3курс,VIсем Задачи инт ур
..pdfа) |
Зададим |
приращение аргумента функционала |
|
- |
произвольную |
непрерывно |
||||||||||||||||||||||
дифференцируемую функцию h(x) , удовлетворяющую условиям |
|
h(−1) = h(0) = 0 , - |
и |
|||||||||||||||||||||||||
вычислим приращение функционала на экстремали y0 (x) = −x3 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
′ |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆V =V[−x |
3 |
|
|
3 |
]= ∫[12x(−x |
3 |
+ h(x)) −(−3x |
2 |
2 |
|
|
|
|
3 |
) −(−3x |
2 |
) |
2 |
]dx = |
|
|||||||
|
|
+ h]−V[−x |
|
|
+ h (x)) |
|
]dx − ∫[12x(−x |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∫0 |
[12x h(x) +6x2h′(x) −h′2 (x)]dx = ∫0 |
[12x h(x) −h′2 (x)]dx + ∫0 |
6x2h′(x)dx = |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
инт. по частям |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
=6x2h(x) |
|
0−1 |
− ∫0 |
12x h(x)dx + ∫0 |
[12x h(x) −h′2 (x)]dx = −∫0 |
h′2 (x)dx ≤ 0 . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Итак, |
∆V ≤ 0 независимо от |
|
y′ (в сильной окрестности), |
поэтому на экстремали |
|||||||||||||||||||||||
y0 (x) = −x3 |
реализуется сильный (а, следовательно, и слабый) максимум. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
б) |
Заметим, |
что экстремаль y0 (x) = −x3 |
при |
x [−1, 0] |
может |
быть |
включена |
в |
||||||||||||||||||||
собственное поле экстремалей (решений уравнения Эйлера) y = −x3 +C . |
|
|
|
|
|
|
|
1.Функция Вейерштрасса
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
=12xy − y |
′2 |
−(12xy − p |
2 |
|
|
′ |
|
|
|
|
′ |
− p) |
2 |
≤ 0 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
E(x, y, p, y ) |
|
|
|
) −( y |
− p)(−2 p ) =−(y |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
при |
любых |
y, y′, |
т.е. |
сохраняет |
знак |
в сильной |
окрестности |
кривой |
y0 (x) = −x3 . |
||||||||||||||||||||||||||
Следовательно, выполнено достаточное условие Вейерштрасса, |
и экстремаль y0 (x) = −x3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
реализует сильный (и слабый) максимум. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
2. |
|
Fy′y′ =−2 < 0 |
при любых y, |
y′, поэтому выполнено достаточное условие Лежандра. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
Функционал на экстремали y0 (x) = −x3 |
достигает сильного (и слабого) максимума. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
Пример 8.4. |
|
|
Пусть |
V[ y] = ∫b [ p(x) y′2 + q(x) y2 + 2 yϕ(x)]dx , |
где |
функция |
p(x) > 0 |
- |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
непрерывно дифференцируема, а q(x) ≥ 0 и ϕ(x) |
непрерывные на |
[a,b] функции. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
а) |
Записать |
уравнение |
для |
|
экстремалей |
в |
|
задаче с |
закрепленными |
концами |
|||||||||||||||||||||||||
|
y(a) = A, y(b) = B . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
б) |
Показать, |
что |
если y0 (x) |
|
является |
экстремалью |
функционала |
V[ y] , |
то |
на |
ней |
||||||||||||||||||||||||
реализуется минимум этого функционала. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Решение. |
|
Уравнение |
Эйлера |
для |
экстремалей |
изучаемого |
функционала |
имеет |
вид |
||||||||||||||||||||||||||
|
d |
′ |
)−q(x) y =ϕ(x) . |
Нетрудно |
показать, |
что |
при |
сформулированных |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
dx (p(x) y |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
предположениях |
на |
функции |
|
|
p(x), q(x), ϕ(x) , |
это |
уравнение |
с |
дополнительными |
||||||||||||||||||||||||||
условиями |
y(a) = A, |
y(b) = B |
имеет |
единственное |
решение |
y = y0 (x) , |
которое |
и |
|||||||||||||||||||||||||||
определяет экстремаль в рассматриваемой задаче. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
Зададим |
h(x) : h(a) = h(b) = 0 |
|
и |
определим |
|
знак |
приращения |
|
функционала |
|
на |
|||||||||||||||||||||
исследуемой экстремали: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
71
∆V =V[ y0 (x) + h(x)]−V[ y0 (x)]=∫b [ p(x)(( y0′ + h′)2 − y0′2 ) + q(x) (( y0 + h)2 − y0 |
2 ) + 2ϕ(x)h]dx = |
|||
|
a |
|
|
|
=∫1 [2 p(x) y0′h′+ 2q(x) y0 h +2ϕ(x)h]dx + ∫b |
p(x)h′2 (x)dx + ∫b q(x)h2 (x)dx > 0 , |
|||
0 |
|
|
||
a |
|
a |
|
|
|
|
>0 |
≥0 |
|
так как первое слагаемое в этой сумме обращается в ноль. Действительно, интегрируя по частям первое слагаемое, получим
2∫b [ p(x) y0′h′+q(x) y0h +ϕ(x)h]dx = 2 p(x) y0 (x)h(x) |
|
ba |
+2∫b [−( p(x) y0′)′+ q(x) y0 +ϕ(x)]h(x)dx = 0 |
|||
|
||||||
a |
|
a |
|
|||
|
=0, т.к. h(a)=h(b)=0 |
|
|
=0 в силу ур−я Эйлера |
.
