Тиоповой расчёт по математике 6 модуль

=	1 ¢ 4 ¢ : : : ¢ (1 + 3(m ¡ 1))	¢	a	;
	(3m)!		0

ãäå a0 = 1.

Ответ: y(x) = 1 + P1 1 ¢ 4 ¢ : : : ¢ (1 + 3(m ¡ 1))¢x3m: m=1 (3m)!

VII. Задать аналитически функцию, график которой изображен на рисун-
ке. Построить для этой функции 4 ряда Фурье: общий тригонометрический,
по синусам, по косинусам и в комплексной форме. Изобразить графики сумм
построенных рядов.
Äàíî:		f(t)
		6
	0	1 2 3				t -
¡1

Решение:
1. Зададим функцию, график которой изображен на рисунке, аналитиче-
ски. Прежде всего заметим, что определена она только на отрезке									[0; 3] .
Видим, что на промежутке				[0; 2] функция постоянна и все значения ее рав-
íû ¡1 , òî åñòü		f(t) = ¡1				ïðè		t 2 [0; 2] . На интервале	[2; 3]
график функции есть отрезок прямой								L , проходящей через точки	(2; ¡1)
è (3; 0): Уравнение прямой на плоскости, проходящей через точки									(x1; y1)
è (x2; y2) имеет вид			y ¡ y1	=	x ¡ x1		: Подставив в это уравнение величины
			y2 ¡ y1
				x2		¡ x1		= 0 получим уравнение y = t ¡ 3
x = t;	x1 = 2; y1 = ¡1;			x2 = 3; y2
прямой	L в координатах t; y:

Окончательно, аналитическое задание данной функции будет иметь следу-

þùèé âèä:			f(t) = ( ¡1; 0 · t · 2;
				t ¡ 3; 2 · t · 3:
2. Построим общий тригонометрический ряд Фурье:
		a0		nX
	2		+	1 an cos n!t + bn sin n!t;
				=1
ãäå ! = 2¼=T;	T длина промежутка [a; b]; на котором задана исходная,

интегрируемая на нем, функция f(t); а также период суммы ряда Фурье. Коэффициенты an; bn вычисляются по функции f(t) следующим образом:

2 Z b

an = T a f(t) cos n!t dt; n = 0; 1; 2; : : :

13

2 Z b

bn = T a f(t) sin n!t dt; n = 1; 2; 3; : : :

Так как функция задана на интервале [ 0; 3 ];

òî a = 0; b = 3;

T = b ¡ a = 3. Вычислим коэффициенты an; n ¸ 0; bn; n > 0:

a0

=

2

2(

1)dt + 3(t

3)dt =

2

0

2 + 0

t2

3t)¯31 =

5

:

¡

¡

¡

2 ¡

¡

3

3

ÃZ0

Z2

!

3

B

¯

@

¯2C

@

¯

A

¯

¯

an

=

2

Ã

02 cos

2¼nt

dt +

23(t

¡

3) cos

2¼nt

dt! =

3

Ã

¡ Z

3

dt¯2

Z

3

¯3

=

2

3

sin

2¼nt

+

3

(t

¡

3) sin

2¼nt

+

3

2¼n

3

¡2¼n

3

¯0

¯2

¯

¯

9

2¼nt

3

¯

3

4¼n

¯

¯

1

¯

¯

+

cos

=

Ã1

cos

! :

(2¼n)

3

¯2

A

¡2¼

n

¡

3

¯

¯

2

2

2¼nt¯

3

2¼nt

bn

=

á Z0

sin

dt + Z2

(t ¡ 3) sin

dt! =

3

3

3

=

2

Ã

3

cos

2¼nt

dt¯2

3

(t

¡

3) cos

2¼nt

¯3

+

3

2¼n

3

¯0 ¡ 2¼n

3

¯2

¯

¯

9

2¼nt

3

¯

1

3

¯

¯2

¯

¡

4¼n¯

(2¼n)

