Zaslavky-Akopyan

§ 3.3. Пучки кривых. Теорема Понселе	81
1. Пучки, проходящие через четыре различные точки (рис. 3.20).
Этому типу принадлежат также эллиптический и гиперболический
пучки окружностей.
Рис. 3.20

82Глава 3. Проективные свойства коник

2.Пучки, проходящие через четыре точки, две из которых совпадают, т. е. касающиеся данной прямой в фиксированной точке (рис. 3.21). Параболический пучок окружностей принадлежит этому типу.

Рис. 3.21

§ 3.3. Пучки кривых. Теорема Понселе	83
3. Пучок, у которого две пары точек склеиваются. Он будет со-
стоять из коник, касающихся двух данных прямых в двух данных
точках (рис. 3.22). К этому типу также принадлежит пучок концен-
трических окружностей или парабол, уравнение которых имеет вид
y = ax2.
Рис. 3.22

84Глава 3. Проективные свойства коник

4.Пучок, у которого три точки сливаются в одну (рис. 3.23). Коники этого пучка соприкасаются с некоторой окружностью.

Рис. 3.23

5. Сверхсоприкасающийся пучок, у которого четыре точки, определяющие пучок, совпадают (рис. 3.24). Пример такого пучка – параболы, уравнение которых имеет вид y = x2 + a.

§ 3.3. Пучки кривых. Теорема Понселе	85
Рис. 3.24
Помимо пучков, заданных четырьмя точками, можно рассматри-
вать двойственные пучки, т. е. множества коник, касающихся че-
тырех данных прямых (рис. 3.25–3.27). Двойственные пучки также
классифицируются в зависимости от того, есть ли среди определяю-
щих пучок прямых совпадающие. Если совпадают две прямые, то все
коники пучка касаются их, а значит, и друг друга, в одной точке;
если три, то коники пучка соприкасаются; если все четыре, то сверх-
соприкасаются. Отметим, что дважды касающийся и сверхсоприка-
сающийся пучки являются самодвойственными, т. е. переходят са-
ми в себя при полярном соответствии относительно любой входящей
в пучок коники. Пользуясь принципом двойственности, можно для
каждого утверждения об обычных пучках сформулировать соответ-
ствующее утверждение о двойственных и наоборот.

86 Глава 3. Проективные свойства коник

Рис. 3.25

§ 3.3. Пучки кривых. Теорема Понселе	87
Рис. 3.26

88 Глава 3. Проективные свойства коник

Рис. 3.27

§ 3.3. Пучки кривых. Теорема Понселе

89

С помощью теоремы о пучке коник можно доказать следующий красивый факт.

a Теорема 3.11 (о четырех кониках). Пусть даны три коники a1,

2, a3, и пусть P1, Q1, P1′ , Q′1 – точки пересечения коник a2 и a3; P2, Q2, P2′ , Q′2 – точки пересечения коник a1 и a3; P3, Q3, P3′ , Q′3 – точки пересечения коник a2 и a1. Тогда если точки P1, Q1, P2, Q2, P3, Q3

лежат на одной конике, то прямые P′					Q′	, P′	Q′	, P′	Q′	пересекаются
в однойa	точке (рис. 3.28).			1	1	2	2	3	3
	P2	P′	Q1
1		3
				Q2′′
	′
Q1			′	P3
			P1
Q3	P2′
	Q3′			Q2
a2	P1		a3
	Рис. 3.28							Рис. 3.29

Доказательство. Докажем сначала следующее вспомогательное утверждение.

Теорема 3.12 (о трех кониках). Пусть три коники имеют две общие точки. Тогда их общие хорды, проходящие через остальные точки пересечения каждой пары, пересекаются в одной точке (рис. 3.29).

Для доказательства достаточно перевести общие точки коник в точки пересечения бесконечно удаленной прямой с окружностями. Тогда все три коники перейдут в окружности и утверждение теоремы будет следовать из существования радикального центра.

Пусть теперь a0 – коника, проходящая через точки Pi, Qi, Fi(x, y)= = 0 – уравнение коники ai. Так как вырожденная коника, состоящая из прямых P2P3 и Q2Q3, принадлежит одному пучку с a0, a1, можно считать, что ее уравнение имеет вид F0 = F1. Аналогично уравнениями коник, состоящих из прямых P1Q1, P3Q3 и P1Q1, P2Q2, будут соответственно уравнения F0 = F2 и F0 = F3. Следовательно, на всей прямой P3Q3 выполняется равенство F1 = F2. Так как оно выполнено и для точек P3′ , Q′3, оно является уравнением вырожденной коники, состоящей из прямых P3Q3 и P3′ Q′3. Соответственно, уравнением коники, состоящей из прямых P2Q2 и P2′ Q′2, будет уравнение F1 = F3, а из прямых P1Q1 и P1′ Q′1 – уравнение F2 = F3. Таким образом, эти три коники принадлежат одному пучку. Три точки, задающие этот пучок, находятся

90 Глава 3. Проективные свойства коник

изa теоремы о трех кониках, примененной к тройкам a0, a1, a2; a0, a1, 3; a0, a2, a3: это точки пересечения троек прямых P1Q1, P2Q2, P3′ Q′3;

P1Q1, P3Q3, P2′ Q′2; P2Q2, P3Q3, P1′ Q′1. Значит, четвертая точка принадлежит всем прямым Pi′Q′i. Аналогичными рассуждениями доказыва-

ется обратное утверждение: если каждая из четырех троек прямых

P1Q1, P2Q2 и P3′ Q′3; P1Q1, P3Q3 и P2′ Q′2; P2Q2, P3Q3 и P1′ Q′1; P1′ Q′1, P2′ Q′2

и P3′ Q′3 пересекается в одной точке, то точки P1, Q1, P2, Q2, P3, Q3 (а также P1, Q1, P2′ , Q′2, P3′ , Q′3 и две аналогичные шестерки) лежат на одной конике. Воспользовавшись принципом двойственности, получаем следую-

щие утверждения.

Теорема 3.13 (двойственная к теореме о трех кониках). Пусть три коники касаются двух заданных прямых. Тогда точки пересечения общих касательных, отличных от заданных прямых, к каждой паре из них лежат на одной прямой (рис. 3.30).

Рис. 3.30

Теорема 3.14 (двойственная к теореме о четырех кониках). Если две из общих касательных к каждой паре из данных трех коник касаются одной и той же коники, то точки пересечения двух других касательных к каждой паре лежат на одной прямой (рис. 3.31).

Приведем некоторые важные свойства пучков.

Теорема 3.15. Пусть A, B, C, D – четыре различные точки, X, Y, Z – точки пересечения прямых AB и CD, AC и BD, AD и BC, P – точка, отличная от X, Y, Z. Тогда поляры точки P относительно всех коник пучка, заданного точками A, B, C, D, проходят через одну

точку.

Отметим интересный частный случай. Если точки A, B, C, D образуют ортоцентрическую четверку (т. е. каждая точка является ортоцентром треугольника, образованного остальными), то полученная точка изогонально сопряжена точке P относительно треугольника

XYZ.

Действительно, поляра точки P относительно вырожденной кривой, являющейся объединением прямых AB и CD, – это прямая, сим-