−

πCL

ULN

−

[ VUN

VIN ] [

UXN

IXN ] = 0.

(5.38)

5.1 Математическое описание
электронных схем в базисе переменных состояния																											127

По полюсному графу (рис. 5.3) определяем:
π		= [	1 1			, πEX		=	[	1 0 0 0 1							, πEL				= [	0	]	,
	EC	= [		1	]1			=	[			1	0		0	]	0			1	= [		]			0	.
πCC			0		−	1	, πCX				0		1		0		1		0		, πCL					1	.
			−		−						−			1	1		0		−	1						0
				1 0							0			1	1		0			1						0
					−
			0 0							=	0 0				0			1 0								0
		=	0 0							=	0 0				0			1 0							=	0
			−										−						−

																	−
																	−

Компонентные уравнения для x-дуг имеют вид:

Ux1 = R1Ix1, Ix2 = SUx5 + GcиUx2, Ux3 = R2Ix3, Ux4 = RнIx4, Ix5 = 0.

(5.39)

Преобразовав уравнения (5.39) к виду:

Ux1 − R1Ix1 = 0,

− GcиUx2 − SUx5 + Ix2 = 0, Ux3 − R2Ix3 = 0,

Ux4 − RнIx4 = 0,

Ix5 = 0,

их можно записать в матричной форме (5.38):

1		0	0	0	0		R	1	0	0	0
0		Gcи	0	0	S	0		1	1	0	0
0	−	0	1	0	0	−			0	R2	0
0		0	1	0	0	0			0	R2	0
					−
0		0	0	1	0	0			0	0		R	н
										−			н
0		0	0	0	0	0			0	−	0
0		0	0	0	0	0			0	0	0
											−

	Ux2
		Ux1
0				0

0		Ux4		0
0		Ux5		0
0		Ux5		0	,
0		Ix1		0	,
0		Ix1		0
0				0
		Ix2
1		Ix2	=	0
1		Ix3		0
		Ix3
		Ix4
		Ix4

		Ix5
		Ix5

		0 Gcи				0	0		S							0			1		1	0		0			0
			1	−	0	0	0	0		, VIN				−			R				0	0		0			0	.
откуда VUN			0		0	1	0	0		, VIN						0					0		R2	0			0	.
								−
			0		0	0	1	0								0					0	0			R	н	0
																						−				н
	=		0		0	0	0	0				=				0					0	−		0			1
			0		0	0	0	0								0					0	0		0			1
																								−
и подставив
и подставив																														x-хорд
		из топологического уравнения (5.37) вектор напряжений U																											XN	x-хорд
Выразив																													XN
		его в компонентное уравнение (5.38), после преобразования получим
уравнение для безреактивных дуг:
						VIN IXN				VUN πT			UCT				−			VUN πT			E,							(5.40)
сопоставляя которое с (5.12), находим:= −											CX						−					EX
			W0 = VIN ,				Q1 = [ −VUN πCXT											],				Q2 = −VUN πEXT ,
			W0 = VIN ,				Q1 = [ −VUN πCXT								0			],				Q2 = −VUN πEXT ,

128 Глава 5. Анализ электронных схем во временной области

причем:

IXN

= [

Ix1 Ix2 Ix3 Ix4

Ix5

]

= [L1

[

UCT I

]

= [

U U U U I

]

Uвx

= [ ]

Поскольку

матрица W

не является особенной, то ее дефект d

0, поэтому

= [

]

дифференциаль-

в математической модели отсутствуют компонентно зависимые

ные переменные.

Дифференциальное матричное уравнение (5.16) имеет вид:

−

− 0

ILN

πCLT

πELT

πCX

IXN

πCL

UCT

(5.41)

откуда

[

] = [

]

+ [

] [

] + [

]

следует:

πCX

−

Θ0

−

= [

] =

−

πCL

0 0 0 0 1

Θ1

, Θ2

πCLT

0 0 0 0 0

πELT

−

= [

] =

= [

] =

Решая (5.40)

относительно X

и подставляя в (5.41), найдем уравне-

= q

ние (5.17):

dx˜

] =

′

где:

= dt

[

Θ1X

Θ2F,

−

cи

Rн

Θ1

Θ0W0

Θ1

− (

)

−

cи

′

+ =

−0

− (

)

Rн

−

Θ2

Θ0W0

Θ2

′

−

5.1 Математическое описание
электронных схем в базисе переменных состояния	129

Дифференциальные переменные q и ψ представляем в виде:

qCT

q = qCT + πCCqCN = [ 1

πCC ] [

] =

ΠCCqC = ΠCCCUC,

(5.42)

qCN

ψLN

ψL

(5.43)

где ΠCC

1 πCC

1 0

= 0 0=

1 =

1L =

diag C1, C2, C3, C4, Cзи, Cзc ;

, C

−

= [

] =

(

)

0 0 0 1 0 0

−

= [

]

uC2 u

uC4 u

Cзи

Cзc

Векторы напряжений емкостей и токов индуктивностей с учетом соотношений

(5.22) и (5.23) могут быть представлены в виде:

UCT

UC = [

] = [

] E

UCN

πCCT

] UCT + [ πECT

= ΠCCUCT + ΠECE,

(5.44)

ILN

iL1,

(5.45)

где: ΠEC

πEC

0 0

= [

] = [

]

Подставляя выражения (5.44) и (5.45) в (5.42) и (5.43), получаем:

= [

] = [

ΠCC

ΠT

] [

UCT

] + [

ΠCC

ΠT

] E = WxX + Θ3F,

x˜

ILN

(5.46)