Итак, ∆V =V[ y0 (x) + h(x)]−V[ y0 (x)]> 0 , поэтому на экстремали y = y0 (x) достигается минимум исследуемого функционала, что и требовалось доказать.
Пример 8.5. |
Исследовать на экстремум функционал |
V[ y]=∫a |
y′3 dx |
с граничными |
||||||||||||||||||||||||||
|
y(0) =0 , y(a) =b |
( a > 0, b > 0 ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|||||||||||||
условиями |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Решение. Уравнение Эйлера для данного функционала имеет |
вид |
y′′ =0 . Семейство |
||||||||||||||||||||||||||||
экстремалей |
определяется |
формулой |
|
y =C1 x +C2 . |
|
|
Граничным |
условиям |
удовлетворяет |
|||||||||||||||||||||
единственная экстремаль y = b x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найденная |
экстремаль может быть включена в собственное поле y = b x +C , наклон |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
p = b . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
поля экстремалей |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Функция Вейерштрасса имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− p) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
′ |
= y |
′3 |
− |
p |
3 |
|
′ |
− p) 3 p |
2 |
= |
|
′ |
|
′ |
+2 p) |
|
|||||||||||
|
|
E(x, y, p, y ) |
|
|
−( y |
|
(y |
|
( y |
|
||||||||||||||||||||
и знак ее определяется знаком выражения |
y |
′ |
+ 2 p |
= y |
′ |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|||||||||||||||
|
|
+2 a . Следовательно, E(x, y, p, y ) |
||||||||||||||||||||||||||||
может менять знак в зависимости от |
y′. |
Поэтому сильного экстремума на исследуемой |
||||||||||||||||||||||||||||
экстремали нет. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
||
Вместе с тем, функция Вейерштрасса сохраняет знак, если |
y |
близко к p = a > 0 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||
(наклону поля экстремалей), |
|
|
|
′ |
+ 2 p = y |
′ |
|
b |
≥ |
0 |
и неравенство |
′ |
||||||||||||||||||
т.е. y |
|
+ 2 a |
E(x, y, p, y ) ≥ 0 |
|||||||||||||||||||||||||||
выполнено для всех кривых сравнения |
|
y = y(x) |
из |
некоторой слабой окрестности |
||||||||||||||||||||||||||
экстремали y = b x . Таким |
образом, |
на |
экстремали |
|
y = b x , |
|
согласно |
достаточному |
||||||||||||||||||||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
условию Вейерштрасса, достигается слабый минимум.
