sopromat

Пример. В соответствии с условиями задачи 6 произвести расчет на прочность чугунной балки (рисунок 6.3,a) при Р = 2qa; m = qa2;

а = 1 м = 1000 мм, q = 10 кН/м = 10 Н/мм.

Материал балки – чугун СЧ15, имеющий механические характеристики:

предел прочности на растяжение вр = 120 МПа;

предел прочности на сжатие вс = 500 МПа. Балка имеет Т-образное поперечное сечение.

Рисунок 6.3

Решение.

1) В жестком защемлении А возникают реакция YA и реактивный момент МА. Так как балка консольная, эпюры Qy и Mx можно построить, не определяя опорные реакции МА и YA, если при применении метода сечений на каждом участке рассматривать левую отсеченную часть балки, на которую действуют известные внешние нагрузки:

I участок (границы участка)

при 0 ≤ z1 ≤ a:
	Qy = P;	Qy = 2qa;
	Mx = Pz1	Mx = 2qaz1;
при z1 = 0	Mx = 0;
при z1 = а	Mx = 2qa2.

41

II участок (границы участка)
при 0 ≤ z2 ≤ a:
		Qy = P;	Qy = 2qa;
Mx = P(а + z2) + m;			Mx = 2qa(a + z2) + qa2;
при z2	= 0	Mx = 3qa2;
при z2 = а		Mx = 5qa2.
III участок (границы участка)
при 0 ≤ z3 ≤ a:
	Qy = P – qz3;		Qy = 2qa – qz3;
при z3	= 0	Qy = 2qa;
при z3 = а		Qy = qa.
Mx = P(2а+ z3)+ m – 1 q z32 ;			Mx = 2qa(2a+ z3) + qa2 –	1	q z32 ;
		2		2
при z2	= 0	Mx = 5qa2;
при z2	= а	Mx = 6,5qa2.

По найденным значениям строим эпюры Qy (рисунок 6.3,б) и

Mx (рисунок 6.3,в).

Из анализа эпюры Mx следует, что наиболее нагруженным является сечение А в защемлении, где изгибающий момент достигает своего максимального значения:

max Mx = 6,5qa2 = 6,5·10·10002 = 6,5·107 Н·мм.

2) Для выполнения проектировочного расчета вычисляем геометрические характеристики заданного таврового поперечного сечения балки (рисунок 6.4).

Рисунок 6.4

42

Так как сечение симметричное, то вертикальная ось симметрии Y является главной центральной осью.

Разобьем сечение на два прямоугольника 1 и 2 и проведем их «собственные» главные центральные оси x1 Y1 и x2, Y2.. Введем вспомогательную ось X , совпадающую с нижней гранью сечения, и оп-

ределим положение центра тяжести сечения по формуле

Y		Si X		F1Yс1 F2Yс2		,	(6.1)
C		F		F	F
		i		1	2

где F1 , F2 – площади прямоугольников 1 и 2, а Yс1 , Yс2 – координа-

ты их центров тяжести с1 и с2 относительно оси X .

В соответствии с (6.1) получим координату центра тяжести сечения

Y 2b 10b 5b 8b 2b 11b 7,67b .

C	2b 10b 8b 2b

Отмечаем положение центра тяжести сечения С и проводим вторую главную центральную ось сечения Х.

Осевой момент инерции сечения относительно оси Х равен

J X J1X

J2 X ,

(6.2)

где

J

J

F a2 ;

J

2 X

J

2

F a2

– моменты

инерции

1X

1

1 1

x

2 2

x

1

2

1-го и 2-го прямоугольников относительно оси Х;

J1

, J2

x

– моменты инерции каждого прямоугольника отно-

x

1

2

сительно их собственных главных центральных осей x1 и x2

соответ-

ственно;

а1 и а2

– расстояния между осями Х и х1, аналогично X и х2,

равные

а1 YC

Yс

7,67 b 5b 2,67b ;

1

a2

Yс

YC 11b 7,67 b 3,33b .

2

Собственные моменты инерции каждого прямоугольника

Ji bihi3 : 12

J		b1h13			2b 10b 3		2000b4				166,7b4 ;
1х			12			12			12
	1
	J2		b2h23			8b 2b 3			64b4	5,33b4 ;
		x2				12			12
			12

43

J		J				F a2 166,7b4 2b 10b 2,67b 2
1Х			1				1	1
				х
				1
			166,7b4 142,578b4 309,3b4.
J	2X		J		2x		F a2 5,33b4 8b 2b 3,3b		2
								2 2
						2
			5,33b4					177,74b4 183,08b4.

Используя формулу (6.2), получим

JX = 309,30b4 + 183,08b4 = 492,4b4.

Определяем статические моменты Si для характерных точек поперечного сечения.