3

¼n

¡ 2¼ n

3

¯

A

+

2 sin

¯

1

=

2

2 sin

:

¯

¯

Затем, используя, например, теорему Дирихле о поточечной сходимости ряда Фурье, видим, что построенный нами ряд Фурье сходится к периодическому (с периодом T = 3) продолжению исходной функции при всех t 6= 3n; è

S(3n) = ¡1=2 ïðè n = 0; §1; §2:::; где через S(t) обозначена сумма ряда Фурье. График функции S(t) имеет следующий вид:

	¡6 ¡5 ¡4 ¡3 ¡2 ¡1																6 S(t)
																	1		2 3					4 5					6		-
																															t
¢										¢					¡1¢							¢							¢
	Ответ: f(t)							=				¡6		+ n=1		2¼2n2 (1 ¡ cos								3	´cos				3	¡	³¼n +
												5		1		3								4¼n				2¼nt			1
+2¼2n2 sin				4		´sin		2							P
					3					3		, t 6= 3n; S(3n) = ¡2; ïðè n = 0; §1; §2 : : :
3					¼n					¼nt									1

3. Построим ряд Фурье по синусам.

14

Ряд Фурье по синусам в общем случае существует только для нечетной функции. Для того чтобы построить ряд по синусам для нашей функции, продолжим ее нечетным образом на промежуток [ ¡3; 0 ]: Затем, считая, что

T = 6; воспользуемся стандартным видом ряда Фурье для нечетной функ-

öèè:

=1 ˜bn sin n!t;

ãäå ˜bn =

T

Z0

f(t) sin n!tdt;

n = 1; 2:::

f(t) =:

1

4

T=2

nX

Вычислим коэффициенты ˜

3

2

bn :

Z

¡

3

dt3

¡ Z0

3

˜bn =

2

2 sin

¼nt

dt +

3(t

3) sin

¼nt

=

6

2

7

4

¯2

¯3

5

=

2

"

3

cos

¼nt

3

(t

¡

3) cos

¼nt

+

3

¼n

3

3 ¼n

¯0 ¡

¯2

¯

¯

9

¼nt

¯3

2

3

¯

2¼n

¯

¡

¯

(¼n)

3

¯2

¼n ¡ 4¼ n

3

+

2

sin

¯

5

=

2

2 sin

:

¯

3

¯

Применив теорему Дирихле, видим,¯

÷òî

f(t) = S(t)

ïðè

t 6= 6k;

è

S(6k) = 0 ïðè k = 0; §1; §2; ::: Таким образом, график суммы этого

ряда имеет вид:

S(t)

6

																1
	6	5		4		3				2		1 0					1		2 3 4							5		6		-
¡		¡	¡		¡			¡			¡
¢														¢														¢		t
												¡1
Ответ:			f(t)		=		¡ n=1³¼n +										4¼2n2		sin		3		´sin			3		ïðè		t 6= 6k; è
									1			2					3				2¼n					¼nt
										P

S(6k) = 0 k = 0; §1; §2; :::

4. Построим ряд Фурье по косинусам.

Аналогично, ряд Фурье по косинусам существует только для четной функции. Для того чтобы построить ряд по косинусам для нашей функции, продолжим ее четным образом на промежуток [ ¡3; 0 ]: Затем, как и в предыдущем

случае, считая, что T = 6;			воспользуемся стандартным видом ряда Фурье
для четной функции:			a˜n = T	Z0	f(t) cos n!tdt; n = 0; 1; 2:::
f(t) =:	2 +	=1 a˜n cos n!t;
	a˜0	1	4	T=2
		nX

15

Вычислим коэффициенты a˜n :

a˜0

=

2

"

02 dt +

23

(t

¡

3)dt# =

¡

5

;

