PraktykumRiady

19. Застосування операційного числення

151

19.11. Розв’яжіть інтегральне рівняння:

			t																								t
	1) ch(t )x( )d ch t cost;																							2) 3 sh(t )x( )d x(t) e t ;
			0																								0
									t
	3) x(t) et x( )d cost;
									0
			t
	4) (t )2x( )d 2x(t) 2et 0.
			0
	Відповіді
	19.7. 1) x(t)				1		sh 3t					3	te 3t ; 2)			x(t)			ch t				1	t 2; 3) x(t)									t	3	2e t 2;
					2							2											2										3
	4) x(t) (1 2t) cos 2t sin 2t; 5)															x(t)				1		(e 9t		9 sin t cost);
																			82
		t		3		2t			8	t				t				t							5		3t		4		2
	6) x 2e				e										2 sin							x(t)				e						t;
										e		cos							; 7)
				5					5					2				2							9				9		3
	8) x(t) cos 2t							1 sin 2t 1e2t t2											1 ; 9) x(t)						1			1 e 2t			et			e t ;
								2					2						2						2			2
	10) x(t)			83				1 t				7	e 2t		4et		2t cost 6t sint 81 cost																	24 sint.
				4				2		20																		5							5
	19.8. 1) x(t) 1 e t									(t 2)(1 e (t 2));

2)x(t) 2t sin t 21 (t )(t )sin(t );

3)x(t) ch t 1 e1 (t 1)(ch(t 1) 1);

						2	t													2 t 1														2 t 2
4)	x(t) 2							2 (t 1)sin																	(t 2)sin
			sin																																			.
							2																2												2
19.9. 1) x(t)						1	(et					1)	t	et								1	et	ln		et 3						;
						3							9									9				4
2)	x(t) et			1 (t ln 2)(et													1) (et 1)ln(et 1);
										4				tg			t													2 cost
																	2
3)
												arctg										cost ln											;
	x(t) sin t t																															3
											3					3
4)	x(t)	1			9						3	cost						3											3 sin t 2							3
																					sin t ln																cost arctg( 3 cost);
	3						27									36													3 sint 2						9
		t
5)	x(t) e (t )2									sin d (інтеграл не можна виразити через елементарні функції);

0

152	Модуль 3. ОПЕРАЦІЙНЕ ЧИСЛЕННЯ

			t
6)
	x(t) ch t sh t 2 ch t arctge				.
					4
19.10. 1) x 4t 2 2 cost		3 sin t, y(t) 2t 2 sin t;

2) x(t)	7	et		1 e 2t		4 e 4t			7	e 7t, y(t)					3			et					3		e 2t						7		e 4t 11 e 7t.
															40							10
	40			5		5	40																				30							40
3) x(t)	3e 2t				(11 4a)e2t				3eat			,y(t)				e 2t								(11 4a)e2t										(a 1)eat .
	4(2 a)						a2 4							4(2 a)											4(2 a)
					4(2 a)																													a2 4
4) x(t) t,y(t) t 1.
19.11. 1) x(t) 2 sin t; 2)						x(t) ch 2t						1 sh 2t;
												2
3) x(t)	2 e2t		3 cost			1 sin t;	4) x(t) 1 tet										2			e t 2 sin								3t		.
	5		5			5						3			3			3									2

Додаток А

А.1. Допоміжні відомості

l m,

0,

a nl

a nl 1

... a

a

0

  lim

0

1

l

,

l m,

n

b0n

m

b1n

m 1

... bm

b0

,

l m;

n

 lim n

lim

n

1,

a 0;

1

a

n

e;

n

n

 lim 1

n

n

 lim n a nm a nm 1

... a

m

1

n

0

1

Формули перетворення степенево-

v(x )

e

lim v(x )ln u(x )

показникової невизначеності

x x0

;

lim u(x)

x x0

lim (u(x) 1)v(x )

v(x)

e

x x0

lim u(x)

1

x x0

Таблиця еквівалентностей (u(x) 0,

коли x x0 )

 sin u(x) u(x);

 arctg u(x) u(x);

 tg u(x) u(x);

eu(x ) 1 u(x);

1 cos u(x)

u2(x)

;

 ln(1 u(x)) u(x);

2

(1 u(x)) 1 u(x)

 arcsin u(x) u(x);

Факторіал

n ! 1 2 ... n,

0! 1;

(n 1)! n !(n 1);

n ! (n 1)!n

Подвійний факторіал

(2n 1)!! 1 3 5 ... (2n 1);

(2n)!! 2 4 6 ... 2n 2n n !

