Физика 2-3

		R
			3
	E	q			,	r R .
		3 r		2
		0

На основании (21) и (24) следует зависимость показанная сплошной линией на рис. 3.

11

(24)

E r ,

Рис. 3

Для определения потенциала по найденной напряженности используем соотношение их связи (См.

ф. 21, л.2):

r
0
r Er	r dr
r

(25)

Нулевую точку выбираем в бесконечности, так что в

(25)

r0

.

В качестве линии интегрирования

выбираем радиальную прямую, соединяющую точку 0 с бесконечно удаленной точкой. На рис. 3 — это пунктирная радиальная прямая, уходящая в бесконечность.

Для определения потенциала

во внутренней

области интегрирование проводится вдоль всей прямой, т. е. через две области с разными формулами напряженности. Поэтому интеграл разбивается на сумму двух интегралов. Первый из них берется вдоль той части

11

12

линии интегрирования, которая располагается внутри заряженной области (область 1). В этом интеграле фигурирует напряженность (21). Второй интеграл берется по внешней части линии интегрирования и в нем фигурирует напряженность (24):

		q
	3
	0

R			R	3		dr
rdr		q
	3					r	2
r					R
			0

.

(26)

Выполнив интегрирование и подставив пределы, получаем потенциал внутренних точек:

(27)

Для внешних точек вся линия интегрирования проходит только по одной внешней области с формулой напряженности (26). Поэтому потенциал выражается только одним интегралом:

(28)

Для потенциала внешних точек из (28) получаем:

		R
				3
			q		,	r R .	(29)
		3 r
			0
На рисунке 3 зависимость r для внутренней (1) и внешней
Отметим,	что на границе заряженной области, т.
е. при r R	формулы					для внутренних и	внешних
характеристик должны давать одинаковые значения E
(точка а) и	(точка			b ),		что можно использовать для

проверки правильности полученных решений.

12

13

4. Пример. 2. ПРОВОДНИК В ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОМ ПОЛЕ

Всякая материальная среда состоит из заряженных частиц: электронов и ядер атомов. Электрические свойства среды определяются реакцией заряженных частиц на внешнее электрическое поле.

Под действием электрического поля заряженные частицы начинают двигаться. Характер и механизмы их движения разнообразны. Однако по конечному результату все виды движения заряженных частиц вещества под действием внешнего электрического поля можно разделить на две группы.

1. К первой группе относится ограниченное смещение зарядов; соответствующие заряды называются связан-

ными.

Процесс смещения связанных зарядов под действием внешнего поля есть диэлектрическая поляризация.

Вещества, у которых преобладают процессы ограниченного смещения зарядов, называется

диэлектриками.

Основной макроскопической характеристикой диэлектрической поляризации вещества служит диэлектри-

ческая проницаемость

.

2. Ко второй группе относится неограниченное перемещение зарядов в объеме тела. Соответствующие

13

14

заряды называются свободными; их направленное движение представляет собой электрический ток.

Свойство вещества проводить электрический ток называется электропроводностью.

Макроскопической электропроводности служит

характеристикой

удельная проводимость

или обратная ей величина — удельное сопротивление

	R

.

Вещества, у которых удельная проводимость достаточно высока, относятся к проводникам.

Типичными проводниками являются металлы. При внесении проводника в электростатическое поле свободные и связанные заряды начинают перемещаться. Свободные заряды, накапливающиеся на противоположных концах проводника, создают в его объеме электрическое поле, направленное против внешнего поля. Поэтому постепенно перемещение зарядов прекращается и наступает равновесие.

В условиях равновесия электрическое поле в проводнике обращается в нуль, диэлектрическая поляризация и ток исчезают, а концентрация свободных зарядов, накопившихся на противоположных поверхностях проводника, становится максимальной. Эти заряды располагаются в тонком поверхностном слое проводника и характеризуются поверхностной плотностью ст. Возникшие на противоположных концах проводника, помещенного в электростатическое поле,

14

15

заряды +q и -q (рис. 4, а) называются индуцированными, а процесс их возникновения — электростатической индукцией. Важной особенностью индуцированных зарядов является возможность их механического разделения.

Рис. 4.

На рис. 4, а, показан кусок проводника, внесенного в электрическое поле с напряженностью Е. Свободные заряды различного знака в процессе электростатической индукции переместились на противоположные концы этого куска.

