Лекции по математике

© Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В.

1 1 1				3	1			1 1 1			3 1 2
		1 0		4						1 2	4
2					5		~	0				5
	1 1 0			3					0	1 1	3	2
					2
	6 3 2			8					2 3 6		8	3
					3
1		1	1	3	1
		1	2	4	5
0
	0	1 1		3	2
	0	1	4	2	1

В первой строке можно поставить все 0 кроме 1-й единицы.

1 0 0				0		0						1 0			0	0		0
		1 2		4										1	2 4
0						5 1 1						0						5
	0	1 1		3		2					~		0 0		3	1		3
	0 1 4			2		1							0 0		6	2		6
Теперь записываем 0 во вторую строку.
1 0 0				0		0			1 0 0					0	0
		1 0		0							1 0			0
0						0		~	0						0
	0	0 3		1		3				0 0			1 3		3		2
	0 0 6			2						0 0			2 6		6
						6
Переставляем третий и четвертый столбцы.
1		0	0	0	0
		1	0	0
0					0
	0	0	1	3	3
	0	0	0	0	0

Записываем нули в третью строку, и убираем (-1) умножив вторую строку на это число.

1		0	0	0	0
		1	0	0
0					0
	0	0	1	0	0
	0	0	0	0	0

В матрице осталось всего 3 единицы.

Все миноры 4- го порядка нулевые. Единственный ненулевой минор третьего поряд-

	1	0	0
ка:M2	0	1	0	1
	0	0	1

r(A) = 3.

Системы линейных уравнений.

Определение. Система уравнений вида

© Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В.

a11x1

a12x2

... a1nxn b1

x

a

x

... a

x

b

a

2

n

(1)

21

1

22

2n

2

...

a

x

a

x

2

... a

x

n

b

m 1

m2

mn

m

называется

системой линейных

уравнений, содержащей m

уравнений и n

неизвестных.

Числа aij – коэффициенты системы, bi – свободные члены системы, xi – неизвестные. Определение. Коэффициенты, стоящие перед неизвестными, записанные в виде мат-

рицы называются матрицей системы.

	a			a	a
		11		12		1n
A	a			a	a
		21		22		2n
				a	a
	a
		m1		m2		mn
Неизвестные и свободные члены системы можно записать в виде векторов – столб-
цов.
	x
		1
X	x2			- вектор – столбец неизвестных.
	xn
	b
		1
B	b2			- вектор – столбец свободных членов.
	b
		m

В таком случае систему уравнений можно записать в компактной матричной форме:

А X = B.

Если в матрицу системы добавить столбец свободных членов, то получим расширен-

ную матрицу системы.

		a		a	a		b
			11	12	1n		1
		a		a	a		b
A			21	22	2n		2
		a		a	a		b
			m1	m2	mn		m

Если все свободные члены системы равны 0, то система называется однородной. Определение. Совокупность из n чисел называется решением системы (1) если каж-

дое уравнение системы обращается в числовое равенство после подстановки в него этих чисел вместо соответствующих неизвестных.

Система уравнения называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения.

Пример.

Система из 3-х уравнений с 3 неизвестными:

3x1 2x2 x3 8

4x1 7x2 6x3 3

x1 5x2 x3 0

© Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В.

																						3	2		1
Матрица							системы							для									7
																				нее:A 4					6 , столбец свободных членов
																							5
																						1			1
8																					3 2		1		8
B 3	расширенная матрица A 4																					7	6		3
																							1
0																					1	5			0
Однородная система:
2x		3x				2		x				3	0
	1
5x1 3x2 4x3 0
3x		x			2	8x						3	0
	1
													Методы решения систем линейных уравнений.
																					Матричный метод.
Рассмотрим систему из n уравнений с n неизвестными,
a11x1				a12x2								... a1nxn b1
	x			a					x			... a				x			b
a											2							n
21		1				22							2n						2 (2)
												...
a	x		a					x		2		... a			x		n		b
n 1					n2								nn								n
и пусть detA										≠ 0 (определитель матрицы системы ≠ 0).
Тогда в матричной форме А X = B.

Умножим обе части системы на обратную матрицу А-1 A X = А-1 B. Поскольку А-1 А

= Е и Е X = X , то X = А-1 B.

Получаем формулу для решения системы матричным методом: X = А-1 B.

Пример.

2x1 4x2 x3 3

x1 5x2 3x3 1

x1 x2 x3 1

2	4 1				3		x
							1
A 1	5 3 B 1 X x2
	1 1
1					1		x3
detA = -8
Обратная матрица (она уже была найдена ранее)
	1	2		3	7
A 1
		2 1			5
	8
				2	6
		4
Решим систему:												2 3 3 1 7 1
			1	2 3			7	3		1
X A 1 B				2		1	5 1						2 3 1 1 5 1
			8							8
					2			1				4
				4			6						3 2 1 6 1

© Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В.

		1	16					2
				0				0
		8
				8
								1
			x				2
				1
	X x2						0
			x3				1

Получаем ответ: x1 = 2, x2 = 0, x3 = - 1.

Метод Крамера.