72
Пример 8.6. Показать, что в задаче с закрепленными концами
|
|
V[ y]=∫a |
( y2 − y′2 ) dx, |
y(0) =0, |
y(a) =0 |
|
|
0 |
|
|
|
а) |
в случае |
a =π <π на экстремали |
y (x) ≡ 0 |
реализуется сильный максимум |
|
|
|
2 |
|
0 |
|
функционала; |
|
|
|
||
5π >π функция |
|
|
|
||
б) |
в случае a = |
y (x) ≡ 0 также является единственной экстремалью в |
|||
|
|
4 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
рассматриваемой задаче, причем функция Вейерштрасса сохраняет знак на этой кривой, однако экстремум на ней не достигается;
в) |
в случае a =π экстремаль определяется не единственным образом. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение. |
|
Уравнение |
Эйлера |
|
имеет |
|
|
|
вид |
|
|
|
y′′+ y = 0 . |
Его |
|
|
|
общее |
|
решение |
есть |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y =C1 sin x +C2 cos x . Граничным условиям y(0) =0 , |
y(a) =0 , как в случае а), так и в случае |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
б) |
удовлетворяет единственная функция y0 (x) ≡ 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
а) |
Если x [0, π ] , то экстремаль y (x) ≡ 0 |
может быть включена, например, в центральное |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
поле экстремалей y =C sin x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Функция Вейерштрасса |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− p) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
2 |
− y |
′2 |
−( y |
2 |
− p |
2 |
) +( y |
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
≤ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
E(x, y, p, y ) = y |
|
|
|
|
|
|
− p)2 p = −(y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
при любых |
y, y′, |
|
т.е. |
сохраняет |
|
|
знак |
в |
сильной |
|
окрестности |
кривой |
|
y0 (x) ≡ 0 . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Следовательно, выполнено достаточное условие Вейерштрасса, и экстремаль |
y0 (x) ≡ 0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
реализует сильный (и слабый) максимум. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x [0, |
5π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
′ |
− p) |
2 |
≤ 0 также |
|||||||||
б) |
Если |
|
4 |
] , |
то |
|
функция |
|
|
Вейерштрасса |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
E(x, y, p, y ) =−(y |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
сохраняет знак в сильной окрестности кривой |
|
y0 (x) ≡ 0 . Заметим, |
что |
|
V[ y ≡ 0] |
= 0 и |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
докажем, |
что на функции y0 (x) ≡ 0 |
не достигается слабый (следовательно, |
и сильный) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
экстремум. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 sin |
4 x . Ясно, что при достаточно больших |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Рассмотрим последовательность ϕn (x) = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 sin |
4x |
n |
|
|
|
5 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
п |
выполнено |
|| ϕn − y0 |
|| 1 |
|
4π |
= max |
|
|
+ |
|
max |
|
|
|
cos |
≤ r , |
|
|
т.е. |
все |
|
указанные |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
[0, |
|
] |
|
x [0, 4π |
] |
|
n |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
x [0, |
4π |
] |
|
5n |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
функции, начиная с некоторого номера, принадлежат |
|
|
|
слабой окрестности |
|
y0 (x) ≡ 0 . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Однако |
|
|
|
5π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
V[ϕn ] = |
4 |
|
1 |
|
sin2 |
4x dx |
− |
4 |
|
|
16 |
|
|
|
cos2 4x dx = |
|
9 |
|
|
4 |
cos2 |
4x dx > 0 =V[0], |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
∫0 |
|
n2 |
∫0 25n2 |
|
|
25n2 |
|
|
|
∫0 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
следовательно, на функции y0 (x) ≡ 0 |
слабый (и сильный) максимум не достигается. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Рассмотрим |
последовательность |
ψn (x) = |
|
1 |
|
sin |
|
4n |
x . |
Ясно, |
что |
при |
достаточно |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n2 |
5 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
п |
|
||ψn − y0 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
4nx |
|
+ max |
|
|
|
4 |
|
4nx |
|
≤ r , |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
больших |
выполнено |
|| |