Если теперь кусок разделить на две части, то отрицательные индукционные заряды — q останутся в одной из них, а положительные +q во второй. Обе части куска остаются заряженными, даже если их вынести из электрического поля (рис. 4, б). При диэлектрической поляризации такое разделение положительных и отрицательных поляризационных зарядов невозможно.

Вусловиях равновесия в проводнике, помещенном

вэлектрическом поле, обращается в нуль не только напряженность поля в объеме проводника, но также и

тангенциальная составляющая напряженности на его поверхности

15

16

(

E

0

).

Это связано с тем, что в условиях равновесия должны обратиться в нуль поверхностные токи.

Отличной от нуля остается только нормальная составляющая напряженности на поверхности проводника, причем

En

E

.

Следовательно, на границе раздела металлдиэлектрик происходит скачок нормальной составляющей вектора напряженности. Тангенциальная составляющая с обеих сторон границы равна нулю.

На рис. 4, а видно, что проводник в электрическом поле становится подобным диполю. Его полюса — это заряды +q и — q, возникшие за счет электростатической индукции. Поэтому в пространстве вокруг проводника возникает поле, аналогичное полю электрического диполя. На достаточно большом расстоянии оно

описывается формулой для						дипольного момента (См.
предыдущую лекцию):
	1		3r	p,r						p
E												.	(30)
	4 0			r	5					r	3

На достаточно близком расстоянии к поверхности проводника напряженность поля выражается соотношением

	E
		0

.

(31)

Докажем его справедливость с помощью теоремы Гаусса—Остроградского. Выделим на поверхности проводника малый элемент S в форме круга и

16

построим цилиндр высотой ность по периметру элемента

	17
h , пересекающий поверх-
S	(рис. 5).

Общая боковой

S

Рис. 5

поверхность этого цилиндра состоит из б и двух равных торцевых S поверхностей.

Одна торцевая поверхность располагается в проводнике, где

	E
а вторая вне его, где
E

0

E	n

,

0

Применение теоремы Остроградского-Гаусса дает:

(33)

Мы рассматриваем поле в точках вблизи

поверхности проводника, т. е.		следует считать h 0 .
При этом	Sб 0 и первый	интеграл обращается в
нуль.

17

18

Отнесем 2-й интеграл к торцевой поверхности цилиндра S , находящейся внутри проводника, где Е = 0. Следовательно, 2-й интеграл также равен нулю. Третий интеграл равен

En S E S .

Правую часть выразим через поверхностную плотность заряда:

S
0

.

И результат применения теоремы ОстроградскогоГаусса к рассматриваемой задаче можно записать в виде:

.

Откуда получаем:

(34)

Таким же способом рассчитывается электрическое поле вблизи тонкой заряженной поверхности, окруженной диэлектрической средой (рис. 6).

Рис. 6

Расчёты дают результат:

18

19

(35)

т. е. Е' = 0,5Еп. Математически это объясняется тем, что для поля заряженной поверхности в диэлектрической

среде оба интеграла по торцевым поверхностям	S
(рис. 6) отличны от нуля и одинаковы.

Внутри проводника общее поле

	E E0					0 .
			En	En	En

Разность потенциалов между точками внутри проводника с учётом формулой

				2					2
	1	2
					E, dl					0, dl
				1					1

(36)

любыми двумя (36) определится

0 .

(37)

Следовательно, во всех точках проводника, включая его поверхность, значение потенциала одинаково, т. е. проводник является эквипотенциальным.

19

20

5. ПОЛЕ В ПРИСУТСТВИИ ПРОВОДНИКА

Электрическое поле в присутствии проводника включает две составляющие: внешнее поле, вызывающее электростатическую индукцию в проводнике, и поле индуцированных зарядов. Наложения этих двух полей вне проводника образуют поле, линии которого нормальны к поверхности проводника, т. е.

E 0 , En 0

и определяется формулой (См. 34)

E	E
n
		0

.

(38)

Внутри проводника те же составляющие полностью компенсируют друг друга, и напряженность поля в проводнике

E

0

.

Индукционные заряды, обеспечивающие эту компенсацию, концентрируются в очень тонком поверхностном слое. Поэтому удаление объема проводника не изменяет описанную ситуацию: в объеме замкнутого полого проводника Е также равно нулю.

Этот эффект называется электростатической защитой

или экранировкой пространства, окруженного проводящим слоем от действия внешнего электрического поля, а замкнутая проводящая оболочка называется электрическим экраном.

20