Лекции №1

y = y1 + y2 + y3

y1 = K1 x1 ;

y3 = K1 K2 K3 x1 . Так		как передаточ-
ный	коэффициент	соединения

K = y / x , то с учетом того, что y3 = y

и x1 = x , получим K = K1 K2 K3 . Следовательно, передаточный коэффициент системы из n последовательно соединенных звеньев равен произведению передаточных коэффициентов

K = ∏n	Ki .
i =1
Параллельное		соединение.

Входная величина системы, состоящей из параллельно соединенных звеньев (рис. 6,б) одновременно подается на входы всех звеньев, ее выходная величина равна сумме выходных величин отдельных звеньев.

Действительно, и

Рис. 6. Соединение звеньев: а – последовательное; б – параллельное; в – соединение с обратной связью

y2 = K2 x2 ; y3 = K3 x3 а x = x1 = x2 = x3 .

Тогда y = (K1 + K2 + K3 ) x , т. е. передаточный коэффициент соединения, состоящего из n параллельно соединенных звеньев, равен сумме передаточных коэффициентов

n

этих звеньев: K = ∑Ki .

i=1

Соединение с обратной связью. При соединении звена с обратной связью (рис. 6,в) на вход звена одновременно с входной величиной подается ее выходная величина, прошедшая через звено обратной связи с передаточным коэффициентом KO.C. , поэтому ∆ x = x ± xO.C. .

Передаточный		коэффициент системы запишем так: y = K1 ∆ x = K1 (x ± xO.C. ) .
Разделив это равенство на у и учитывая, что					KO.C. = xO.C. / y , а передаточный
коэффициент	системы		K = y / x ,	получим	1 = K1 (1/ K ± KO.C. ) .	Откуда,
K = K1 /(1± K1 KO.C. )		В знаменателе знак «+» относится к отрицательной обратной
связи.

11

7.ПОСТРОЕНИЕ РЕЗУЛЬТИРУЮЩИХ СТАТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИХ

Свойства звеньев, их соединений и САУ в целом определяются их статическими характеристиками, которые могут быть получены экспериментальным путем или в результате аналитических или графических расчетов.

Параллельное соединение. Для графического построения результирующей статической характеристики соединения, составленного из параллельно соединенных звеньев при заданных статических характеристиках последних, необходимо построить характеристики всех этих звеньев в одинаковом масштабе. Затем просуммировать их ординаты для соответствующих значений входных величин, так как для такого соединения K = K1 + ... + Kn (рис. 7).

Последовательное соединение. Так как при последовательном соединении звеньев выходная величина каждого предыдущего звена является входной величиной каждого последующего и K = K1 ... Kn то для построения статической

характеристики соединения необходимо построить характеристику первого звена в первом квадранте, характеристику второго звена — во втором квадранте, чтобы ось абсцисс X2 второго звена была совмещена с осью ординат Y1 первого звена. Характеристику третьего звена строят в третьем квадранте.

При поступлении на вход соединения величины x0 на выходе первого звена получим выходную величину y01 , которая будет входной величиной x02 для второго звена. Выходная величина y02 второго звена является входной величиной x03 третьего звена. На выходе третьего звена устанавливается выходная величина y03 которая является выходной величиной y0 соединения. В четвертом квадранте восстанавливают перпендикуляры к осям абсцисс и ординат в точках x0 и y0 . В их

пересечении получают точку, которая принадлежит статической характеристике соединения, так как она определяет зависимость между входной и выходной величинами соединения в установившемся режиме. Произведя аналогичные

Рис. 7. Построение результирующих статических характеристик: а – статические характеристики отдельных звеньев; б – для параллельного соединения; в – для последовательного соединения

12

KО.С.

построения	для	других			значений
входной	величины,				получают
результирующую			статическую
характеристику		в		четвертом
квадранте (рис. 7).
При построении			статической
характеристики соединения, со-
стоящего из двух звеньев, в третьем
квадранте	проводят				вспомо-
гательную	линию		из		начала
координат под углом 45° к оси
абсцисс.	Это		эквивалентно
условному	подключению				третьего	Рис. 8. Построение результирующей
звена при	K = 1.	Для		определения
статических			характеристик			статической характеристики для
соединения,	образованного более чем					соединения с обратной связью при
из трех последовательных звеньев,						K0.C. = 0,5
построение	выполняют			для первых

трех звеньев. Повторяют для последующих трех звеньев и т. д. После этого выполняют аналогичные построения с полученными результирующими статическими характеристиками и таким образом находят статическую характеристику всего соединения.

