TR_MA-1-20130920-124345

Варіант 26

1. Побудувати графіки функцій:

1) y 3 cos 3x		. 4) y ctg	1		.
	3		4 x	4
2) y 3 arccos(x 3). 5) y 4x 1.

3) y 2 arctg(x 3). 6) y lg(6 2x).

2. Знайти:

а) алгебричну форму	z		i5;
	1	2z3
	z2
б) тригонометричну форму z3;

в), г) (z1z2)8 та zz21 10 ;
д), е) всі значення 3			та 4			, якщо:
	z1				z2
z1 2 2i,z2 2 2
			3i,z3 6 7i.

3. Зобразити множину точок z :

1) 2 z 2 4, 3 arg z . 2) z 2i z 1 , Im z 1.

3) z3 6z2 18z 27 0.

Знайти границі (4—7):

4.1) lim

1 2 3

...

n .

n

3 n6 2n4 2

3

n

64n6 9

2) lim

71n

.

n (n

3 n) 11

n2

3) lim (n

n

n(n 1)(n 2)).

n

5.1) lim

3x2 x

. 6.1) lim

sin 5x sin x

.

4x

2 5x 1

x 0

x 0 arcsin x

2) lim

4x2 7x 15

.2) lim

ln(1 4x)

.

x2

6x 27

sin 2x

x 3

x 0

3) lim

3x 4

2x2 7

. 3) lim

arcsin 2x

.

3x 4 3x 5

1

x

x 0 ln(e x)

4) lim

3x 4

2x 4

. 4) lim

arctg(x 2 2x)

.

3x2

4x 1

sin 3 x

x

x 2

5) lim

2x 3 3x 1

. 5) lim

ex e 2x

.

x 5 4x 3

sin x 2

x

x 0 x

3x 1

6) lim

1 3x2

1

.

6) lim

3

.

x 0

x 3 x2

x 0 ln(1 x

1 xex )

x 1

1

3x 4

1 tg x cos 2x

7) lim

7) lim

x 3

x

3x

5

1 tg x cos 5x

x 0

4 3x

7x .

sin x

1

8) lim

8) lim

x 3

.

5 x

sin 3

x

x 3

7.1) lim	ln 2x	.	3) lim ex2 x 5.
x 0 ln tg x			x
			1
2) lim ln 2x ln(2x 1). 4) lim x				x 1	.
1			x
x 2

8. Визначити порядок і головну частину розкладу (x) відносно (x) :

1) (x) 31 x2 1, (x) sin x,x 0.

2) (x)				1	, (x) tg 1	,x .
		x	4	x 1	x

3)(x) ln cos 2x, (x) tg2 x, x 0.

9.Дослідити функцію на неперервність:

3x

1)f (x) 2 x 1.

			x 2,
x,
	x,		2 x 1,
2) f (x) 1
	2
		1,	x 1.
x

x5

3)f (x) x 3 у точках x1 3,x2 4.

Знайти похідні функцій (10—13):

	10.1) y 4								4					e x2									.
					x	3
									5			7
								x				(2x 5)
																								log2(3x 7)								.
	2) y 6 (2x 2					1)5				3
													cos
																2
																									tg 3x
	3) y tg			x arcctg 3x 5 arcsin2 3x .
																					th x
	4) y log2(x 3) arccos2 x																					lg(x 2 2x)									.
																								(x				4
																										8)
	5) y cth 3x arcsin4 2x (ctg 7x)sh(2x 3).
	6) y (ch 2x)tg(x 5)													x 10(x 8)3
																											.
												2												5
													(x 1) (x											1)
	11.1) x3 y3 5xy. 2) y cos(x y).
		y ?					x			3				1,						x arctgt,
													t
		x
	12.											2)
				: 1)																						1
										3																			2
		yxx ?						y					t 1.											y		2		t		.

13.1) y (5x 8) 2 x ,y(5) ?

2) y ln(5 2x),y(n) ?

14. Скласти рівняння дотичної та нормалі до кривої в заданій точці:

1) y 14		153		2,x				1.
	x		x				0
2) x 2 cost,y sin t,t					0	.
								3

54

3) x e t cos t,y e t sin t,z e t , M0(1; 0;1).

15. Знайти проміжки монотонності фун-

кції y 1		(6x2	x 3 16).
	8
16. max			1) y x 5 5x 4				5x 3,[ 1;2].
	f (x) ?			4			1
min			2) y 8x
[a,b]						,		;2	.
				x	2
							2

17. Дослідити функцію і побудувати її графік:

1) y

63

6(x 3)2

. 5) y x2 2x 2 .

x2 10x 33

x 3

2) y

2x2 4x 2 .

6) y x ln x.