Теорема (правило Крамера). Система из n уравнений с n неизвестными (2) в случае, когда определитель системы не равен 0 (detA ≠ 0), имеет единственное решение, вычисляемое по формулам:

xi		i	, где – определитель системы, а	i – определитель матрицы, получаемой из

матрицы системы, заменой i– того столбца столбцом свободных членов. Это формула Крамера.

																7x				6x				2	5
Примеры: 1.																			1						10
																8x1				7x2
Решим систему методом Крамера.
					7					6				1 1										5				6						95						2				7				5				110
					8					7													10					7																8				10
По формулам Крамера находим
x							1					95							95 x				2					2							110					110
1														1																						1
	x1 2x2 3x3 1
2. 2x1 3x2 1x3 0
								x2 2x3 0
	3x1
				1				2					3			18 1											1			2				3				5 2								1		1				3			1 3						1	2	1		7
				2						3 1																	0 3								1											2		0 1													2	3 0
				3				1					2														0			1				2												3		0				2									3	1	0
x						1					5										5	x			2				2									1			1	x					3		3							7		7
												18																								18
1																				18																				18																18 18

Метод Гаусса.

Одним из наиболее универсальных и эффективных методов решений систем линейных уравнений является метод Гаусса или метод последовательного исключения неизвестных.

Пусть дана система уравнений:

a11x1

a12x2

... a1nxn b1

x

a

x

... a

x

b

a

2

n

21

1

22

2n

2 (1)

...

a

x

a

x

2

... a

x

n

b

m 1

m2

mn

m

© Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В.

Ей соответствует расширенная матрица системы:

		a		a	a		b
			11	12	1n		1
		a		a	a		b
A			21	22	2n		2
		a		a	a		b
			m1	m2	mn		m

Выполняя элементарные преобразования строк расширенной матрицы системы можно привести ее к ступенчатому виду:

			~		~		~		~
		1	a		a		a		b
			12		1k		1n		1
	0				~		~		~
			1		a		a		b
A					2k		2n		1
							~		~
		0 0		1			amn		b1

При этом система будет приведена соответственно к виду:

x		~	x		~	x		~	x		~
		a		2	... a		k	a		n	b
	1	12			1k			1n			1
			x2		~			~			~
					... a2k xk a2nxn b2
											~
								~
						xk amnxn bm

То есть в данной системе из уравнений исключены неизвестные. Это действие назы-

вается прямой ход метода Гаусса.

На втором этапе (обратный ход) идет последовательное определение неизвестных из этой ступенчатой системы.

Опишем подробно шаги метода Гаусса.

Прямой ход.

Предположим, что а11 ≠ 0. (Если а11 = 0, то на первое место в системе переставим то уравнение, в котором коэффициент при x1 отличен от нуля.) а11 – ведущий коэффициент. Разделим первое уравнение (первую строку расширенной матрицы) на а11. Последовательно умножая первое уравнение на – аi1 и складывая с i-м уравнением (строкой), исключим x1 из всех уравнений кроме первого. Получим эквивалентную систему:

x

a 1 x

... a 1 x

b 1

1

a 1

a 1

b 1

1

12

2

1n

n

1

12

1n

1

a 1 x

... a 1 x

b 1

0

a 1

a 1

b 1

2

n

22

2n

2

A

22

2n

2

...

a 1

x

... a 1

x

b 1

0

a 1

a 1

b 1

2m

2

mn

n

m

m2

mn

m

Далее аналогичным образом, считаем главным элементом a221 0 , делим на него

второе уравнение и затем исключаем неизвестное x2 из всех уравнений кроме первого. Продолжая подобным образом мы получим систему ступенчатого вида.

Обратный ход.

Решаем ступенчатую систему, которая в общем случае имеет бесконечное множество решений. Начинаем с последнего уравнения и выражаем xk через остальные неизвестные (xk+1, …, xn). Затем подставляем xk в предпоследнее уравнение и выражаем xk- 1. Далее последовательно находим xk-2, …, x2, x1.

Замечание.

1.Если ступенчатая система получается треугольной в случае системы из n уравнений с n неизвестными, то исходная система имеет единственное решение которое мы находим, поднимаясь по системе вверх от xn к x1.

©Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В.

2.Если число уравнений и неизвестных не совпадает получаем бесконечное

множество решений придавая свободным неизвестным (xk+1, …, xn) произвольные значения.

На практике работают не с самой системой (1) а с ее расширенной матрицей, выполняя элементарные преобразования строк матрицы.

Пример.

x1 2x2 3x3 4x4 5

		x2		2x3 3x4 1
x				3x		3		4x		4	2
	1
x x			2	5x	3		6x		4		1
	1

Преобразуем расширенную матрицу системы с помощью элементарных преобразований.

1		2 3 4					5 1 1				1		2 3	4		5
0 1 2 3							1			~	0		1 2	3		1 2 1
	1	0 3 4					2					0	2 0	0		3
	1	1 5 6					1					0	1 2	2		4
1		2	3	4					5
0		1	2	3					1
	0	0	4	6					1
	0	0	0	1					2

Данной расширенной матрице соответствует система:

x1 2x2 3x3 4x4 5

	x2 2x3 3x4 1
	4x3 6x4	1
	x4	2

Отсюда: x4 2

	1		2	3	4		5
~	0		1	2	3		1		~
		0	0	4	6		1
		0	0	4	5		3

	x3		1 6x4					13
								4
		4							3
	x2	1 3x4 2x3
								2						15
	x	5 4x		4	3x		3	2x				2
	1												4

Совместность систем линейных уравнений.