Соединение с обратной связью. При пассивных элементах, стоящих в цепи обратной связи, как правило, изменяется в пределах от нуля до единицы. В

случае размыкания цепи обратной связи KО.С. = 0 . При подаче выходной величины непосредственно на вход KО.С. = 1. Статическую характеристику соединения по характеристике звена и известному KО.С. находят путем смещения каждой точки

характеристики элемента параллельно оси абсцисс на величину, равную произведению выходной величины для соответствующей точки на KО.С. . Точки

смещают вправо при отрицательной обратной связи и влево при положительной обратной связи (рис. 8).

При наличии отрицательной обратной связи и значении выходной величины y0 , сместив точку A статической характеристики звена вправо на величину KО.С. y0 ,

получают точку B , которая будет принадлежать статической характеристике соединения.

13

Рис. 11. Перенос сумматора: а – исходная схема; б – перенос сумматора по направлению передачи информации; в – перенос сумматора против направления передачи информации

	8.	ПРАВИЛА СТРУКТУРНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
	Большинство			реализуемых		на
	практике САУ мгоконтурные. Многие
	методы расчета, анализа и синтеза
	разработаны только для одноконтурных
	систем. В связи с этим возникает
	проблема приведения исходной системы						Рис. 9. Перенос точек отвода обратной
	к одноконтурной системе. Особенно
	важно знать перенос точек отвода						связи по направлению передачи
	обратных связей.						информации: а – исходная схема; б –
	Перенос точки отвода обратной						эквивалентная схема
	связи по	направлению прохождения
	информации. При переносе точки
	отвода обратной связи для сохранения
	равенства	передаточных			коэффициентов
	(рис. 9) необходимо ввести звено В.
	Передаточный				коэффициент
	K′ = K1 K2 /(1+ K1 KO.C. ).				Передаточный
	коэффициент
	K′′ = K1 K2 /(1+ K1 K2 KO.C. B).					При	Рис. 10. Перенос точек отвода обратной
	K′ = K′′	имеем	B = 1/ K2 .		Таким	образом,	связи против направления передачи
	при переносе точки отвода обратной связи по						информации: а – исходная схема; б –
	направлению		прохождения информации				эквивалентная схема
	дополнительный			элемент	должен иметь

передаточный коэффициент, обратный K2 .

Перенос точки отвода обратной связи против направления прохождения информации
(рис. 10).	Передаточный коэффициент	K * = K1 K2	/(1+ KO.C, K1 K2 ).	Передаточный
коэффициент	K ** = K1 K 2 /(1 + KO.C, K1 B′),	где B′	- дополнительное	звено. Чтобы

передаточный коэффициент системы сохранился, т. е. чтобы K1 = K2 , необходимо при переносе точки отвода обратной связи против направления прохождения информации ввести элемент с передаточным коэффициентом, равным B′ = K2 .

Перенос сумматора. При переносе сумматора по направлению прохождения информации необходимо добавить звено с передаточным коэффициентом, равным передаточному коэффициенту звена, через которое переносится сумматор (рис. 11,б). Если сумматор переносится против направления прохождения информации, то необходимо добавить звено с передаточным коэффициентом, равным обратному передаточному коэффициенту звена, через которое переносится сумматор

(рис. 11,в).

Лекция 2

14

9.Методы описания процессов в САУ

9.1. Сущность моделирования

Свойства любой системы проявляются в процессе ее функционирования. Для определения этих свойств необходимо подать на входы некоторые возмущающие воздействия и проанализировать выходы системы. Однако почти всегда проведение таких экспериментов с реальной системой экономически невыгодно, а с проектируемой системой невозможно. В связи с этим эксперименты для изучения свойств системы проводят не с реальными системами, а с их моделями.

Модель - некоторая другая система, сохраняющая существенные черты оригинала и допускающая исследование физическими или математическими методами.

Моделирование - процесс проведения экспериментов на модели вместо прямых экспериментов на самой системе.