где:

ΠCCCΠCCT

Cзи

Cзc

Cзи

C3 Cзи

Cзc

= [

] =

Θ3 = [ ΠCCCΠTEC

	−(	CзиCзcCзc		)
	−(		+	)	.
			Cзи		.
		−
			0
		−
] =		−	0
			0

Дифференцируя уравнение (5.46) и подставляя в (5.17), находим:

−

Θ3

′

откуда получаем уравнение переменных состояния линейной электронной схемы в виде:

= AX + BF

+ B1

где:

′

= −

1Θ3,

Θ , B1

−

130 Глава 5. Анализ электронных схем во временной области

причем матрица A является квадратной матрицей																																ℓCT + ℓLN														=	5 порядка, матрицы
B и B1 имеют размерность																ℓCT ℓLN ℓE											5			1.		ℓCT + ℓLN														=
		Например, при								численных значениях внутренних параметров избирательного
		Например, при													( + ) × =													×
усилителя R1						=1		1 МОм, R2								=		500 Ом, C1									=	10 мкФ, C2													=				100 пФ, C3										=		50 мкФ,
C	4	=				=1		=								=		=									=	=	Cзc			=									=								=						=
C			10 мкФ, L						300 мкГн, S											1 мА/В, Cзи									Cзc					10 пФ, Rcи																	100 кОм матрица
																										1
состояния A и матрицы управления B и B																											принимают вид:
					−	9.191								0.91								−		9.092								−		0.909														9.091				×		103
								×				−				×	105				9.092				×		106				9.091						×		105								−						×
										6							105				9.092						106				9.091								105																	9
					9.091				10				9.1					−	3					0											10							−		7						9.091					10		3
						0									10			−						0											10							−									0				−
			A				20					2				10							60.002								1.818							10											1.818					10
			A			−	20					2		×		10						−	60.002								1.818					×		10									−		1.818			×		10				.
				=		−								×						3		−		0												×											−					×
						0					3.333							10						0											0																0
																																		−
													9.191																		1.909								10						6
													9.191																		1.909								10				−
												9.091×						106															0.091								7		−
								B			−				20						.					B1											×									.
								B							20						.					B1						2 10														.
																×																					0			−
															0																						0			−
																												=						×
									=						0													=						×			0
															0																						0

5.2 Реализация математических моделей в базисе переменных состояния

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Основу реализации математических моделей в базисе переменных состояния составляет решение задачи Коши, то есть интегрирование систем обыкновенных дифференциальных уравнений с заданными начальными условиями X (t0) = X0.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Задача Коши для систем линейных дифференциальных уравнений может решаться как аналитически, так и с использованием методов численного интегрирования дифференциальных уравнений.

Для систем нелинейных дифференциальных уравнений общие аналитические методы решения отсутствуют, поэтому задача Коши решается преимущественно путем численного интегрирования дифференциальных уравнений.

Аналитическое решение систем линейных дифференциальных уравнений

Аналитическое решение системы линейных неоднородных дифференциальных уравнений первого порядка (5.3) с начальными условиями X (t0) = X0 имеет вид:

X t Φ t	X0			Φ 1	ξ B ξ F ξ	i 1 Bi ξ d dξiξ				dξ ,
				t		s	iF	( )
			t0	−		s	iF
( ) = ( )		+	∫		( ) ( ( ) ( ) + ∑ ( )				)
			∫			=

где Φ(t) — фундаментальная матрица, определяемая решением матричного уравнения:

dΦ t
( )		A t	Φ t	, Φ	t0		1.	(5.47)
( )	=	( )	( )	(		) =
dt

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1613 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
25.11.201835.37 Кб1Методичка№7.docx
#
11.05.2015251.9 Кб9МетодУказ - ИнстЭк(Менеджмент) - 13.3.12.doc
#
11.05.2015225.28 Кб10МетодУказ - ИнстЭк(экономика) - 13.3.12.doc
#
10.05.2015378.37 Кб19МетодУказdDelphi.doc
#
09.11.2018162.3 Кб3методУказОБДМуниципал (информатика и программир....doc
#
16.03.20161.69 Mб623Методы анализа и расчета электронных схем - пособие.pdf
#
11.05.20151.26 Mб15МетУказКурсПр_БД_Изм.pdf
#
16.09.2019676.6 Кб7МИКРА.docx
#
10.05.20153.53 Mб291Микроэлектроника.doc
#
11.05.20151.54 Mб13мировая экономика.pdf
#
11.05.2015128 Кб9мировые концепции Ментального здоровья.doc

	Ux2
		Ux1
0				0

0		Ux4		0
0		Ux5		0
0		Ux5		0	,
0		Ix1		0	,
0		Ix1		0
0				0
		Ix2
1		Ix2	=	0
1		Ix3		0
		Ix3
		Ix4
		Ix4

		Ix5
		Ix5

	Ux2
		Ux1
0				0

0		Ux4		0
0		Ux5		0
0		Ux5		0	,
0		Ix1		0	,
0		Ix1		0
0				0
		Ix2
1		Ix2	=	0
1		Ix3		0
		Ix3
		Ix4
		Ix4

		Ix5
		Ix5

	Ux2
		Ux1
0				0

0		Ux4		0
0		Ux5		0
0		Ux5		0	,
0		Ix1		0	,
0		Ix1		0
0				0
		Ix2
1		Ix2	=	0
1		Ix3		0
		Ix3
		Ix4
		Ix4

		Ix5
		Ix5