Теорема (Кронекера – Капели). Система (1) имеет хотя бы одно решение в том и только том случае, если ранг матрицы системы А равен рангу расширенной матрицы сис-

темы A .

rang A rang A r

Если r = n , то система имеет единственное решение; если r < n, то система имеет бесконечное множество решений, зависящее от n – r параметров.

Примеры. Исследовать на совместность системы:

x1 x2 x3 1

1.x1 x2 2x3 1x1 x2 3x3 2

© Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В.

Расширенная матрица системы:

1 1 1		1 1		1		1	1		1			1 1 1			1
1 1 2		1	~ 0			0	1		0 2			~ 0 0 1			0
1 1 3		2			0	0	2		1				0 0 0		1
			1		1	1
					0	1
Матрица системы: 0							. rang A 2
					0	0
			0

У расширенной матрицы системы существует минор третьего порядка не равный ну-

	1	1	1	1 0. Т.е. rang				3
лю.	0	1	0				A
	0	0	1

rang A rang A				Система несовместна.
x1 x2 x3 1
2. x1 x2 2x3 1
	2x2 4x3			2
2x1
1 1	1		1 1 2		1 1	1		1		1 1 1		1
1 1	2		1		~ 0 0	1		0 2		~ 0 0 1		0
2 2	4		2		0 0	2		0		0 0 0		0

rang A rang A 2

Так как 2 < 3, то система имеет бесконечное множество решений. Количество произвольных параметров n – r = 3 – 2 = 1 Количество базисных неизвестных: 2.

1		1	1		1		x x		x		1
Составим эквивалентную систему:						.	1	2		3
	0	0	1		0				x3 0

Базисный минор можно составить из коэффициентов, стоящих перед неизвестными x2 и x3, следовательно это базисные неизвестные. x1 – свободное неизвестное.

Положим x1 = t, x2 = 1 - x1 = 1 – t.

												x		t
Таким образом получили решение:													1	1 t
												x2
														0
												x3
x1 2x2 x3 4
3. 3x1 5x2 3x3 1
2x1 7x2 x3 8
1	2 1			4 3 2							1			2			1		4	1	2			1		4
																												1
3	5	3		1							~ 0		11 0						11 ~ 0				3 3			0
																												3
2	7	1		8							0			3 3					0	0	11 0					11
1	2	1						4		1 2			1				4		1 2 1				4
~ 0	1 1							0 11~ 0 1					1				0 ~ 0 1			1			0
0	11	0					11			0 0			11				11		0 0 1				1

© Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В.

rang A rang				3		1	2	1
			A		Т.к. M3	0	1	1	1 0
						0	0	1
x1 2x2 x3 4
	x2 x3	0
	x3	1

x3 1

x2 x3 1

x1 4 2x2 x3 1

Системы однородных линейных уравнений.

Если все свободные неизвестные системы равны 0, то система однородная.

a11x1

a12x2

... a1nxn 0

x

a

x

... a

x

0

a

2

n

21

1

22

...

2n

(3)

a

x

a

x

2

... a

x

n

0

m 1

m2

mn

x

4x

2

x

3

0

Например:

1

5x1 2x2

3x3 0

x2 7x3 0

2x1

Любая однородная система всегда совместна, так как rang A rang A . Она имеет решение x1 = x2 = … = xn = 0. Такое решение называется тривиальным (нулевым).

Если хотя бы одно из значений неизвестных xi не равно нулю, то такое решение на-

зывается нетривиальным.

Нас интересует, при каких условиях система имеет нетривиальное решение. Теорема. Для того, чтобы однородная система n линейных уравнений с n неизвест-

ными имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был равен нулю, т.е. = 0.

							3x 4x			2	x	3	0											3 4		1
							1						0												3
Пример: x1 3x2										5x3					Матрица системы: 1											5 .
									x2 4x3 0
						4x1																		4 1		4
			3			4		1			3		5			1	5				1	3		3 17 4 16 1 13 0
			1			3	5		3					4				1
			4			1	4				1		4			4	4				4	1
					3	4
M2								13 0				rang A rang A 2
					1	3

Минор M2 – базисный, следовательно неизвестные x1 и x2 – базисные. x3 - свободное неизвестное.

Положим x3 = t и перепишем систему в виде:

3x 4x			t 0	3x 4x			t
	1	2			1	2
x1	3x2 5t 0			x1	3x2 5t

Получили систему из 2-х уравнений с 2-мя неизвестными. Решим ее методом Краме-

ра.

© Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В.

	3		4		13 1										t			4		17t		2			3	t	16t
	1		3												5t			3							1	5t
x		1		17t								17		t	x	2		2			16t		16	t
				13																	13
1								13														13
			x							17			t
					1			13
Решение: x2									16		t
								13
			x3			t