Основой моделирования является теория подобия. Согласно которой абсолютное подобие моделируемого объекта или процесса и модели имеет место лишь при замене изучаемого объекта точно таким же. Модель должна отображать сущность исследуемого процесса, соответствовать цели исследования, давать все необходимые данные для вычисления целевой функции и не содержать второстепенных связей. Модель, являясь абстракцией определенного варианта решения, дает возможность многократного проведения опытов для познания сущности процесса и получения удовлетворительных результатов решения задачи. Изменяя характеристики системы, можно познать её поведение при этих характеристиках и анализировать влияние различных факторов: наблюдать будущие ситуации в виде, не искаженном посторонним влиянием, производить обобщение и оценивать новые идеи по совершенствованию организации исследуемого процесса. Поведение модели и реального объекта должно подчиняться одинаковым закономерностям. Изучив их, можно предсказать свойства проектируемого объекта или процесса.

Многообразие исследуемых объектов и процессов, целей и задач моделирования породило множество типов моделей. Выбор аппарата для построения модели зависит как от природы и свойств моделируемого объекта или процесса, так и от характера решаемой задачи. По способу построения все множество моделей можно разделить на физические и абстрактные.

Физическая (натурная) модель - это установка или устройство, позволяющее проводить исследование заменой изучаемого физического процесса подобным ему процессом с сохранением его физической природы. Физические модели используют, если из-за сложности системы или недостаточной априорной информации не удается построить адекватную модель и когда даже с помощью моделирования на абстрактной модели получение удовлетворительных результатов встречает непреодолимые трудности.

Впроцессе физического моделирования задают некоторые характеристики внешней среды и исследуют поведение либо реального объекта, либо его модели при заданных или создаваемых искусственно воздействиях внешней среды. Физическое моделирование может протекать в реальном или нереальном масштабе времени, а также может рассматриваться без учета времени.

Несмотря на универсальность метода физического моделирования, постановка натурного физического эксперимента с современными системами иногда бывает чрезвычайно затруднена, а порой и невозможна (например, причина и следствие разнесены во времени и пространстве). Избежать дорогостоящих натурных экспериментов, сократить время на проверку гипотез позволяет использование абстрактных моделей.

Вабстрактных моделях описание объектов и процессов осуществляется на каком-либо языке. В качестве языков моделирования можно использовать естественный язык, язык чертежей, схем, математический язык и др.

Описание объекта или процесса, выполненное на математическом языке, называют математической моделью. В простейших случаях для этой цели используют известные аналоги между механическими, электрическими и другими явлениями. Математические модели отличаются тем, что средством описания моделей и изучения их поведения является формальный аппарат математики. Отсюда следует важное преимущество - широкая возможность

15

количественного анализа моделей с помощью современных математических методов. Другое важное преимущество математических моделей - универсальность языка математики, возможность использовать одни и те же модели для исследования физически различных систем. Еще одно полезное свойство математических моделей - возможность получать результаты, относящиеся не к отдельной конкретной реализации, соответствующей определенным начальным данным и фиксированным значениям параметров исследуемой системы, а сразу для целого множества возможных видов поведения системы.

По форме описания абстрактных моделей выделяют аналитические математические модели - модели, в которых связи между объектами характеризуются отношениями-функциями (алгебраическими, дифференциальными и др.), позволяющими с помощью соответствующего математического аппарата и, как правило, с применением ЭВМ сделать необходимые выводы о системе и ее свойствах, провести оптимизацию искомого результата. Наиболее существенная характеристика аналитических моделей заключается в том, что модель неадекватна объекту моделирования. Аналитическое математическое моделирование помогает относительно быстро получить результат, но накладывает определенные ограничения на модель системы.

9.2. Математическая модель САУ

Для получения математической модели САУ составляют описание составляющих её элементов. Совокупность уравнений каждого входящего в САУ элемента дает её аналитическое описание.

Для получения математической модели в теории автоматического управления используют один из двух путей:

1.Получение системы дифференциальных уравнений на основе аналитического анализа процессов (физических, механических и др.) или экспериментальным путем.

2.Получение косвенных оценок динамических процессов, к которым относятся передаточные функции, временные и частотные характеристики.

9.3.Описание процессов в САУ с помощью дифференциальных

уравнений

Использование аппарата дифференциальных уравнений обусловлено необходимостью количественной оценки действующих в системе сил и моментов и анализа качества САУ.

Порядок составления дифференциальных уравнений: постановка задачи, определение входа и выхода, выявление физических процессов в системе, факторов и степени их влияния, выбор системы координат, рзбиение САУ на динамические звенья, составление дифференциальных уравнений звеньев.