3

3

¡ Z

Z

a˜n

=

2

2

2 cos

¼nt

dt +

3(t

¡

3) cos

¼nt

dt3

=

3

3

6

¡ Z0

3

Z

7

2

4

"( 1)n

#

5

=

6

¡

cos

2¼n

2

2

¼ n

¡

3

Применив теорему Дирихле, видим, что f(t) = S(t) при всех вещественных значениях аргумента t: Таким образом, график суммы этого ряда имеет вид:

13:

6f(t)

1

2

3

4

5

HHHHHH

-

0

t

Ответ: f(t) = ¡¡6+ n=1¼2n2

[(¡1)

¡ cos

3

i

cos 3 ïðè âñåõ

51

1

6

n

H

2¼n

¼nt

вещественных t:

P

5. Построим ряд Фурье в комплексной форме.

Ряд Фурье для функции f(t)

в комплексной форме имеет вид:

f(t) =: n=1

cn ei!nt;

ãäå cn = T ¡1 Zab f(t) e¡i!ntdt; ! = 2¼=T:

X

¡1

Âнашем примере, считая, как и ранее, что a = 0; b = 3; T = 3;

!= 2¼=3; находим коэффициенты cn; n = 0; §1; §2; : : :

c0 =

3¡1 Z03 f(t)dt = a0=2 = ¡5=6;

cn =

3¡1

0¡ Z02 e¡i!ntdt + Z3(t ¡ 3)e¡i!ntdt1

=

B

2

C

@

e¡i!nt¯2

A

=

3¡1

(

3i

+

3i

(t

¡

3)e¡i!nt

¡

¡2¼n

¯0

2¼n h

¯

¡

i

3

¯

i

³1 ¡ e¡

´ =

2¼n e¡

i¯2)

= 2¼n + 4¼2n2

3

i!nt

¯

¯

3

2!ni

3

¯

4¼n

i

3

4¼n

=

Ã1 ¡ cos

!

+

Ã1 +

sin

! :

4¼2n2

3

2¼n

2¼n

3

16

Отметим, что коэффициенты cn связаны с коэффициентами an; bn общего ряда Фурье следующим образом:

ñn =	8 2¡1(an ¡ ibn); n · 0;
	<	1
		2¡ (an + ibn); n < 0:
	:

Затем, как и ранее, используя теорему Дирихле о поточечной сходимости ряда Фурье, видим, что построенный нами ряд Фурье в комплексной форме сходится к периодическому, периода T = 3; продолжению исходной функции

ïðè âñåõ t =6 3n; è S(3n) = ¡1=2 ïðè n = 0; §1; §2 : : : График суммы

этого ряда Фурье имеет следующий вид (поведение ряда Фурье и его график в этом случае совпадают с поведением и графиком ряда Фурье для случая общего тригонометрического ряда Фурье):

¡6 ¡5 ¡4 ¡3 ¡2 ¡1

6 S(t)

1

2 3

4 5

6

-

t

¢

¢

¡1¢

¢

¢

Ответ:

f(t) =

1

"

2

2

Ã1

cos

4

! +

n X

3

¡

¼n

4¼ n

3

=

¡1

+

i

Ã1 +

3

sin

4¼n

!#

ei2¼nt=3

ïðè t = 3n

2¼n

2¼n

3

6

èS(3n) = ¡1=2; n = 0; §1; §2; : : :

VIII. Найти преобразование Фурье F (!) для заданной функции f(t): Èñ-

пользуя обратное преобразование Фурье, найти соответствующий несобственный интеграл. ¡3jtj.

à) f(t) = e

Прямое преобразование Фурье в комплексной форме для функции f(t)

	имеет вид:	F (!) = (2¼)¡1=2		Z 1 f(t) ¢ e¡i!tdt:
	В нашем случае находим:			¡1
			Z 1 e¡3jtje¡i!tdt =
		F (!) = (2¼)¡1=2
			¡1

17

Ã

Z¡1

Z

´

= (2¼)¡1=2

0

e(3¡i!)tdt +

01 e¡(3+i!)tdt =

Ã

= v

=

1

1

+

1

2 3

:

2

i! 3 + i!