|
|
|
4π |
= max |
|
|
sin |
|
|
cos |
|
т.е. все |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C1[0, |
|
] |
|
|
|
x [0, |
4π ] |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
x [0, 4π |
] |
|
5n |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
указанные |
функции, |
|
начиная |
|
с |
некоторого |
номера, принадлежат |
|
|
слабой |
окрестности |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y0 (x) ≡ 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
73
Однако, при достаточно больших n
|
|
|
|
|
5π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
1 |
|
|
2 4nx |
|
|
4 |
16 |
|
|
|
|
|
4nx |
|
5π 1 |
16 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
V[ψn ]= |
∫0 |
|
|
dx − |
∫0 |
|
|
|
|
2 |
dx = |
=V[0] . |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
< 0 |
||||||||||||||
|
|
n |
4 |
|
|
5 |
25n |
2 |
|
|
5 |
|
4 |
25n |
2 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Следовательно, на функции y0 (x) ≡ 0 |
минимум также не достигается. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Причина указанного |
явления |
состоит |
|
в |
том, |
что экстремаль |
y0 (x) ≡ 0 нельзя |
||||||||||||||||||||||||||||
включить в поле экстремалей при |
x [0, |
5π |
] , |
так как все решения уравнения Эйлера |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y =C1 sin x +C2 cos x , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y(0) =0 или |
|||||||||
|
|
удовлетворяющие |
|
|
одному |
из |
граничных |
условий |
|||||||||||||||||||||||||||||
y( |
5π |
) =0 , обращаются в ноль одновременно еще в одной точке |
x |
|
[0, |
5π |
] . Например, |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
4 |
|
|
||
|
|
|
|
|
y(0) =0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y =C sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
если потребовать |
то все кривые семейства |
обращаются в ноль при |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
=π [0, |
5π |
] . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
0 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y′′+ y = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y =C sin x , |
||||||||
в) |
В случае a =π |
|
уравнение Эйлера |
|
имеет семейство решений |
||||||||||||||||||||||||||||||||
удовлетворяющих |
граничными |
условиям |
y(0) =0 , y(π) =0 , следовательно, |
экстремаль |
определяется не единственным образом. Легко проверить, что в этом случае на любой
функции семейства y =C sin x выполнено V[ y]=π∫ ( y2 − y′2 )dx =0 .
0
Пример 8.7. Пусть тело перемещается по кривой y = y(x) |
со скоростью vG |
такой, что |
||||
| vG|= v(x, y) = y . |
Какова должна быть траектория его движения, чтобы тело попало из |
|||||
точки y(a) = A в точку y(b) = B за минимальное время? |
|
|
|
|
|
|
Решение. Время, |
необходимое для перемещения из точки (a, y(a)) |
в точку (b, y(b)) по |
||||
заданной кривой |
y = y(x) , определяется функционалом t = ∫b |
ds |
= ∫b |
1+ y′2 |
|
dx ≡V[ y] . |
|
|
|
||||
|
a v(x, y) |
a |
y |
|
|
Таким образом, решение поставленной задачи дается экстремалями функционала условиях y(a) = A , y(b) = B .
Уравнение |
Эйлера |
в рассматриваемом случае |
F |
− |
d |
F |
′ = F |
− F ′ ′ y′′− |
||||
dx |
||||||||||||
|
|
|
|
d |
|
y |
|
y |
y |
y y |
||
Умножая на |
′ |
, получим |
′ |
и |
найдем первый |
|||||||
|
||||||||||||
y |
dx |
(F − y Fy′ )= 0 , |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V[ y] при
Fy′y y′ = 0 .
интеграл
1+ y′2 |
− y′ |
|
|
y′ |
|
|
= |
|
1 |
|
= C1 . |
Положим |
y′ = tg t , |
тогда |
y = cos t , |
||
y |
|
|
y 1+ y′2 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
y 1+ y′2 |
|
|
|
C1 |
||||||||
dx = dy |
= ctg t dy = cos t dt , |
|
откуда |
x = sin t +C2 . |
Исключив |
параметр |
t, получим |
||||||||||
y′ |
|
|
|
1 |
|
C1 |
|
|
|
C1 |
|
|
|
||||
(x −C |
)2 + y |
2 = |
, т.е. экстремалями задачи являются окружности с центрами на оси х. |
||||||||||||||
C2 |
|||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Итак, искомая траектория движения тела - дуга окружности с центром на оси х, соединяющая точки (a, A) и (b, B) . Легко видеть, что такая окружность определяется
единственным образом при заданных дополнительных условиях y(a) = A , y(b) = B .
74
Задачи для самостоятельного решения
Найти вариацию функционала
8.1V[ y] = ∫b
a
8.2V[ y] = ∫b
a
8.3V[ y] = ∫b
a
8.4 V[ y] = π∫
yy′dx .
(x + y)dx .
( y2 − y′2 )dx .
y′sin y dx .