Сума геометричної прогресії з

n

q

n

1

першим членом b0

і знаменником q

Sn b0qk 1

b0

q 1

k 1

Стірлінґова формула

n

n ! 2 n

n

,n

e

154

Додаток А

А.2. Деякі розвинення функцій у ряд Фур’є

Додаток Б. Комплексні числа

Б.1. Дії з комплексними числами в алгебричній формі

Комплексне число. Комплексним

Комплексне число

y

z

числом z називають упорядковану

z зображують

y

M

пару дійсних чисел x та y.

точкою M(x;y)

x — дійсна частина, x Rez

або радіусом-

y — уявна частина, y Im z

вектором OM.

O

x x

Алгебрична форма

z x iy

комплексного числа

i2 1

Рівність комплексних чисел

x

x

,

1

2

z1

z2

y2

y1

Сума (різниця) комплексних чисел

z1 z2

(x1

x2) i(y1

y2 )

Добуток комплексних чисел

z1z2 (x1x2

y1y2) i(x1y2

x2y1)

Натуральний степінь

zn

z z z

комплексного числа

n

i1 i, i2 1, i3 i, i4 1

Спряжене до комплексного числа

z

y

z

z

x iy

z

x

z

z

Частка комплексних чисел

z1

z1z2

z

z

2

z

2

2

Арифметичні дії над комплексними числами в алгебричній формі можна проводити як з алгебричними виразами, враховуючи, що i2 1.

Дійна та уявна частини комплексного числа дійсні числа.

Поняття «більше» та «менше» для комплексних чисел не означують.

156

Додаток Б. Комплексні числа

Б.2. Полярна система координат

Полярна система координат.

r

M

y

M

Полярну систему координат задає:

y

1) точка O — полюс;

2) промінь, орієнтований одиничним

O

i

P

O

i

x

P x

вектором i , — полярна вісь;

3) додатний напрям відліку кутів

Полярні координати:

(проти годинникової стрілки).

— полярний радіус ( 0);

— полярний кут.

Зв’язок між декартовими координатами і полярними координатами

cos ,

x

x

2

2

2

x

y

;

,

sin ,

cos

y

x

2

y

2

:

y

2

2

x

y

sin

2

2

x

y

Головне значення 0

полярного кута ( 0

; 0

2k ,k )

y

x 0,y 0

0

I

x

x 0,y 0

y

x

arctg x

arccos

y

x 0,y 0

II

2

x

y

x

x 0,y 0

arctg x

arccos

y

x 0,y 0

III

x

x 0,y 0

y

x

arctg x

arccos

y

x 0,y 0

2

x

IV

x 0,y 0

y

x

arctg x

arccos

Додаток Б. Комплексні числа

157

Б.3. Дії над комплексними числами у тригонометричній і показниковій формах

Тригонометрична (показникова)

z (cos i sin ) ei

форма комплексного числа

Ейлерова формула

ei

cos i sin

e i

1 0

Модуль комплексного числа

z

x2 y2

zz

z

2

Аргумент комплексного числа

Arg z

arg z 2 k, k

arg z

— головне значення Arg z;

arg z ( ; ]

Добуток комплексних чисел

z1z2

1 2(cos( 1

2) i sin( 1 2))

ei( 1 2)

1

2

Спряження комплексного числа

z

(cos( ) i sin( )) e i

Частка комплексних чисел

z1

1

(cos(

) i sin(

))

z2

2

1

2

1

2

1

ei( 1 2 )

2

Натуральний степінь

zn

n (cos n i sin n )

комплексного числа

nein ,n

Муаврова формула

(cos i sin )n

cosn i sin n

Корінь з комплексного числа

n

n

i

2 k

k

z

e

n

2 k

2 k

n

cos

i sin

,

n

n

k 0,n 1

Всі значення n

розташовані

z

у вершинах правильного n -кутника

Додаток В

В.1. Розв’язання задачі Коші з допомогою перетворення Лапласа

		a	x(n)(t) a				x(n 1)(t) ... a x(t) f(t);
		n				n 1		0
		x(0) x			,x (0) x			,....,x(n 1)(0) x(n 1).
			0			0		0
I		Задача Коші							Розв’язок
		для оригіналів							задачі Коші		IV
		L							L 1
II		Операторне рівняння					A		Розв’язок операторного		III
		для зображень							рівняння

Переваги операційного методу полягають у тому, що його застосування зводить операції над оригіналами до простіших операцій над зображеннями. Диференціальні та інтегральні рівняння переходять у алгебричні.