!

u

¼ 9 + !

p2¼ 3

¡

u

t

Затем рассмотрим обратное преобразование Фурье. Оно представляет из себя выражение исходной функция f(t) через найденное нами прямое преобразо-

вание Фурье F (!):

f(t) = (2¼)¡1=2 Z 1 F (!) ¢ ei!td!;

¡1

подставляя в эту формулу найденное выражение для F (!) и исходную функцию f(t); получаем значение несобственного интеграла:

Z 1	ei!t		¼		e¡3jtj:
		d! =
	9 + !2			3
¡1

В силу теоремы о поточечной сходимости интеграла Фурье, полученное равенство справедливо при всех t.

8

á) f(t) = < 1; t 2 [¡1; 1]; : 0; t 2= [¡1; 1]:

В этом случае преобразование Фурье имеет вид:

1

Z

1

1

e¡i!t 1

F (!) =

p2¼

1 e¡i!tdt =

p2¼

j¡1

=

¡

i!

¡

= v

= 1

ei! ¡ e¡i!

2 sin !:

p2¼

u

i!

u

¼

!

t

Снова, используя обратное преобразование Фурье и теорему о поточечной

сходимости интеграла Фурье, будем иметь:

	1 sin !		e	i!t	8	¼;
				d! =	>	¼=2;
Z		!			>
					>
					<
	¡1				>	0;
					>
					>
					:

t2 (¡1; 1);

t= §1;

t2= [¡1; 1]:

В этой формуле ¼=2 значение интеграла Фурье в точках разрыва первого рода функции f(t).

18

Расчетные задания

I. Исследовать сходимость числовых рядов.

1.a)

c)

2.a)

c)

3.a)

c)

4.a)

c)

5.a)

c)

6.a)

c)

7.a)

c)

1

(2n + 1)!;

nP

n! 2

n

=1

1

1

tg

1

;

nP n + 1

pn

=1

1

2n + 3n+1

nP

5

;

=1

n

1

2n+1(n3 + 1)

;

nP

(2n + 1)!

=1

1

(2n + 2)!

;

nP

n! (n + 1) 2

n

=1

1 arcctg

1

;

n + 3

nP

=1

2

1

(3n + 1)!

;

nP

n! pn + 1

=1

2

1 n2 sin

1

;

2

nP

n + 1

=1

1

sin(3=n)

;

nP

1=n

=1

(¡1)n(2n + 1)

1

;

nP

n (n + 1)

=1

n3

+ 5

1

3

;

n + 6

nP

=1

3

1 arccos

4

;

n

+ 1

nP

2

=1

nP

2

n

1 sin2

(

¼

+

1

);

=1

2

1

(¡1)n

;

nP

e + e¡

=1

n

n

b)

1

(¡1)nn

;

nP

3 + n

=1

n

2

d)

1

1

:

(n + 1) ln (n + 1)

nP

=1

(¡1)n¡1(n + p

)

;

b) 1

n

nP

(n + 1) (n + 3)

=1

d)

1

(1 +

1

) cos(1 +

1

).

nP

n

n

=1

2

b)

1

(

¡

1)n sin

3n

;

n

2

nP

¡ 2n + 2

=1

d)

1

5

(n + 3) ln (n + 3)

nP

=1

3

.

b)

1

arctg (1=(n + 1))

;

nP

p

n + 3

=1

(¡1)n(3n + p

)

:

d) 1

n

nP

4

n

+ 1

=1

p

n

+

2

+ 1

b)

1

4

n

;

2

2

nP

n +n

=1

d)

1

n!

:

(2n)! 5

nP

n

=1

b)

1

2 ¢ 5 ¢ ::: ¢ (3n ¡ 1)

;

nP

4

n+2

(n ¡ 5)!

=5

d)

1

(¡1)n

:

(n ¡ 1) ln (n ¡ 1)

nP

=3

b)

1

1 ¢ 3 ¢ ::: ¢ (2n ¡ 1)

;

nP

3

n

(n + 1)!