0
Исследовать на экстремум функционалы в задаче с закрепленными концами (найти экстремали и проверить достаточные условия каким либо способом):
8.5 |
V[ y] = |
1 |
e |
x |
2 |
+ |
1 |
y′ |
2 |
|
y(0) =1, y(1) = e . |
∫0 |
y |
|
2 |
|
dx |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8.6 |
V[ y] = ∫1 ey y′2dx |
y(0) = 0, |
y(1) = ln 4 . |
|
|
|
|||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8.7 |
V[ y] = ∫1 |
x |
dx |
y(1) =1, |
y(2) = 4 . |
|
|
|
|
|
|
y′2 |
|
|
|
|
|
||||||
8.8 |
V[ y] = ∫a dx |
y(0) = 0, |
y(a) = b |
(a > 0, b > 0) . |
|
||||||
|
0 |
y′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8.9 |
V[ y] = ∫1 |
(1+ x) y′2dx |
y(0) = 0, |
y(1) =1. |
|
|
|
|
|
||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8.10 |
V[ y] = ∫2 |
( y2 − y′2 )dx |
y(0) =1, |
y( |
π ) =1 . |
|
|
|
|||
|
0 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
8.11 |
V[ y] = ∫2 |
y′(1+ x2 y′)dx |
y(−1) =1, |
y(2) = 4 . |
|
|
|
||||
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
8.12 |
V[ y] = ∫1 |
( y′3 + y′2 )dx |
y(−1) = −1, |
y(1) = 3 . |
|
|
|
||||
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
8.13 |
V[ y] = ∫2 |
(xy′4 −2 yy′3 )dx |
y(1) = 0, |
y(2) =1. |
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8.14 |
V[ y] = ∫a (1−e−y′2 )dx |
y(0) = 0, |
y(a) = b |
(a > 0) . |
|
|
|||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8.15 |
Найти семейство экстремалей функционала V[ y] = ∫b |
1+ y′2 |
dx, |
− π < a < b < |
π . |
||||||
x |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
2 |
2 |
|
8.16 |
Среди всех кривых, соединяющих |
точки (−1, ch1) и |
(1, ch1) , |
определить ту, |
которая при |
вращении вокруг оси Ox образует поверхность наименьшей площади.
75
|
|
|
|
|
Ответы к задачам |
|
b |
|
|
|
|
8.1 |
′ |
′ |
|
(δ y = h(x)) . |
|
δV = ∫( y h + yh )dx |
|||||
|
a |
|
|
|
|
8.2 |
δV = ∫b h(x)dx |
(δ y = h(x)) . |
|
||
|
a |
|
|
|
|
|
b |
′ |
′ |
(δ y = h(x)) . |
|
8.3 |
|
||||
δV = 2∫( yh − y h )dx |
|||||
|
a |
|
|
|
|
8.4 |
δV = π∫( y′cos y h +sin y h′)dx |
(δ y = h(x)) . |
|||
|
0 |
|
|
|
|
8.5 |
Экстремаль |
y(x) = ex |
реализует сильный (и слабый) минимум. |
||
8.6 |
Экстремаль |
y(x) = 2 ln(x +1) реализует сильный (и слабый) минимум. |
|||
8.7 |
Экстремаль |
y(x) = x2 |
реализует слабый минимум. |
||
8.8 |
Экстремаль |
y(x) = b x |
реализует слабый минимум. |
||
|
|
|
a |
|
|
8.9 |
Экстремаль |
y(x) |
= ln(x +1) реализует сильный (и слабый) минимум. |
||
|
|
|
ln 2 |
|
|
8.10 |
Экстремаль |
y(x) = sin x +cos x реализует сильный (и слабый) максимум. |
8.11На непрерывных кривых экстремум не достигается.
8.12Экстремаль y(x) = 2x +1 реализует слабый минимум.
8.13Экстремаль y(x) = x −1 реализует слабый минимум.
8.14 На экстремали |
y(x) = b x : |
при | b |< |
a |
|
достигается слабый минимум; |
|||
2 |
||||||||
|
|
|
a |
|
|
|
||
при | b |> |
a |
- слабый максимум; |
при | b |= |
a |
|
- экстремума нет. |
||
2 |
|
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
8.15Окружности x2 +( y −C1 )2 = C22 .
8.16y(x) = ch x .
76
ТЕМА 9
Задачи с подвижной границей. Условия трансверсальности.