Любая реальная динамическая система нелинейна. Но большинство непрерывных САУ можно линеаризовать, т.е заменить эквивалентными системами, переходные процессы в которых описываются обыкновенными линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами. Такие системы управления принято называть линейными.

Линеаризация основывается на методе малых оклонений. Когда динамические свойства САУ исследуются не во всем возможном диапазоне изменения переменных, а вблизи их некоторых значений, соответствующих характерным режимам работы.

Составление и линеаризацию уравнений обычно проводят по отдельным звеньям. Разлагая в ряд Тейлора непрерывную аналитическую функцию, связывающую переменные звеньев и их производные, и отбрасывая члены второго и высших порядков малости, получим линейное уравнение звена.

16

x = x0

Для заданной функции

f ( y) = f ( y0 ) +

f ′( y

0

)

( y − y0 ) +

f ′′( y

0

)

( y − y0 )2 + .... +

f ( n) ( y

0

)

( y − y0 )n + ....

1!

2!

n!

При y0

= 0 ряд Тейлора имеет вид

f ( y) = f (0) +

f ′(0)

y +

f ′′(0)

y2

+ .... +

f (n) (0)

yn + ....

1!

2!

n!

Рассмотрим систему, которая описывается дифференциальным уравнением

второго порядка

F( y, y, y, x) = 0 .

(2)

После линеаризации в окрестности заданной точки ( y0 , y0 , y0 , x0 ) получим

где ∆ y = y − y0 ;

a0 ∆ y + a1 ∆ y + a2 ∆ y + b0 ∆ x = 0

(3)

∆ y = y − y0 ;

∆ y = y − y0 ;

∆ x = x − x0 ;

∂ F

∂

F

∂ F

∂ F

a

0

=

,

a

=

, a

2

=

,

b =

.

1

∂ y

∂

0

∂ x 0

∂ y 0

0

y 0

Индекс «ноль»

означает,

что

производные вычисляются в заданной точке,

которой соответствует рассматриваемый процесс. Полученное уравнение является линеаризованным относительно исходного, а процесс перехода от исходного уравнения к линеаризованному - линеаризацией. Обычная линеаризация возможна, если функция, описывающая нелинейную зависимость, является гладкой.

Примем, что при постоянном входном воздействии при t стремящемся к ∞ выходная величина устанавливается и принимает постоянное значение y0 . Тогда в установившемся режиме ( y = 0 , y = 0 ) уравнение принимает вид F(0, 0, y0 , x0 ) = 0 .

Это уравнение называют уравнением статики в отличие от исходного, которое называют уравнением динамики. Коэффициенты линеаризованного уравнения являются постоянными, так как величины y0 , x0 не зависят от времени и время не

входит в исходное уравнение.

Ограничения, накладываемые на уравнение (2) для получения уравнения (3), следующие: отклонения ∆ y , ∆ y , ∆ y , ∆ x достаточно малы; функция F обладает непрерывными частными производными по всем аргументам в окрестности точки, соответствующей заданному режиму.

Полученное уравнение динамики имеет силу для малых изменений координат и относится к классу линейных обыкновенных уравнений, анализ которых существенно проще.

Пример:

0,1 ln	d 3 y		+ 2 3	d 2 y		dy 4
	dt	3		dt	2	+		+15 y = 4 ln
						dt

а) 0,1

ln

d 3 y

= 0,1

ln F

→ k F ,

dt3

1

1

k = (0,1

ln F1 )′

= 0,1 1

(ln F1 )−

1

1

2

F1

F =2

2

F =2

1

1

б) 2 3 d 2 y = 2 3 F2 →

k

F2 ,

dt 2

dx	+15 x,	(2; 27; 0, 5; 4; 2;1).
dt

= 0, 03;

17

2

= 0, 07 ;

k = 2 F − 3

3

2

F2 =27

dy

4

4

в)

= F3

→ k F3 ,

dt

k = 4 (F )3

= 0,5 ;

3

F3 =0,5

г) 15 y →

k y ,

k = 15 y′

y=4 = 15;

д) 4 ln

dx = 4 ln F5 → k F5 ,

dt

k = (4 ln F )′

= 1;

5

F5 =2

е) 15

x = 15 F6 → k F6 ,

′

15

k = (15

F6 )