=1

d)

1

7

:

(n ¡ 2) ln

nP

3=2

(n ¡ 2)

=4

19

8.a)

c)

9.a)

c)

10.a)

c)

11.a)

c)

12.a)

c)

13.a)

c)

14.a)

c)

15.a)

c)

1

(n!)2

;

=1

n

+ 1) (2n)!

nP

(3

1

(¡1)n¡1 n3

;

=1

4

nP n + 2n + 1

1

n2 + 5

;

n

3

=1

3 + n

nP

1

(¡1)n ln n

;

=2

n

nP

1

(3n + 2)!

;

=1

n

2

10

n

nP

1

3n + n2

;

n

=1

5 + n

nP

1

(¡1)n

;

=3

nP p3n ¡ 7

1

(2n)! p3

n

;

=1

5

n

+ 1

nP

1

sin 3n

;

=1

n

nP

3 + n

1

(n!)

2

;

2

=1

n

2

nP

1)n

1

(

=1

¡

;

nP n + n ln n

1

10n 2 n!

;

=1

(2n)!

nP

5

1

(

1)n cos

;

n

=1

¡

2

nP

5

n

1

;

=1

2

(2n)! n

nP

1

n + n p

n

;

=1

3

2

nP n + n ¡ 1

1

2n

;

=1

n

+ 3

nP p2

b)

d)

b)

d)

b)

d)

b)

d)

b)

d)

b)

d)

b)

d)

b)

d)

1

(¡1)n 2n

;

=1

4

n + n

nP

1 arctg (

1 ¡ n2

):

=1

n + 1

nP

1

1 ¢ 4 ¢ ::: ¢ (3n ¡ 2)

;

=1

7 ¢ 9 ¢ ::: ¢ (2n + 5)

nP

1 arcctg (n2 + 2):

=1

nP

2n + 3

1

(

¡

1)ncos

;

3n + 1

nP

=1

1 ln (1 +

1

):

nP

npn ¡ 4

=5

1 ln

3n + 2

;

3

nP

n

=1

1

5n2¡1

:

=1

n

6

6 + n

nP

1

(p

n2 + n

¡

n);

=1

nP

2

1

1 ln(1 +

+

):

n

n

nP

=1

2

1 ln

2n + 5

;

nP

n + 32

=1

1

3n + 4n

:

5

nP

=1

n3

1

(

¡

1)n

2n + 9

;

n

2

+ 9n + 20

nP

=1

1 ln3=2(1 +

4

+

3

):

n

n + 1

nP

=1

2

¡

nP

6n + 1

1

(

1)n arcsin

3n ¡ 2

;

=1

(2n2

1

n + 1)!

nP

¡

:

2

3

n +1

=1

20

16.a)

c)

17.a)

c)

18.a)

c)

19.a)

c)

20.a)

c)

21.a)

c)

22.a)

c)

23.a)

c)

1

5n + n3

;

(3n)!

=1

nP

1

arctg 2n

;

=1

3

n

+ 5

nP

1

1

;

=1

2

4

nP n + sin n

1

n2 + 4n4

;

=1

e

n2+1

nP

1 ln

3n ¡ 1

;

=1

5n + 2

nP

4n p

;

1

n2 + 5

(2n ¡ 1)!

=1

nP

1

n! (2n + 1)!

;

=0

(3n)!

nP

1

4n + cos n

;

=1

n

2

5 + n

nP

1 ctg 5

;

=1

pn

nP

1

(¡1)n

;

=7

nP n ln n lnln n

1

n e¡n+1;

=1

nP

1

1

(1

cos

);

=1

¡

pn

nP

1

(

1)n ln

2n ¡ 5

;

=3

¡

2n + 3

nP

1

n + 1

;

=1

n

+ tg

2

(1=n)

nP

3

1 arccos ln

2n

;

=1

2n + 1

nP

1

3n + 4n+2

;

=1

2

n2+1

nP

b)

d)

b)

d)

b)

d)

b)

d)

b)

d)

b)

d)

b)

d)

b)

d)

1

cos n¼

;

nP p

n + 1

=0

1 p

¡

cos

1

):

n + 1(1

nP

n

=1

1

(

1)n

n + 3

;

nP

¡

ln (n + 4)

=1

1

3 ¢ 7 ¢ ::: ¢ (4n ¡ 1)

:

nP

5

(n + 3)!