Характерными точками в данном случае являются точки, лежащие в горизонтальных слоях (рисунок 6.5):

точки 1 и 5, наиболее удаленные от главной центральной

оси Х;

точка 4, лежащая на уровне оси Х;

точки 3 и 2, принадлежащие уровню, где происходит изменение ширины поперечного сечения тавра. Точка 3 принадлежит стенке тавра, а точка 2 принадлежит полке тавра.

Рисунок 6.5

Для уровня с точками 1 и 5 надо учитывать статический момент всей площади поперечного сечения. Но для этого уровня он обращается в нуль, так как центр тяжести сечения совпадает с поло-

44

жением главной центральной оси Х, поэтому вычисляем статические моменты площадей, лежащих выше и ниже оси Х.

Статический момент площади S XB верхней части площади се-

чения всей фигуры, расположенной выше главной центральной оси Х:

SXB S2 X S1ВX* ,

где S2 X статический момент площади сечения полки;

S1ВX* статический момент части площади прямоугольника 1, находящейся выше главной центральной оси Х;

S	2 X		F а		2	8b 2b 3,33b 53,33b3 ;
				2
S	В* F B*				Y B* ,
1X				1		с
						1
здесь F B*				часть площади прямоугольника 1, находящаяся выше
оси Х;		1
Y B* расстояние от оси Х до сB* ,
с											1
	1
F		В* = 2b (10b – YC) = 2b (10b-7,67b) = 4,66b2;
1								10b YC 10b 7,67b 1,165b ;
					Y B*
						с1				2	2
				S1B*X F1B*YcB*							4,66b2 1,165b 5,43 b3 .
										1
Статический момент площади фигуры, находящейся выше
главной центральной оси Х:
				S B		S	2 X	S B*			53,33b3 5,43b3 58,8b3 .
				X						1X
Статический момент части площади сечения, расположенной
ниже оси Х, равен
										S1НX* F1H*Y1H* ,
где F		Н*		часть прямоугольника 1, находящаяся ниже оси Х;
1
Y H* расстояние от оси Х до сН* , при этом
1											1
				F Н*		2b Y				2b 7,67b 15,34b2 ;
				1					C
				Y Н*		1 Y				1 7,67b 3,84b ;
				1		2 C				2

S1НX* 15,34b2 3,84b 58,8b3 .

45

Равенство статических моментов S XВ* и S XН* указывает на то, что вычисления по определению центра тяжести составной фигуры были выполнены верно. Определение S XН* является проверкой.

3) Выполняем проектировочный расчет.

Из рассмотрения эпюры Mх (см. рисунок 6.3,в) следует, что в наиболее нагруженном сечении А изгибающий момент maxMx = = 6,5·107 Н·мм; верхние волокна сжаты, а нижние – растянуты.

Таким образом, в верхних волокнах, расположенных на расстоянии Yсж = а2 + b = 3,33b + b = 4,33b от оси Х, сжимающие напряжения максимальны, а в нижних волокнах, расположенных на расстоянии Yр = YС = 7,67b , растягивающие напряжения достигают максимума (рисунок 6.6,а).

а)		б)		в)
	Рисунок 6.6

При расчете на прочность должно выполняться как условие прочности для сжатых волокон, т.е. max сж сж , так и условие

прочности для растянутых: max р р .

Для хрупкого материала записываются два условия прочности:

на растяжение

max р

max M

х

Yр

[ p ];

(6.3)

J X

на сжатие

max

сж

max

M x

Y

[

сж

],

(6.4)

сж

J X

46

где допускаемые напряжения равны

[ р] вp 120 60 МПа; n 2

[ cж]= ncж = 5002 = 250 МПа.

Рассмотрим условие прочности на растяжение (6.3):

max р

max M х

7,67b [ p ] ,

492,4b4

откуда следует, что

b

3

max Мх

7,67 3

6,5 107

7,67

= 25,6 мм.

492, 4[ p ]

492, 4 60

Из условия прочности на сжатие получим

max M х

4,33b [ сж] ,

492,4b4

откуда

b

3

max M х

4,33 3

6,5 107

4,33

=13,2 мм.

492,4[ cж]

492,4 250

Из двух полученных характерных размеров поперечного сечения b выбираем наибольший, т.е. окончательно принимаем b = = 25,6 мм. Геометрические характеристики сечения (см. рисунок 6.6) равны

JХ = 492b 4 = 492·25,6 4 = 21,13·10 7 мм4; S2 X = 53,3b 3 = 53,3·25,6 3 = 8,94·105 мм3;

SXВ S1НX* 58,8b3 58,8 25,63 9,865 105 мм3; Yp = y5 = yС = 7,67·25,6 = 196,4 мм;

Ycж = (10b+2b) Yp = 12b 7,67b = 4,33·25,6 = 110,8 мм.

4) Для построения эпюры нормальных напряжений вычисляем:максимальные растягивающие напряжения

max р

max M x

Yp

6,5 107

196,4 60,4

МПа;

J X

21,13 107

максимальные сжимающие напряжения

max M x

Y

6,5 107

110,8

34,1

МПа.