Основные определения и теоремы
x1 |
′ |
|
|
|
Рассмотрим функционал V[ y]= ∫ |
|
(1) |
[a, b] , |
|
F(x, y, y ) dx , заданный на кривых y(x) C |
|
|||
x0 |
|
|
|
|
граничные точки которых A(x0, y0 ) и |
B(x1, y1 ) в свою очередь лежат на фиксированных |
|||
гладких кривых y =ϕ(x), y =ψ (x), так что y0 =ϕ(x0 ), y1 =ψ (x1 ) . |
|
|
|
|
Задача с подвижными границами ставится так: среди всех функций y(x) C(1) |
[a, b] , |
|||
графики которых соединяют точки двух данных кривых y =ϕ(x) и |
y =ψ (x) , найти ту, |
которая доставляет экстремум функционалу V[ y] . Отметим, что абсциссы x0 и x1 точек А
и В заранее не известны, и также подлежат определению. |
|
|
|
|
Необходимые условия экстремума. Для того, чтобы функция y = y(x) |
доставляла |
|||
x1 |
|
|
|
|
′ |
кривых y(x) |
C |
(1) |
[a, b] , |
экстремум функционалу V[ y]= ∫F(x, y, y ) dx среди всех |
|
|||
x0 |
|
|
|
|
соединяющих точки двух заданных линий y =ϕ(x), y =ψ (x), |
необходимо, чтобы: |
1)кривая y = y(x) была решением уравнения Эйлера для функционала V[ y] (являлась экстремалью),
2) в точках A(x0 , y0 ) , B(x1 , y1 ) пересечения экстремали y = y(x) с кривыми y =ϕ(x) и y =ψ (x) выполнялись условия трансверсальности
[F +(ϕ′− y′) Fy′] x=x0 = 0,
[F +(ψ′− y′) Fy′] x=x1 = 0.
Условия трансверсальности устанавливают связь между угловыми коэффициентами кривых y′ и ϕ′, а также y′ и ψ′ в граничных точках А и В.
Для определения четырех параметров - C1 , C2 из общего решения уравнения Эйлера и значений x0 , x1 (координат концов экстремали) - два условия трансверсальности нужно
дополнить двумя естественными условиями пересечения заданных кривых и искомой экстремали y(x0 ) = ϕ(x0 ), y(x1 ) =ψ (x1 ) .
Замечание 1. Если граничная точка (пусть точка А) может перемещаться только по горизонтальной прямой y = x0 (т.е.ϕ′ = 0 ), то условие трансверсальности в точке
A(x0 , y0 ) принимает вид [F − y′Fy′]x=x0 =0 .
Замечание 2. Если граничная точка (например, точка В) может перемещаться только по вертикальной прямой x = x1 (т.е.ψ′ = ∞ ), то такая задача называется задачей со
свободным концом, и условие трансверсальности при x = x1 в этом случае принимает вид
Fy′ x=x1 =0 .
77
Примеры решения задач
Пример 9.1. |
Показать, что если в задаче об экстремуме функционала |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x0 |
=B[ y] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
V[ y]= |
|
|
|
∫ |
|
A(x, y) 1+ y′2 dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A(x, y) ≠0 |
|
с левым закрепленным и правым подвижным |
|
концами |
функция |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
дифференцируема, |
то условие трансверсальности переходит в условие ортогональности. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение. |
Условие трансверсальности |
F +(ϕ′− y′)Fy′ |
=0 при |
x = x0 = B[ y] |
|
в данной |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
′2 |
|
|
′ |
|
|
′ |
|
A(x, y) y |
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
′ |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A(x, y) (1+ϕ |
y ) |
|
|
||||||||||||
задаче имеет вид |
A(x, y) |
|
|
1+ y |
|
|
+ |
(ϕ |
|
− y ) |
|
|
|
|
=0 |
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=0 . |
Так |
|||||||||
|
|
|
|
1+ y′2 |
|
|
|
|
|
|
|
1+ y′2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
как A(x, y) ≠0 , |
то |
′ |
′ |
|
x=x = |
0 |
или |
′ |
|
|
|
1 |
|
|
, что и требовалось. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
1+ y ϕ |
|
|
y (x0 ) =− |
ϕ′(x0 ) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Итак, условие трансверсальности совпадает с условием ортогональности. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
1+ y′2 |
|
|
|
|
|
|
||||
Пример 9.2. |
Исследовать на экстремум функционал |
|
|
|
V[ y]=∫1 |
|
dx при условии, |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
y |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
что левый конец закреплен y(0) =0 , а правый (x1 , y1 ) |
может перемещаться вдоль заданной |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
прямой y = x −5 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Решение. Функция |
|
|
|
′ |
|
1+ y′2 |
|
|
не зависит явно от х. Поэтому уравнение Эйлера |
||||||||||||||||||||||||||||
F (x, y, y ) = |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
y |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ y′2 |
|
|
|
′ |
y′ |
|
|
|
|
|
|
||
имеет первый |
интеграл |
|
F − y Fy′ |
=C , |
|
т.е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
− y |
|
|
|
|
=C , |
|
или |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
y |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ y′2 |
|
|
|
|
||||
Cy 1+ y′2 =1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Положим |
y′=tg t . |
Тогда |
|
y =C1 cos t , а |
dx = dy |
= −C1 sin t dt =−C1 cos t dt , откуда |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y′ |
|
|