2 x

x3

32

3) y

3

2

7) y

.

x(x 3) .

x2

4) y

3

sin x cos x

. 8) y

e2(x 1)

.

2

2(x 1)

Знайти інтеграли (18—22):

18. 1)

dx

.

7) sin(8x 5)dx.

5 2x

2)

8)

5xdx

3 4 2xdx.

.

7x2 1

3)

dx

9)

ln5(x 8)

dx.

.

x 8

4x2 3

4)

dx

.

10) sin4 8x cos 8xdx.

8x2 9

5) e5 2xdx.

11)

dx

.

cos2 x 5

tg2 x

3

dx

6) e3x

x2dx.

12)

.

arcsin 5x

1 25x2

19.1)

x 5

5)

(9x2 3x)dx

dx.

.

x2 7

(x2 x 2)(x 1)

2)

2x2 5

6)

3x2 7x 2

x 7

dx.

dx.

(x2 x)(x 1)

3)

dx

7)

(4x2 7x 5)dx

.

.

2x2 6x 7

(x 1)(x2 2x 5)

4)

(x 2)dx

8)

2x 3 8x 3x2 27

dx.

.

x 4 13x2 36

3x2 x 5

20.1) tg4(x 5)dx.4)

3 cos2 x

dx.

sin4 x

2) cos3 4xdx.

5)

cos2 x

dx.

1 sin2 x

3) sin 5x cos xdx.

6)

dx

.

3 5 sin x 3 cos x

21.1)				3 2x												5)											3x 4
												dx.																								dx.
					x 2 8																				2x 2 6x 1
2)					dx									.		6)											dx							.
																			x
			1 2x x 2																							x2 x 3
3)			x2 9							dx.						7)								3 x 1						dx.
				x 4																	3 x x
		x2dx																					3
4)																8)										1 4 x						dx.
								.
																											x 3 x
			x 2
22.1) x ln(x 1)dx. 4) x arctg2 xdx.
2) (x2				1)exdx.												5)																x
																				(x 4)cos 2 dx.
3) xe 4xdx.																												x
																6) arccos 5 dx.
23. Обчислити інтеграли:
2
1) ln(3x 2)dx.																4) 24 sin8 xdx.
1															0
2
																	8
			dx																							x2 8
2)																5)
						.																							.
	x3 1																										x4
1															4			2
																		3
0					dx										9										xdx
3)																. 6)
																												.
																											1
			2 6x 9x2
																								x
1															4
3

24. Обчислити інтеграли або довести їх розбіжність:

		dx		5		x2dx
1)			.	2)			.
x2		(x 1)				31(x 3 1)
1				1

25. Обчислити площі фігур, обмежених

кривими:

1) y x 2ex1,y 0,x 2,x 1.

	x 3 cost,
2)		y 4	3 (y 4 3).
	y 8 sint,

3) 2 sin 4 .

26.Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням фігури, обмеженої кривими y x3,x 0,y 8, навколо осі Oy.

27.Обчислити площу поверхні, утвореної обертанням кривої 2 9 cos 2 на-

вколо полярної осі.

55

Варіант 27

1. Побудувати графіки функцій:

1

4) y tg

2x

.

1) y 2 sin 2 x

8 .

4

2) y 3 arcsin x 21 .

5) y 5x 2.

3) y

1 arcctg(x 1). 6) y 2 ln(2x 5).

2

2. Знайти:

z

а) алгебричну форму

3;

z21 2z3

i

б) тригонометричну форму z3;

в), г) (z1z2)8 та zz21 10 ;

д), е) всі значення 3

та 4

, якщо:

z1

z2

z1 4 4i,z2 1

3i,z3 7 8i.

3. Зобразити множину точок z :

1) 2

z 2i

3, arg z

2 .

z 2

z i

2

2.

3

2)

,

Re z

c)z3 z2 4z 6 0.

Знайти границі (4—7):

4.1) lim

n(2n)! (2n 1)!

.

n n(2n 1)! (2n)!

n2 5

2) lim

n 6

.

n

3 n3 3 4 n3

1

n(3

3

3) lim

3

n2

n(n 1)).

n

5.1) lim

x2

2x 35

. 6.1) lim

1 sin x

.

x 5 2x2 11x 5

x

2

2 2 x

2) lim

2x2 11x 6

.

2) lim

sin(x 3)

.

20x

12

x3

27

x 6 3x2

x 3

3) lim

4 5x2 3x5

.

3) lim

tg x sin x

.

x5 6x

8

x

x 0 x(1 cos 2x)

4) lim

7x 3

2x 4

.

4)lim

1 x2

2x2 x 5

x

x 1 sin x

5) lim

2x 13

.

5) lim

ax2 a2

1

.

tg ln x

7

3x 5

4x

x x

x a

a

4

.

35x 2 7x .