=1

n

¡

pn + 1

nP

1

(

1)narcsin

3

;

=1

3n2+n ¡ 2n

1

:

nP

7

6n+2

=1

¡

nP

n

1

(

1)n ln (1 + n) sin

1

;

=1

ln (1 + n=(n2 + 1)):

1

nP

n + 1

=1

1 ¢ 4 ¢ ::: ¢ (3n ¡ 2);

1

nP

2

n+1

n!

=1

¢

nP

3

+ 2

1 ln(1 +

1

)

5n:

n2

n

=1

1

n (

1)2n+1

nP

¡

;

n + 2

=1

2

1

3 ¢ 5 ¢ ::: ¢

(2n + 1)

:

2 ¢ 5 ¢ ::: ¢ (3n ¡ 1)

nP

=1

1

(n + 3)! (2n + 3)!;

nP

(3n ¡ 2)!

=1

1 sin

2n + 1

:

n + 2n

nP

=1

3

1

4 ¢ 8 ¢ ::: ¢

4n

;

nP

3 ¢ 8 ¢ ::: ¢ (5n ¡ 2)

=1

P1 (¡1)n [(1 + 1=n)10 ¡ 1]:

n=1

21

24.a)

c)

25.a)

c)

26.a)

c)

27.a)

c)

28.a)

c)

29.a)

c)

30.a)

c)

1

3n (2n ¡ 1)!

;

nP

(3n ¡ 1)!

=1

1

(¡1)n n

;

nP

(n + 1) pn + 1

=1

1

6n (n2 ¡ 1)

;

nP

(2n + 1)!

=1

(¡1)n

1

;

nP

pn

+ n + 1

=3

4

3

1

(

1)n ln

2n + 3

;

2n + 1

nP

¡

=1

1 arctg

n

;

3

+ n

nP

n

=1

2

1

1

tg

1

;

nP n

pn

=1

5n (n + 1)!;

1

nP

(2n)!

=0

1

1

cos

1

;

nP n

pn

=1

4n + n p

1

n

;

5 ¡ 1

nP

=1

n

1

1

arctg

1

;

nP n ¡ 1

pn ¡ 1

=2

3

1

6n + ln n

nP

;

2

n2

=2

1

p3

n

nP

sin

pn + 2

;

=1

5

1)

Ã

!

;

=1(

1

n

n + 2

5

nP

¡

n + 4

b)

d)

b)

d)

b)

d)

b)

d)

b)

d)

b)

d)

b)

d)

1

2n n!

nP

3

+ n

3 ;

=1

n2

1

n

! :

nP

n + 1

=1 arctg Ã1 +

2

1

2sin (1=n);

nP

=1

1

2n + 5n

:

3

+ 6

nP

n+2

=1

n

1

2

n2

nP

(3n)!

;

=1

(¡1)n

1

:

nP

n ln

3=4

n

=1

¡

nP

6n

1

(

1)n cos

¼

;

=1

1

n3 + 2n

nP

7 + n + 1

:

=1

n

2

2

+ 3

1

(

1)n ln

n

;

2

nP

¡

n + 1

=1

(2n2 + 1)!:

1

nP

4

=1

n2+n

(¡1)n¡1

1

;

nP

ln (1 + n)

=1

(3n ¡ 1)!

1

:

nP

3

(n + 3)!

=1

n

1

3n2

nP

;

(n + 2)! 4

n

=1

n2

+ n

3

1

2

:

3

nP

n+7

=1

22