Початкові умови в зображеннях ураховано автоматично.

Операційний метод дозволяє знаходити не лише частинний розв’язок диференціального рівняння, а й загальний, для цього досить покласти

x(k)(0) Ck const, k 0,n 1.

Список використаної і рекомендованої літератури

Підручники і посібники

1.Вища математика: підручник. У 2 кн. Кн. 2 / Г. Л. Кулініч, Є. Ю. Таран, В. М. Бурим та ін.; за ред. Г. Л. Кулініча. — К.: Либідь, 2003. — 368 с. — ISBN 966- 06-0230-8.

2.Вся высшая математика: учеб. / М. Л. Краснов, А. И. Киселев, Г. И. Макаренко и др. — Т. 3. — М.: Эдиториал УРСС, 2010. — 240 с. — ISBN 978-5-354-01329-6.

3.Вся высшая математика: учеб. / М. Л. Краснов, А. И. Киселев, Г. И. Макаренко и др. — Т. 4. — М.: Эдиториал УРСС, 2005. — 352 с. — ISBN 978-5-354-01051-9.

4.Дубовик В. П. Вища математика: навч. посіб. / В. П. Дубовик, І. . Юрик. — К: А.

С. К., 2006. — 647 с. — ISBN 966-539-320-0.

5.Жевняк P. M. Высшая математика: учеб. пособие Ч. 3. / P. M. Жевняк, А. А.

Карпук. — Мн.: Выш. шк., 1985. — 208 с.

6.Жевняк P. M. Высшая математика: учеб. пособие Ч. 4. / P. M. Жевняк, А. А.

Карпук. — Мн.: Выш. шк., 1987. — 240 с.

7.Овчинников П. П. Вища математика: підручник. У 2 ч. Ч. 2 / П. П. Овчинников.

— К.: Техніка, 2000. — 792 с. — ISBN 966-575-153-0.

8.Письменный Д. Конспект лекций по высшей математике. Полный курс /

Д. Письменный. — М.: Айрис-Пресс, 2008. — 608 с. ISBN 978-5-8112-3118-8, 978-5-8112-3480-6.

9.Шипачев В. С. Курс высшей математики / В. С. Шипачев. — М. Оникс, 2009. —

608с. — ISBN 978-5-488-02067-2.

Задачники і розв’язники

10.Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа / Г. Н. Берман.

— С.Пб.: Лань, Специальная литература, 2002. — 448 с. — ISBN 5-8114-0107-8.

11.Барковський В. В. Вища математика для економістів: навч. посібник / В. В.

Барковський, Н. В. Барковська. — К.: ЦУЛ, 2010. — 417 с. — ISBN 978-966-364-991-7.

12.Вища математика: збірник задач: Навч. посібник /В. П. Дубовик, І. І. Юрик, І.П. Вовкодав та ін.; За ред. В. П. Дубовика, І. І. Юрика. – К.: А. С. K., 2005. – 480 с.

13.Герасимчук, В. С. Вища математика. Повний курс у прикладах і задачах: навч. посіб. Ч.3. Кратні, криволінійні та поверхневі інтеграли. Елементи теорії поля. Ряди. Прикладні задачі / В. С. Герасимчук, Г. С. Васильченко, В. І. Кравцов. – К. :

Книги України ЛТД, 2009. — 400 с. — ISBN 978-966-2331-04-2.

14.Клепко В. Ю. Вища математика в прикладах і задачах: навч. посібн. /

В. Ю. Клепко, В. Л. Голець. — К.: ЦУЛ, 2009. — 592 c. — ISBN 978-966-364-928-3.

15.Краснов М. Л. Функции комплексного переменного. Задачи и примеры с подробными решениями / М. Л. Краснов, А. И. Киселев, Г. И. Макаренко. — М.:

Эдиториал УРСС, 2010. — 208 с. — ISBN 978-5-397-01172-3.

16.Сборник задач по математике для втузов. В 4 ч. Ч. 2. Линейная алгебра и основы математического анализа: учеб. пособие / Болгов В. А., Ефимов А. В., Каракулин А. Ф. и др. Под общ. ред. А. В. Ефимова и Б. П. Демидовича. — М.: «Издательский дом Альянс», 2010. — 368 с. — ISBN 978-5-903034-90-1.

17.Сборник задач по курсу высшей математики / Г. И. Кручкович, Н. И. Гутарина, П.

Е. Дюбюк и др. — М.: Высш. шк., 1973. — 576 с.