6) lim

x 20

6) lim

x 4

x3 64

x 0

2x tg x

1

2x 1 2x

cos x 1

7) lim

.

7) lim

.

3

2x

sin2

2x

x

x 0

3x 1 3x

1

x3x

ctg2 x

8) lim

.

8) lim

.

x

2x

5

x 0

x7

x

1

7.1)lim

x2x

1

.

3) lim

ln(x 7)

.

x 1 ln x 1 x

x

7 x 3

3

1

4

2) lim

. 4) lim x 5 2 ln x .

3x 1

ln 3x

x 1

x 0

3

8. Визначити порядок і головну частину розкладу (x) відносно (x) :

1) (x) ex5 cos x 3, (x) sin x,x 0. 2) (x) ln(2x2 2x 3), (x) x 2,

x 2.

3) (x) ln(x 8 1), (x) sin x,x 0.

9. Дослідити функцію на неперервність:

1) f (x) sin 2x .

x

x 0,

sin x,

2) f (x)

0 x

2,

x,

x 2.

0,

3) f (x)

1

у точках x1

1,x2

2.

3

1 x

Знайти похідні функцій (10—13):

10.1) y

ecos 3x

3

2

.

x5

5

4

(2x 4)

x

2) y 3

ln3 x

4x 5 7

.

tg cos 2

ctg(x 3)

3) y tg3 2x arccos 2x 3

arctg2 5

x .

3 cth x

4) y 2 x arctg3

4x

3 ln(x 2 5)

.

(x 7)2

5) y th5 3x arcctg x

(sh 5x)arctg(x 2).

6) y (th 7x)sin(3x 2) 5(x 2)3 (x 1)3 . (x 1)2(x 3)4

11.1) 3 y exy . 2) x3					y3 arcsin xy.
	y	?		x 2(t	sint),			2	t,
	x							x ln
12.			: 1)			2)
	y	?			cost).
				y 4(2			y t lnt.
	xx

	13.1) y x2			ln(x 1),y(5) ?
	2) y	x		,y(n) ?
		x 1

14. Скласти рівняння дотичної та норма-

лі до кривої у заданій точці:

1) y 34x x,x0 1.

56

2) x 2 tgt,y 2 sin2 t sin 2t,t0 4 .

3) x 3 cost,y 3 sin t,z 5t, M0( 3; 0;5 ).

15. Знайти проміжки монотонності фун-

кції y	1	2	2
		(x 2) (x	6) .
	16
		1) y (3 x)e x ,[0;5].
16. max f (x) ?
min		2) y 3	(x 2)2(x 4),[ 4;2].
[a,b]

17. Дослідити функцію і побудувати її графік:

1) y 8x 6 123

. 5) y x2

1

.

(x 2)2

x2

2) y

2x 3

2x2 9x 3

.

2

2x2 3

6) y x ln x.

4(x 1)2

3) y 3 (x 2)2 3 (x

3)2

.7) y

.

x2 2x 4

4) y ln(cos x sin x).

8) y ln x 5

2.

x

Знайти інтеграли (18—22):

18.1)

dx

.

7) cos(8x 4)dx.

2x 7

2)

8)

3xdx

3 4xdx.

.

9x2 5

3)

dx

.

9)

ln3(x 6)

dx.

8x2 9

x 6

4) e7 3xdx.

10)

tg6 2x

dx.

cos2 2x

5)

dx

.

11) sin5 4x cos 4xdx.

5 4x2

5

arctg8 3x

6) x 4e x

1dx.

12)

dx.

1 9x2

19.1)

3 7x

. 5)

(3x2 13x 38)dx

dx

.

1 x2

(x2 5x 4)(x 3)

2)

2x2

3

dx.

6)

2x 3 3x2 x

2

dx.

x 1

x 3 x2

3)

dx

. 7)

3x2 2x

1

dx.

x2 6x 8

x 3 1

4)

(3x 2)dx

. 8)

5x3 x2 21x 9

dx.

x2 5x 7

x 4 10x2 9

20.1) tg3 3xdx.

4) sin5 x 5

cos3 xdx.

2) cos2 7xdx.

5)

dx

.

sin2 x sin 2x 1

dx

3) sin x cos 4xdx. 6) cos x 3 sin x.

x 5

2x 5

21.1)

dx. 5)

dx.

8 4x2

3x2 9x 4

2)

dx

6)

dx

.

.

(x 1)

4 3x x2

x2 x 2

3)

dx

7)

xdx

.

.

1 4 x

(9 x2 )3

4)		x 1
					dx.
	x
			x 2

22.1) sin(ln x)dx. 2) (x2 1)e xdx. 3) (x 1)e2xdx.

		3 (1 4					)2
8)					x			dx.
			x12
				x 5
				x
4) x2 cos 3 dx.
5)	(x 1)sin						x
							3 dx.