tg t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x =−C1 sin t +C2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Исключая параметр t, получаем уравнение семейства окружностей |
(x −C |
) |
2 + y |
2 =C 2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
с центрами на оси x . Из условия y(0) =0 найдем |
|
C = C |
2 |
= C и (x −C)2 + y2 =C2 . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Константа |
C может быть определена из условия трансверсальности, |
которое для |
данного функционала совпадает с условием ортогональности (пример 9.1) кривой y = y(x)
семейства (x −C)2 + y2 =C2 |
и прямой |
y = x −5 |
в точке их пересечения (x , y ) . |
В нашем |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
случае ϕ(x) = x −5, ϕ |
′ |
=1 , |
|
′ |
′ |
|
|
x |
=x =0 вытекает y |
′ |
|
|
x=x = −1. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
поэтому из 1+ y ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
Дифференцируя семейство решений уравнения Эйлера, получим yy′ = C − x . |
В точке |
||||||||||||||
пересечения кривых (x1, y1 ) |
имеем y(x1 ) y′(x1 ) = C − x1 , поэтому |
−y1 = C − x1 и y1 = x1 −5 , |
|||||||||||||
|
|
|
N N |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
≡y1 |
= −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
откуда C = 5 и искомая экстремаль дается формулой y =± 10x − x2 .
Замечание. Этот результат можно получить и из геометрических соображений. Условие ортогональности прямой y = x −5 и окружности (x −C)2 + y2 =C2 в точке их пересечения означает, что центр окружности (C, 0) лежит на этой прямой. Следовательно, центр окружности есть точка пересечения прямой y = x −5 с осью х, т.е. C = 5 .
78
Пример 9.3. |
Среди кривых, соединяющих точки прямой 2 y + 2x +3 = 0 |
и параболы |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x2 = 2 y , найти ту, которая имеет наименьшую длину. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Решение. |
Введем обозначения: |
|
y =ϕ(x) ≡ |
1 x2 |
|
- уравнение параболы, |
y =ψ (x) ≡ −x − 3 |
- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
(x1 , y1 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||
уравнение |
прямой. Пусть |
точка с координатами |
|
|
|
|
находится на параболе, т.е. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
y |
= 1 x 2 , |
а точка |
(x , y |
) |
- на прямой, |
|
т.е. |
y |
|
= −x |
− |
3 . |
|
|
Длина дуги кривой |
y = y(x) , |
||||||||||||||||||||||||||
1 |
2 |
1 |
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
соединяющей точки (x1 , y1 ) и (x2 , y2 ) , определятся функционалом |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V[ y]= ∫ 1+ y′2 dx . |
|
Таким |
образом, |
|
решение |
|
|
поставленной |
задачи |
дается |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
экстремалью |
задачи |
с |
подвижной |
границей |
|
для |
|
функционала |
|
V[ y]= ∫ |
1+ y′2 dx |
с |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
|
|
|
условиями y(x1 ) = y1 =ϕ(x1 ) , y(x2 ) = y2 =ψ (x2 ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
Уравнение Эйлера |
|
y′′ = 0 |
|
имеет общее решение |
|
y(x) =αx + β . |
Для определения |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
постоянных |
α и |
β , |
а также координат концов дуги экстремали получим следующие |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
условия в точках (x1 , y1 ) |
и (x2 , y2 ) : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
= |
αx + |
β, |
|
|
y |
|
= |
1 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
1+ y |
′2 |
|
|
|
|
′ |
|
|
|
− y |
′ |
|
|
|
|
|
|
y′(x1 ) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(x1 ) +[ϕ (x1 ) |
(x1 )] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N N |
|
|
|
1+ y′2 (x ) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=x1 |
|
|
|
=α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
2 |
=αx + |
β, |
|
|
|
y |
2 |
= −x − 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′2 |
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
y′(x2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ y |
|
(x2 ) |
+[ϕ (x2 ) − y (x2 )] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N N |
|
1+ y |
(x2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=−1 |
|
=α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Во |
второй |
и |
|
четвертой |
строках |
|
|
записаны |
|
|
|
|
условия |
трансверсальности |
|||||||||||||||||||||||||||
F +(ϕ ' − y ')Fy ' =0 , где |
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
1+ y |
′2 |
, |
в точках (x1 , y1 ) |
|
и (x2 , y2 ) . Легко видеть, что |
|||||||||||||||||||||||||||
F(x, y, y ) = |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
они совпадают с условиями ортогональности y′(x1,2 ) ϕ′(x1,2 ) +1 = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Решая |
систему, |
найдем |
|
|
x = −1, |
x |
|
= − 3 |
, |
|
y |
= |
|
1 , y |
2 |
= 0 |
, |
и |
экстремаль |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y(x) = x + 32 .