21,13 107

max

сж

J X

сж

47

Эпюра нормальных напряжений показана на рисунке 6.6,б. Для построения эпюры касательных напряжений вычислим:

касательные напряжения в верхних и нижних волокнах сечения (уровни, в которых находятся точки 1 и 5)

τ1 = τ5 = 0;

касательные напряжения в месте соединения полки со стенкой (уровни, в которых находятся точки 2 и 3) вычисляются по фор-

муле Журавского max Qy SХ ,

J Хb(у)

где max Qy максимальная поперечная сила (см. рисунок 6.3),

max Qy = 2qa = 2·10·1 = 20 кН;

S Х – статический момент площади, лежащей выше (или ниже)

рассматриваемого уровня относительно оси X; J Х момент инерции всего сечения;

b(y) – ширина сечения на рассматриваемом уровне. Для уровня с точкой 2

2			max Qy S2 X					20 103 8,94 105			0,41 МПа.
				J X 8b			21,13 107		8 25,6
Для уровня с точкой 3
				max Qy S2X				20 103 8,94 105			1,6 МПа.
3				J X 2b				21,13 107	2 25,6

Максимальные касательные напряжения на уровне точки 4, совпадающем с главной центральной осью Х:

	max	max Qy S ВХ		20 103 9,86 105	1,82 МПа.
		J X 2b		21,13 107 2 25,6

Эпюра касательных напряжений показана на рисунке 6.6,в.

5) Проанализируем эпюру нормальных напряжений σ (см. рисунок 6.6,б) при заданном расположении поперечного сечения. Из эпюры следует, что верхние сжатые волокна сечения существенно недогружены.

Известно, что хрупкий материал на сжатие работает лучше, чем на растяжение ([σсж] > [σp]), а при заданном располо-

жении сечения оказалось, что maxσсж < maxσp, так как сжатые волокна

48

расположены ближе к нейтральной оси Ycж < Yp. Таким образом, заданный вариант расположения сечения, очевидно, следует считать нерациональным. Для рационального расположения поперечного сечения необходимо обеспечить выполнение условия Ycж > Yp, при котором в наиболее удаленных от оси Х волокнах будут возникать максимальные сжимающие напряжения. Для этого поперечное сечение, показанное на рисунке 6.6,а, необходимо повернуть на 180º (рисунок 6.7).

а)	б)
	Рисунок 6.7

При этом Ycж = 7,67b; Yp = 4,33b.

Запишем условия прочности (6.3) и (6.4) для сечения, повернутого на 180º:

		max M Х					,
max p					4,33b p
		492b	4

откуда после подстановки данных следует

b 3 4,33 6,5 107 21 мм. 492 60

В этом случае наибольшие сжимающие напряжения равны

max сж			max M Х			7,67b	6,5 107 7,3	67	109 МПа с 250.
			4
			492 b				492 21

Условие прочности выполняется.

Для перевернутого положения сечения окончательно следует принять b = 21 мм.

Геометрические характеристики в этом случае будут равны

JХ = 9,569·107 мм4, Yр = 91 мм; Yсж = 161 мм.

49

Максимальные сжимающие и растягивающие нормальные напряжения равны

max р 6,5 1077 91 60 МПа; 9,57 10

max сж 6,5 1077 161 109 МПа. 9,57 10

Эпюра нормальных напряжений для перевернутого положения поперечного сечения (см. рисунок 6.7,а) показана на рисунке 6.7,б.

Из эпюры следует, что в этом случае происходит догрузка сжатой части сечения. Кроме того, при таком расположении сечения уменьшается погонный вес балки, который определяется площадью поперечного сечения.

Если поперечное сечение расположено как на рисунке 6.6, то

F = 2b 10b + 2b 8b = 36b2=36 2,562 = 232 cм2.

При рациональном расположении поперечного сечения (см. рисунок 6.7,а)

Fрац = 36 b2 = 36 2,12 = 159 cм2.

Таким образом, при рациональном расположении поперечного сечения погонный вес балки уменьшается в F/Fрац = 232,0 / 159,0 = = 1,46 раза, т.е. на 46 %.

Расчет балки на жесткость

Задача 7

Для стальной балки определить прогибы в характерных точках и построить приближенно упругую линию (изогнутую ось балки).

Балка имеет двутавровое поперечное сечение с размерами, полученными при решении задачи 5, и нагружена в соответствии с расчетной схемой задачи 5.

Определить приближенно максимальный прогиб y и сравнить его с допускаемым [f] = 0,002l, где l – длина пролета (межопорного и консольного), в котором имеет место максимальный прогиб. Если условие жесткости не выполняется, подобрать размеры поперечного сечения из условия жесткости. При решении использовать метод начальных параметров.

Исходные данные принять по таблице 5.1, полагая q = 10 Н/мм;

P = qa; m = Pa = qa2; a = 1 м = 1000 мм.

50