6) arctg x4 dx.

23. Обчислити інтеграли:

4

2

1) x 3 x2 9dx.

0

3 x 5 1

2) 1 x 6 x 4 dx

2

3) cos5 xdx.

0

4) sin6 x cos2 xdx.

	0
	2								dx
5)												.
				x 5					x2	1
		2
		26						x 3
6)						(x	2			2 dx.
	7									1)
										3

24. Обчислити інтеграли або довести їх розбіжність:

			3
	dx		2		dx
1)			2)
		.					.
	x(ln x 1)2
					3x x2 2
e2			1

25. Обчислити площі фігур, обмежених кривими:

1) y x2 16 x2 ,y 0 (0 x 4).

x 2(t sint),

y 2(1 cost),

y2 (0 x 4 ,y 2).

3)2 cos 6 .

26.Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням фігури, обмеженої кривою x cos3 t,y sin3 t, навколо осі Ox.

27.Обчислити площу поверхні, утворе-

ної обертанням кривої	y x 3,x	2
		3

навколо осі Ox.

57

Варіант 28

1. Побудувати графіки функцій:

1) y 2 cos 2x		.	1		.
	4		4) y ctg 3 x	4

2) y 21 arccos(x 2). 5) y 13 x 1 . 3) y 2 arctg(x 2). 6) y lg(2x 4).

2. Знайти:

а) алгебричну форму	z	i3;
	z21 2z3

б) тригонометричну форму z3; в), г) (z1z2)8 та zz21 10 ;

д), е) всі значення 3z1 та 4z2 , якщо: z1 5 5i,z2 23 2i,z3 8 9i. 3. Зобразити множину точок z :

1) 1 z 2i 3, 0 arg z 4 .

2)		z 2				z i		,		Im z		3.

3) z3 5z2 12z 18 0.

Знайти границі (4—7):

4.1) lim

n ! (n 2)!

.

(n 1)! (n

2)!

n

n8 6

2) lim

n 6

.

8 n8 6

n

n

6

3) lim

n 2(

n 3

n 4).

n

5.1) lim

2x2 15x 8

.6.1) lim

x

tg x.

3x2 25x

8

x 8

x

2

2

2) lim

x2 2x 24

. 2) lim

tg(x 5)

.

x2 25

x 6 2x2 15x 18

x 5

3) lim

5x 3 7x2

3

.

3) lim

ln(x2 1)

.

2 2x x 3

1

x

x 0

x2 1

4x 3 5x2

3x

cos

x

4) lim

. 4)lim

2

.

3x2 x 10

x

x 1 1 x

5) lim

2x2 3x 1

.

5) lim

(x 3 3) sin 3x

.

x x 3 2x2

5

x

e2 sin2 x

1

6)lim

3x2 3

.

6) lim

e2x ex

.

x 1

8 x 3

x 0 sin 2x sin x

3x

x 2

7) lim(1 tg2 x)

1

.

7) lim

.

ln(1 3x2)

3x 2

x

x 0

1 x

5x

18 sin x

8) lim

.

8) lim(sin x) ctg x

.

2 10x

x

x

2

7.1) lim	tg 2x 2x	.	3) lim x sin 2x .
x 0 x sin x			x 0
				1
2) lim(arcsin x x)ctg x. 4) lim 4x2				x		.
					ln x
x 0			x

8. Визначити порядок і головну частину розкладу (x) відносно (x) :

1) (x) 4	1 x 4		1, (x) arcsin 2x,x		0.
2) (x) sin(
		x2	9 3), (x) tg x,x .
3) (x) cos x 3 cos x, (x) ln(1 3 x ),

x 0.

9.Дослідити функцію на неперервність:

1)f (x) e x1 .

			x 0,
1,
	x
			0 x 2,
2) f (x) 2 ,
		3,	x 2.
x

3) f (x)

4x

у точках x

5,x

4.

x

5

1

2

Знайти похідні функцій (10—13):

2

esin 5x

.

10.1) y

x3

3

2

x

(3x 2)

2) y

tg4 5x

.

3x7 sin 3

tg 2

ln(x 7)

3) y 2tg x arctg5 3x arctg2 5x .

th(x 3)

4) y arcsin3

4x ctg 3x

4 log2(3x 5)

.

(x 2)2

5) y sh4

3x arccos 4x 4

(arctg x)th(3x 1).

(x 2)5

6) y (ch 2x)cos(3x 4)

4

(x 1)3

.

2

3

x y

(x 3) (x

1)

11.1) sin y2

. 2) y tg(x y).

x y

y

?

x et ,

x

sin t t cost,

x

12.

yxx

: 1)

2)

?

y te t .

y

cost t sin t.

