- •Сопротивление материалов – заочно Примеры решения задач Задача 1. Стержневая система
- •Задача 2. Статически неопределимая стержневая система
- •Задача з. Теория напряженного состояния
- •Задача 4. Кручение
- •Задача 5. Геометрические характеристики плоских сечений
- •Задача 6. Плоский изгиб
- •Задача 8. Внецентренное сжатие
- •Задача 9. Изгиб с кручением
Сопротивление материалов – заочно Примеры решения задач Задача 1. Стержневая система
Два стальных стержня, шарнирно соединенных в точке А, находятся под действием силы Р .Первый стержень имеет длину с и площадь поперечного сечения F, второй длину a и площадь 2F.
Требуется найти: 1) величину нормальный напряжений, действующих в стержнях. 2) абсолютную и относительную деформации стержней. Исходные данные: Р = 130 кН,с = 1,5 м,а = 2 м,F = 12 см^2. Решение. Стержни прикреплены к стене и соединены между собой шарнирами (точках В ,С иА ). Шарниры предполагаются идеальными, т. е. такими, трение в которых отсутствует. НагрузкаР приложена в узлеА . Поэтому стержни будут испытывать только продольные (растягивающие или сжимающие) усилия, т.е. в поперечных сечениях стержней возникает только один внутренний силовой фактор - продольная силаN . 1. Для определения усилий используем метод сечений .Рассечем стержни,отбросим часть, содержащую опорные точки.Заменяя действие отброшенной части, приложим в сечениях неизвестные продольные усилияN 1 иN 2 .Полагая оба стержня растянутыми, направим усилияN 1 , иN 2 так, как показано на рис.(1.2). |
Уравновесим отсеченную часть. Для сходящейся плоской системы сил можно составить два независимых уравнения равновесия - в виде сумм проекции всех сил на две осих иу (рис. 1.2).
Тогда уравнения равновесия представятся в виде:
Для определения ирассмотрим стержневую систему(рис.1.1). Из точкиА опустим перпендикулярА D на прямуюВС , получим два прямоугольных треугольникаABD иАDC .
Из треугольника ABD определимAD : м. Из треугольника AD С получим: , . Теперь определим неизвестные усилия N 1 , иN 2 из системы двух линейных уравнений(1.1). Перепишем уравнения в следующем виде: |
(1.2)
Решим систему (1.2), используя, например, метод Крамера.
2. Определим нормальные напряжения, действующие в стержнях.
Напряжения в стержнях определяются по формуле
Для первогостержня
МПа,
для второгостержня
МПа,
3. Найдем абсолютную и относительную деформации стержней.
Абсолютная деформация стержня длиной lопределяется из закона Гука:
Абсолютная деформация первого стержня
м.
Абсолютная деформация второго стержня
м.
Относительную деформацию определим из закона Гука
.
Относительная деформация первого стержня
,
относительная деформация второго стержня
.
Литература: 1 § 1.2 – 8.2
Задача 2. Статически неопределимая стержневая система
Абсолютно жесткий брус шарнирно закреплен на неподвижной опоре и поддерживается двумя стержнями (рис. 2.1).
Требуется найти: 1) усилия и напряжения в стержнях, выразив их через силу ; 2) допускаемую нагрузку [ ], приравняв большее из напряжений в двух стержнях допускаемому напряжению= 160 МПа; 3) предельную грузоподъемность системы Q пр и допускаемую нагрузку [Q пр ], если предел текучестит = 240 МПа и запас прочностиn = 1,5; 4) сравнить величины допускаемых нагрузок [ Q ] и [Q пр ]. Исходные данные: а = 2,1 м,b = 2,4 м,с = 1,5 м,F = 12см 2 . |
Решение.
1. Рассечем стержни АА 1 иВВ 1 , усилияN 1 , иN 2 в стержняхАА 1 , иВВ 1 , направим вдоль осей стержней как показано на рис.2.2. Реакция опорыК имеет горизонтальную составляющуюН К , и вертикальную составляющуюR К , так как эта опора препятствует горизонтальному и вертикальному перемещению точкиК бруса. Таким образом, всего имеется четыре неизвестные реакции (рис.2.2), а независимых уравнений равновесия для плоской системы сил можно составить всего три. Следовательно, данная система один раз статически неопределима Статически неопределимые системы рассчитывают путем совместного решения уравнений, полученных в результате рассмотрения статической, геометрической и физической сторон задачи. |
Статическая сторона задачи. По условию задачи необходимо определить усилияN 1 иN 2 , a в определении реакцийН К иR К нет необходимости. Поэтому достаточно из трех возможных уравнений равновесия использовать одно, в которое не входили бы реакцияН К иR К . Таким является уравнение суммы моментов всех сил относительно шарнираК :
где (м).
Подставляя в уравнение значения h ,b ис , получим
(2.1)
Геометрическая сторона задачи . Под действием внешней силы абсолютно жесткий брус повернется вокруг точкиК . ШарнирыА иВ после деформации переходят в положениеА 2 иВ 2 соответственно, т.е. перемещаются по вертикали на величины1 и2(рис.2.3).
Из подобия треугольников AA 2К иВВ 2К находим (2.2) Выразим укорочение стержняАА 1 и удлинениестержняВ B 1 , через перемещения1 и2 .
|
откуда
или с учетом равенства (2.2) |
(2.3) |
Физическая сторона задачи . Используя закон Гука, записанный для абсолютных деформаций, выразим деформации стержней через усилия
(2.4) |
Подставим выражения (2.3) в условие (2.4) |
после сокращения получим |
Решаем совместно уравнения статики (2.1) и уравнение(2.5):
Определяем напряжения в стержнях 1 и 2:
Па, |
Па. |
2. Найдем допускаемую нагрузку [ ], приравняв большее по модулю напряжение допускаемому напряжению= 160 МПа.
, |
откуда |
Н. |
3. Найдем нагрузки предельную - Q пр и допускаемую - [Q пр ], если предел текучестиТ = 240 МПа и запас прочностиn = 1,5.
При увеличении нагрузки Q c верх значения [Q ] напряжения в обоих стержнях сначала увеличивается прямо пропорционально нагрузке. При увеличении нагрузки до некоторой величиныQ > [ Q ] напряжение2 во втором стержне достигают предела текучестиТ , а усилиеN 2 - предельного значенияN 2пр =Т ·F . При этом напряжение1 сжатия в первом стержне остается меньшеТ . При дальнейшем увеличении нагрузки, напряжения во втором стержне остаются постоянными, равными пределу текучести, а в первом - возрастают, пока также не достигаютТ , усилиеN 1 при этом равно
N 1пр = –Т ·2F . Это состояние системы называется предельным, соответствующим исчерпанию ее грузоподъемности. Дальнейшее, даже незначительное увеличение нагрузки связано с весьма большими деформациями системы. Величину силыQ , вызываюшую предельное состояние, обозначаютQ пр и называют предельной силой.
Для вычисления Q пр подставим в уравнение (2.1) значения предельных продольных усилий, возникающих в стержняхN 1 =N 1пр ,N 2 =N 2пр :
откуда |
Н. |
4. Сравним величины допускаемых нагрузок [ Q ] и [ Q пр ] |
= 1,38. |
Литература: 1, §9.2.