=

= 7, 5;

F6

F6 =1

2

F6 =1

d3 y

d 2 y

0, 03

+ 0, 07

+ 0,5

dy

+15 y = dx

+ 7,5 x .

dt2

dt

dt3

dt

9.4. Стандартная форма записи линейных дифференциальных уравнений

Члены, содержащие выходную величину и её производные, записывают в левой части уравнения, а все остальные члены - в правой; коэффициент при выходной величине делают равным единице делением обоих частей уравнения на коэффициент при этом члене. Если в правой части содержатся производные, то члены, содержащие входную величину и её производные, объединяют в одну группу и коэффициент при входной величине выносят за скобки:

a0 y + a1 y + a2 y = b0 x + b1 x + C0 z ;

a0

a2

y + a1 y + y = b1 a2 a2

b				C	0	z .
	0
			+ a
b		x + x			2
	1

Коэффициенты при производных имеют размерность времени и называются

постоянными

времени,

их

степень

совпадает с

порядком производной, т. е.

a

0

/ a

2

= T 2

, a / a

2

= T , b / b = T .

0

1

1

0

1

2

и

являются передаточными

Коэффициенты

K1 = b1 / a2

K2 = C0 / a2

коэффициентами. В результате такого преобразования получаем запись

T02 y + T1 y + y = K1 (T2 x + x) + K2 z .

Это и будет стандартная форма записи через постоянные времени и передаточные коэффициенты.

9.5. Описание процессов через передаточные функции

Дифференциальное уравнение звена САУ в общем виде запишем как:

a

d n y

+ a

d n−1 y

+ ... + a

dy

+ a

y = b

d m x

+ b

d m−1x

+ ... + b

dx

+ b x,

(4)

dtn−1

dtm−1

dt

0

dtn

1

n−1

dt

n

0

dtm

1

m−1

m

18

Если в уравнение (4), содержащее функции времени y(t) и x(t) , ввести функции X ( p) и Y ( p) комплексного переменного p , поставив условием, что эти функции связаны зависимостями

	∞				∞
	Y ( p) = ∫ y(t) e− pt dt , X ( p) = ∫ x(t) e− pt dt ,						(5)
	0				0
то дифференциальное уравнение, содержащее функции					y(t) и x(t) ,	равносильно линейному
алгебраическому уравнению, содержащему функции Y ( p)					и X ( p) :
a pn Y ( p) + a pn−1 Y ( p) + ... + a			n−1	p Y ( p) + a Y ( p) = b pm X ( p) +
0	1				n	0	(6)
+b pm−1	X ( p) + ... + b	p X ( p) + b X ( p).
1	m−1			m

Такой переход от дифференциального уравнения к однозначно соответствующему ему алгебраическому уравнению называют преобразованием Лапласа, интеграл (5) - интегралом Лапласа, комплексная переменная p - оператором Лапласа. Сообразно с этим алгебраическое

уравнение (6) является записью исходного дифференциального уравнения (4) в операторной форме.

Функцию Y ( p) называют изображением функции y(t) , а функцию y(t) - оригиналом функции Y ( p) . Операция перехода от исходной функции y(t) к её изображению Y ( p)

(нахождение изображения по оригиналу) называют прямым преобразованием Лапласа. Математически прямое преобразование Лапласа записывают условно с помощью символа L[y(t)] = Y ( p) . Операцию перехода от изображения Y ( p) к искомой функции y(t) (нахождение оригинала по изображению) называют обратным преобразованием Лапласа. Математически обратное преобразование Лапласа записывают с помощью символа L−1 [Y (p)] = y(t) . Практически

переход от дифференциального уравнения к алгебраическому виду происходит без каких-либо вычислений.

Если сравнить уравнение (4) с уравнением (6), то нетрудно заметить, что формально переход от дифференциального уравнения алгебраическому операторному уравнению при нулевых начальных условиях1 получают путем замены символов дифференцирования оригиналов функций

d n / dt n , d n−1 / dt n−1 , …,	d / dt соответственно символами	pn , pn−1 , …, p и функций y(t) - их
изображениями Y ( p) .	С оператором p можно, как и	с другими членами алгебраического

уравнения, производить различные действия (умножение, деление, вынесение за скобки и т. д.). Возможность записи дифференциального уравнения в операторной алгебраической форме значительно упрощает все расчеты.