13.1) y e x (2x2 3),y(5) ?

2) y log3(2x 1),y(n) ?

14. Скласти рівняння дотичної та нормалі до кривої в заданій точці:

	1) y	3x 2x 3	,x		1.
		3		0
	2) x t3 1,y t				2,t	0	2.

58

3) x t cos t,y t sin t,z t,M0(0; 0;0).

15. Знайти проміжки монотонності фун-

	кції y 16x3	12x2 4.
	16. max f (x) ?	1) y ln(x2 2x 2),[0;3].
		2) y x2 4x	16 ,[ 1;2].
	[a,b]
	min

x 2

17. Дослідити функцію і побудувати її графік:

1) y			63	6(x 6)2				.
			x2 8x 24
2) y (x 4)e (x 3).
3) y 3						.
		x(x 6)2
4) y					.
			sin x

5)y 3x2 10 . 3 2x

6)y 5x 4x 3 .

7)y x2 2 ln x.

8)y 3x 2 .

x3

Знайти інтеграли (18—22):

18.1)

dx

7) sin(9x 1)dx.

.

2x 9

2)

8)

dx

5 3 2xdx.

.

1 3x2

3)

dx

9)

dx

.

.

4x2 7

(x 4)ln5(x 4)

4)

2xdx

10) xe3 x

2

dx.

.

5x2 3

5)

dx

11)

sin 4x

.

dx.

3x2 4

3

cos 4x

arccos2 7x

6)

ctg5 x

dx.

12)

dx.

sin2 x

1 49x2

19.1)

x 4

(7x2 17x)dx

dx. 5)

.

7x2 3

(x 2)(x2

2x 3)

1 x 4

dx

2) x2 4 dx.

6)

.

x3 x2

3)

dx

. 7)

6x

dx.

1 2x 3x2

x3 1

4)

(x 7)dx

. 8)

2x5 2x3 x2

1 x 4

dx.

4x2 3x 1

20.1) tg3 5xdx.

4) sin4 x cos5 xdx.

2) sin3 4xdx.

5)

dx

.

6 3 cos2 x

3) cos 3x cos xdx. 6)

dx

.

4 4 sin x 3 cos x

8 2x

4x 3

21.1)

dx. 5)

dx.

1 3x2

2x2 x 5

2)

dx

6)

dx

.

.

x

x2 5x 1

x2 3x 2

x2dx

(

1)dx

3)

7)

3x 1

.

.

3

9 x2

3x 1

3x 1

x 3dx

4

4)

8)

1 3 x

dx.

.

x12

x 6

x 5

22.1) x sin2 xdx.

4) x arctg2 xdx.

2) (x2

4)sin xdx. 5)

x

(x 2)cos 4 dx.

3) xe 5xdx.

x

6) arcsin 7 dx.

23. Обчислити інтеграли:

0

1) (x 1)e 2xdx.

1
3	x3 x2 2
2)	x(x2 1)2	dx.
2

3) cos5 xdx.

2

2

4) sin4 x4 cos4 x4 dx.

0

3

5) x 4 9 x2dx.

0
5
6		dx
6)					.
		8 6x 9x	2
1
3

24. Обчислити інтеграли або довести їх розбіжність:

			dx		4			10xdx
1)						. 2)					.
		2			3
	(6x		5x	1)ln			4	(16 x	2 3
1					4 0				)

25. Обчислити площі фігур, обмежених кривими:

1) x 4 y2 ,x 0,y 0,y 1.

					3	t,
	x 4		2 cos
2)						x 2 (x 2).
	y	2		sin3 t,
3)	cos sin .

26. Обчислити об’єм тіла, утвореного

обертанням фігури, обмеженої кривими 2y x2,2x 2y 3 0, навколо осі Ox.

27. Обчислити площу поверхні, утвореної обертанням дуги кривої x 2 cos3 t, y 2 sin3 t навколо осі Ox.

59

Варіант 29

1. Побудувати графіки функцій:

1) y 21 sin 3x 34 . 4) y tg 12 x 8 . 2) y 2 arcsin(x 3). 5) y ex 2.

3) y 13 arcctg(x 2). 6) y ln(2x 3). 2. Знайти:

а) алгебричну форму	z	i8;
	z21 2z3

б) тригонометричну форму z3; в), г) (z1z2)8 та zz21 10 ;

д), е) всі значення 3z1 та 4z2 , якщо: z1 6 6i,z2 3 3i,z3 9 8i. 3. Зобразити множину точок z :

1) 2 z 3 4, 2 arg z 23 . 2) z 3i z 2 , Re z 1.

3) z3 5z2 2z 78 0.