x |
1+ y′2 dx = −∫1 |
|
1 |
|
||
Замечание. Длина дуги полученной экстремали l = ∫2 |
1+1 dx = |
дает |
||||
2 |
||||||
x1 |
− |
3 |
|
|
||
|
2 |
|
|
|
минимальное расстояние от прямой до параболы. Этот результат легко получить и из геометрических соображений.
79
π |
|
Пример 9.4. Найти экстремали функционала V[ y]=∫4 |
( y′2 − y2 ) dx с условием y(0) =1 |
0 |
|
(задача со свободным правым концом при x = π4 ).
Решение. Граничное условие при |
x = |
π |
следует поставить так: F |
′ |
|
|
π |
|
|
||||||
|
|
4 |
y |
|
|
x= |
4 |
|
|
|
|
|
y′′+ y = 0
Экстремали в данной задаче находятся из условий
y(0) =1,
откуда получаем единственное решение y(x) = sin x +cos x .
= 2 y′ |
|
x= |
π |
= 0 . |
|
|
|
||||
|
4 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
( ур − е Эйлера) |
|
||||
π |
|
= 0 |
, |
||
y′ |
|
|
|||
4 |
|
|
|
Задачи для самостоятельного решения
Найти экстремали и значение ξ в следующих задачах с подвижной границей:
ξ
9.1V[ y] = ∫y′2 dx
0
ξ
9.2V[ y] = ∫y′2 dx
|
0 |
|
ξ |
9.3 |
V[ y] = ∫ 1+ y′2 dx |
|
0 |
ξ
9.4V[ y] = ∫( y′2 + x2 )dx
0
ξ
9.5 |
V[ y] = ∫ |
1+ y′2 |
dx |
|
y |
||||
|
0 |
|
y(0) = 0, |
y(ξ) = −ξ −1. |
||||||
y(0) = 0, |
y(ξ) = |
|
2 |
. |
|||
1−ξ |
|||||||
|
|
|
|
||||
y(0) = 0, |
y(ξ) = |
|
1 |
. |
|
||
|
|
|
|||||
|
|
|
ξ2 |
|
|||
y(0) |
= 0, |
y(ξ) =1 |
|
(ξ > 0) . |
|||
y(0) |
=1, |
y(ξ) =ξ −1. |
|
9.6Найти минимальное расстояние от точки M0 (−1,5) до параболы x = y2 .
9.7Найти минимальное расстояние от точки M0 (1, 0) до эллипса 4x2 +9 y2 = 36 .
9.8Найти минимальное расстояние между точками параболы y = x2 и прямой x − y = 5 .
9.9Найти минимальное расстояние от прямой x + y = 4 до окружности x2 + y2 =1.
Найти экстремали в задачах со свободными концами:
9.10 |
V[ y] = ∫2 |
(2xy + y′2 )dx |
y(0) = 0 . |
|
0 |
|
|
9.11 |
V[ y] = ∫1 |
(2 y +6 y′+ y′2 )dx |
y(0) = 0 . |
|
0 |
|
|
9.12 |
V[ y] = ∫1 |
(2 yy′+ y′2 )dx . |
|
|
0 |
|
|
80