Каждое звено САУ в общем случае описывается дифференциальным уравнением вида (4). Следовательно, при выводе дифференциального уравнения системы в целом необходимо совместно решить несколько дифференциальных уравнений высших порядков. Запись дифференциальных уравнений в операторной форме позволяет свести задачу к решению системы алгебраических уравнений. Определив из алгебраических уравнений изображение Y ( p) искомой

функции y(t) , определяющей переходной процесс в системе, находят эту функцию, пользуясь

таблицами формул изображений функций, или графическим путем. Кроме того, запись дифференциальных уравнений звеньев системы в операторной форме дает возможность ввести удобное понятие передаточной функции, характеризующей звено системы. С помощью передаточных функций расчет САУ еще более упрощается и становится доступным широкому кругу инженеров, не требуя применения сложного математического аппарата.

Итак, преобразовав по Лапласу уравнение (4) и вынося в уравнении (6) Y ( p) и

X ( p) за скобки и получаем

) Y ( p) = (b

) X ( p). (7)

(a

0

pn + a pn−1 + ... + a

n−1

p + a

n

pm + b pm−1

+ ... + b

m−1

p + b

m

1

0

1

Определим из уравнения (7)

отношение изображения выходной величины к

1 Нулевые начальные условия для дифференциального уравнения n-го порядка характеризуются тем, что для t = 0 значения самой функции y(t) и всех её производных равны нулю

19

изображению входной

	Y ( p)		b pm + b pm−1			+ ... + b		p + b	m	= W ( p).	(8)
		=	0		1	m−1
	X ( p)		a	0	pn + a pn−1	+ ... + a	n−1	p + a	n
					1

Отношение W ( p) изображения выходной величины системы к изображению его входной величины называют передаточной функцией системы в операторной форме. Соответственно отношение изображения выходной величины звена к изображению его входной величины называют передаточной функцией звена. Передаточная функция W ( p) является дробно-рациональной функцией оператора p :

W ( p) = Q( p) / P( p) , где

P( p) = a

0

pn + a pn−1

+ ... + a

n−1

p + a

n

- оператор

левой части

1

- оператор

дифференциального

уравнения;

Q( p) = b pm + b pm−1

+ ... + b

m−1

p + b

m

0

1

правой части уравнения. Из уравнения (5) следует, что передаточная функция звена системы W ( p) и изображение его выходной величины определяют изображение выходной величины Y ( p) = W ( p) X ( p) .

При рассмотрении типовых динамических звеньев часто встречаются функциональные зависимости. Определим изображение этих функций по Лапласу.

Таблица 1. Преобразование Лапласа для типовых динамических операций.

f (t)

F( p)

a f (t)

a F( p)

f1 (t) ± f2 (t)

F1 ( p) ± F2 ( p)

d[f (t)]

p F( p) − f (0)

dt

d

n

[ f (t)]

p

n

F( p) −

[ p

n−1

f (0)

+ p

n−2

f

′

+ ... + f

n−1

(0)]

(0)

dt n

∫ f (t)dt

F( p) / p*

f (t − a)

e−ap F( p)

* Если начальное значение интеграла

от оригинала равно нулю

Изображение единичной функции x(t) = 1 :

F( p) = ∞∫e− pt 1 dt = −

1

e− pt / 0∞

=

1

.

p

0

p

Изображение

экспоненты

вида

x(t) = e

− t

T :

F( p) = ∞∫e− pt e−t / T dt =∞ ∫e−( p+1/ T )t dt = = −

1

e−( p+1/ T )t /0∞ =

T

.

p +1/T

1

0

0

+ pT

Изображение

экспоненты

вида

x(t) = 1− e−t / T :

F( p) = ∞∫e− pt (1− e−t / T )dt =∞ ∫e− pt dt − − ∞∫e−( p+1 / T ) t dt =

1

−

T

=

1

.

p

1

+ pT

p

+ pT

0

0

0

Преобразования Лапласа, часто используемые при расчетах САУ, приведены в таблицах 1 и 2.

Таблица 2. Преобразование Лапласа для функций, часто встречающихся в задачах управления.

f (t)

F( p)

f (t)

F( p)

δ (t) (импульсная

1

[1] (t − a)

1

e−α p

функция)

p

[1] (единичная

1

1

−α t

1

1

функция)

(1− e

)

p

α

p

p +α

20