Знайти границі (4—7):

4.1) lim

3 6 9 ... 3n

.

n

n2 4

n2

2) lim

n3 1

.

n

3 n6

2 n

3) lim

n(

n4 3

n4 2).

n

5.1) lim

3x2

2x 40

.

6.1) lim

7x

.

x2

3x

4

x 4

x 0 sin x sin 7x

2) lim

x 3

2x

4

.

2) lim

1

cos 8x

.

18

2x2

x 2 x2 11x

x 0

3) lim

4x 3 2x

1

.

3) lim

tg 1 x2

.

2x3

3x2

2

ln(x 1)

x

x 0

2x2

10x 11

3

4) lim

.4)lim

10 x

.

3x4

2x 5

sin 3 x

x

x 1

5) lim

x 3

81

.

5) lim

e2x ex

.

3x2

4x 2

tg x2

x

x 0 x

3

1 sin3 x

6) lim

9 x

.

6) lim

.

2

2

x 0

x

x

x

x 2

cos

x

3 2x

2

x .

7) lim

.

7) lim(1 ln cos x)ctg

x

1

x

x 0

3 x 2x

1

ln(x 1)

8) lim

.

8)lim

ln(2 x) .

9x

4

x

x 1

x

	ln x									x
7.1) lim		2		.		3)lim(1 x)2 cos					;
										2
	tg 5x
x						x 1
2
2) lim ( 2 arctg						) x. 4) lim	2		tg x .
					x
x						x 0	x

8. Визначити порядок і головну частину розкладу (x) відносно (x) :

1) (x) ex4 cos 4x, (x) tg 3x2,x 0. 2) (x) 4 x2 x2 2, (x) arcsin x,

x0.

3)(x) ln(1 sin x tg6 x), (x) x,x 0.

9.Дослідити функцію на неперервність:

x1

1)f (x) x2 x 3 .

3x 4,

x 1,

2

2,

1 x

2,

2) f (x) x

x 2.

x,

3) f (x) 6

2

у точках x1

3,x2 4.

4 x

Знайти похідні функцій (10—13):

4

5

log3(x 4)

.

10.1) y

x

3

x 3

cos5 x

ex3

2) y

2x 3

cos2 sin 3

x2 3x 7.

3) y sin5 3x arctg

x

sh3 x

.

arcctg 5x

4) y lg(x 3)arcctg2 5x

2 ln(2x 2 3)

(x 7)4

5) y e cos x arcsin 2x (cth

x )sin(x 3).

6

(x 1)2

6) y (ln(7x 4))tg x

(x 1)5

.

(x

4

7

2) (x

5)

11.1) sin xy2

y.

2) yx

xy2 .

1

?

2

4,

x

,

2

yx

x 6t

t

12.

2)

: 1)

1

?

y

5

yxx

3t

.

y

t2

1

.

13.1)y (5x 1)ln 2x,y(5) ?

2) y 11 xx ,y(n) ?

14. Скласти рівняння дотичної та нормалі до кривої в заданій точці:

x2

1) y 10 3,x0 2.

60

2)x sin t,y at ,t0 0.

3)x 2t,y lnt,z t2,M0(2;0;1).

15. Знайти проміжки монотонності фун-

кції y 1	(11 9x 3x2			x3).
8
	1) y 108x x 4,[ 1;4].
16. max f (x) ?			4 8x, 2;				1	.
[a,b]	2) y
min
		x					2
				2

17. Дослідити функцію і побудувати її графік:

1) y

33

6(x 1)2

. 5) y 4 2x .

2(x2 2x 9)

1 x2

2) y x

2

4x 13 .

6) y e

1

.

2 x

4x 3

3) y x2 6x 9 .

7) y

ex 3

.

(x 1)2

x

3

cos x .

.

4) y e

2

8) y 3

x(x 6)2

Знайти інтеграли (18—22):

18.1)

dx

7) cos(10x 3)dx.

.

7x 3

ln6(x 9)

2) 4 (3 5x)3dx.

8)

dx.

x 9

3)

2dx

9)

sin 2x

.

dx.

4 3x 2

3

cos4 2x

5

4)

xdx

10)

ctg2 x

dx.

.

3x2 2

sin2 x

5

5)

dx

11)

arctg3 x

dx.

.

1 x2

4x2 5

6) e8x 1dx.

12) xe 2x2 1dx.

3x 7

5)

6x 4 30x2 30

19.1) x2 4 dx.

(x2 1)(x 2)

dx.

2)

x2 4

6)

2x2 1

dx.

dx.

x 3

x 3 2x2 x

3)

dx

7)

(5x2 17x 36)dx

.

.

2x2 3x 6

(x 1)(x2

6x 13)

4)

(2x 1)dx

. 8)

x 3 x2 x 1

dx.

5x2 2x 10

x 4 5x2 4

7x

20.1) tg2

dx.

4) sin4 3x cos2 3xdx.

4

2) sin3 4xdx.

5)

dx

.

sin2 x 3 cos2 x

3) cos 2x sin 3xdx. 6)

dx

.

3 sin x cos x

21.1)				3x 2
										dx.
					2x2	1
2)					dx						.
			3 x x2
3)			16 x			2	dx.
				x 4

4)		dx
					.
	3
			x 6

22.1) ln(x 5)dx. 2) (x 2 x)cosxdx. 3) xex 3dx.

5)				3x 7
													dx.
			x 2 5x 1
6)								dx
															.
	(x 1)
									2 x x 2
7)				dx							.
		4				6 x
				x
		3
			1 5
8)							x			dx.
		x15
						x 4

4) x 2 arcctg xdx.

5) x sin x5 dx.

6) arccos xdx.

23. Обчислити інтеграли:

4													x					x
1) x tg2 xdx.						4)
							24				sin2		2 cos6					2 dx.
0						0
5	x3 2x2 4					3					x3dx
2)	x 3(x 2)2		dx. 5)												.
										9 x2
3						0
3						ln 12
2		dx										dx
3)					.	6)											.
		4x 3 x2										ex 4
2						ln 5

24. Обчислити інтеграли або довести їх розбіжність:

			1
	dx		4		dx
1)			2)
		.					.
	9x 2 9x 2			3
					1 4x
1			0

25. Обчислити площі фігур, обмежених

кривими:

1) y (x 1)2,y2 x 1.

	x 2			cost,
		2
2)				y 5 (y 5).
	y 5	2		sin t,
3)	3 sin , 5 sin .

26.Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням фігури, обмеженої кривими y x x2,y 0, навколо осі Ox.

27.Обчислити площу поверхні, утворе-

ної обертанням кривої x cost, y 2 sin t навколо осі Ox.

61

Варіант 30

1. Побудувати графіки функцій:

1		1
1) y 2 cos 2x	3	. 4) y ctg 3 x			.
				12
2) y 2 arccos x 21 . 5) y ex 2.
3) y 3 arctg(x 1).		6) y lg(5 3x).

2. Знайти:

а) алгебричну форму	z	i5;
	z21 2z3

б) тригонометричну форму z3; в), г) (z1z2)8 та zz21 10 ;

д), е) всі значення 3z1 та 4z2 , якщо: z1 7 7i,z2 3 i,z3 8 7i. 3. Зобразити множину точок z :

1) 1 z 3 4, 3 arg z . 2) z 3i z 2 , Im z 2.

3) z3 5z2 8z 6 0.

Знайти границі (4—7):

7

29

2n 5n

4.1) lim

...

.

n

100

n 10

10

3

n3

1

2) lim

n 1

.

4

5 n5

1

n

n 1

3) lim

n3 3

n3 2).

n(n 1)(n 2)(

n

5.1) lim

2x2 5x 3

. 6.1) lim

cos x cos3 x

.

3

5x 2

x 3 3x 2 10x

x 0

2) lim

x 3 64

.

2) lim

ln(1 5x)

.

27x

4

sin 3x

x 4 7x 2

x

0

3) lim

5x2 3x 1

.

3) lim

2(e x 1)

.

3x2 x 5

x

x 0

3(

3 1 x 1)

4) lim

7x 3 3x 4

.

4) lim

sin 5x

.

2x2 5x

1

x

x tg 3x

7x 4

3)

5) lim

.

5) lim

tg(3x

.

x 3x 3

5x

1

x 3cos 32x

1

3

.

23x

32x

6) lim

4x 1

6) lim

.

x 2

x 3 8

x

0 x arcsin x 3

7) lim

4 2x

x 1

.

7) lim

log

3

x 1

.

1 2x

tg x

x

x 3

x 5

3x

2

x

1

8) lim

. 8) lim

1 sin

ln(1 tg2 x )

.

2

2

x 4x

x 0

7.1) lim	sec2 x 2 tg x	. 3) lim x2e x 3 .
x	1 cos 4x	x
4
2)lim(x 1)cos 2x .		4) lim(ctg x)sin2 x .
x 1		x 0

8. Визначити порядок і головну частину розкладу (x) відносно (x) :

1) (x) 41 x 3 1, (x) arctg x,x 0. 2) (x) ln(x2 7x 11), (x) x 2,

x2.

3)(x) ln cos 2x, (x) arcsin x, x 0.

9.Дослідити функцію на неперервність:

1x

1)f (x) x2 1 .

	x 2,			x 1,
		2
2)			1,	1 x 1,
	f (x) x
				x 1.
	x 3,

x1

3)f (x) x 2 у точках x1 2,x2 3.

Знайти похідні функцій (10—13):

6

e tg x

10.1) y

x7

.

x 4

4x2 7x

5

tg4 3x

2) y 3 5x5

sin3 cos 2

.

lg(x2 x

4)

5

3) y cos4 3x arcsin 3x2

ch 3x

.

arctg(x

2)

4) y log5(x 1)arctg2 x 3

4 lg(3x 7)

.

3

(x 5)

5) y th3

5x arcctg(2x 5) (sh 3x)arccos 2x .

2

(x

5

3

6) y (lg(8x 3))tg 5x

1)

(x 2)

.

4

5

(x 1) (x 3)

11.1) ctg2(x y) 5y. 2) x 3 y3

15xy.

yx ?

x cost sin t,

x arcsin t,

12.

: 1)

y sin 2t.

2)

y ln t.

y ?

xx

13.1) y (x2

2x 1)sin 2x,y(5)

?

2) y 47xx 13 ,y(n) ?

14. Скласти рівняння дотичної та нормалі до кривої в заданій точці:

1) y	x2	2x 3	,x		4.
		4		0

62

2) x sin t,y cos 2t,t				.
	0
		6
3) x t3 1,y 3t2,z 2t3 1,M					(0; 3;1).
		0

15. Знайти проміжки монотонності фун-

кції y		1		2	2
				(x 1)	(x 3) .
		16
				1) y	1 x 4 6x 3		7,[16;20].
16. max	f (x) ?				4
min				2) y 3 (x 1)2(x 2),[ 2; 5].
[a,b]

17. Дослідити функцію і побудувати її графік:

1) y

33

6(x 1)2

.

5) y

8 x2

.

2(x2 2x 9)

x2 4

2) y x 3 27x 51.

6) y

5x

.

4

x2

x 3

3

.7) y ln(4 x2).

3) y 3

(x 1)2

(x 2)2

8) y ln x 6 .

4) y

sin x

cos x

.

2

x

Знайти інтеграли (18—22):

18.1)

dx

7) sin(9x 7).

.

6x 1

ln(3x 5)

2) 3 (x 2)2dx.

8)

3x 5 dx.

3)

dx

9)

cos 6x

.

dx.

3x2

2

sin4 6x

4)

2dx

10)

tg7 3x

dx.

.

2

3x

4x

2

3

cos

5)

7xdx

11)

arctg4 8x

.

1 64x2 dx.

7x2

1

6) e4 7xdx.

12) e4 5x2 xdx.

19.1)

x 5

5)

(3x2 17x 2)dx

.

.

9x2 4

(x 1)(x2 5x 6)

2)

2x3 3

6)

2x 3 5x2 1

2x2 1 dx.

x3 x2

dx.

3)

dx

. 7)

(2x 22)dx

.

3x2

5x 2

(x 2)(x2 2x 10)

4)

(x 4)dx

8)

(2x 3)dx

.

.

5x2 x 1

(x 1)2(x2 4)

20.1) tg5 4xdx.

4)

sin3 x

dx.

3

cos4 x

2) sin2

3x

5)

sin2 x

4 dx.

dx.

3 sin2 x cos2 x

dx

3) cos 7x cos 5xdx. 6) 2 3 cos x sin x.

21.1)						2x 1										5)								7x 1
													.																						dx.
						3x2		4														2 3x x2
2)						dx									. 6)											dx											.
																		x
				x2 4x 1																				1 3x 2x2
				16 x				2														(										1)dx
3)									dx.							7)										x 1
																																							.
					x2														(3										1)
																							x 1												x 1
					dx														5
																					1 5
4)											.					8)											x				dx.
			2																	x15
							x 8																		x4
						2 x										4) (x2 4)e2xdx.
22.1) ln 2 x dx.
2) x arctg 2xdx.																5)																x
																	(x 9)sin 2 dx.

3) x cos(x 2)dx. 6) arccos x3 dx.

23. Обчислити інтеграли.

1

1) x arctg xdx.

0

1

3 x2dx

2) 0 x 4 1.

6

3) 6 x2dx.

0

0

4) 28 cos8 xdx.

2

5) sin4 x2 dx.

0

1

dx

6) 1 x2 2x 3.

24. Обчислити інтеграли або довести їх розбіжність:

					1
			dx		2	dx
	1)				2)
				.			.
		x2	3x 2			(2x 1)2
	3				0

25. Обчислити площі фігур, обмежених кривими:

1) y x2 cos x,y 0 0 x 2 .

x 4(t sin t),

y 4(1 cost),

y6 (0 x 3 ,y 6).

3)2 sin , 4 sin .

26. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням фігури, обмеженої кривими

y 2 x2	,x y 2,	навколо осі Oy.
2

27. Обчислити площу поверхні, утвореної обертанням кривої x cost,y 4 sint

навколо осі Ox.

63