крат курс сопромат 2

7

M z = ∫τ ρ ρ dA
		A		M z = ∫τ ρ ρ dA
		ρ dϕz								dϕz
γ ρ =				или	A	ρ dϕ		или M z	= G		∫ ρ 2 dA .
		dz
				τ ρ	= G	z				dz A
	= G γ ρ					dz
τ ρ

С учетом I ρ = ∫ ρ 2 dA , имеем относительный или погонный угол закру-

A

чивания θ , который является мерой деформации стержня при кручении и опре-

деляется выражением

θ =

dϕz

=

M z

. Отсюда угол закручивания элемента

dz

G I ρ

длиной dz равен dϕ =

M z dz

, а полный угол закручивания стержня длиной l

z

G I ρ

L

при M z = const и (G I

ρ ) = const будет равен ϕ =

M z

(закон Гука при круче-

G

I ρ

нии), и, следовательно,

θ = ϕ =

M z

.

L

G I ρ

Касательные напряжения в любой точке сечения определяются выраже-

нием τ ρ = G ρ

M z

=

M z

ρ . Значение напряжений при кручении не зависят

G I ρ

I ρ

от физических свойств материала вала, так как величина G в формулы напряжений не входит. Значения же деформаций зависят от свойств материала. График изменения величины касательных напряжений τ ρ вдоль какого-либо

радиуса (т.е. эпюра касательных напряжений) изображается прямой линией (см.

рис. 7.6, а).

Видно, что углы сдвига и касательные напряжения пропорциональны расстояниям от оси стержня. В центре (при ρ = 0 ) касательные напряжения равны нулю, в точках же, расположенных в непосредственной близости от внешней поверхности бруса, т. е. точках контура его поперечного сечения они наибольшие.

τ max =

M z

ρmax

=

M z

d

=

M z

где I ρ =

π d 4

=

π R4

Wρ =

π d 3

=

π R3

,

32

2

и

16

.

I ρ

Wρ

I ρ 2

2

Полярным моментом сопротивления сечения Wρ называется отношение полярного момента инерции I ρ к расстоянию от центра тяжести сечения до наиболее удаленной его точки ρmax (Wρ = I ρ ρmax ).

8

Произведение модуля поперечного сдвига на полярный момент инерции ( G I ρ ) называется жесткостью поперечного сечения стержня при кручении.

Забегая вперед, отметим, что полученные формулы для напряжений и деформаций по структуре аналогичны формулам для напряжений и деформа- ций при изгибе стержня.

Напряжения в продольных сечениях бруса

Касательные напряжения в поперечных сечениях бруса направлены в каждой точке перпендикулярно к текущему радиусу ρ . Из условия парности следует, что точно такие же напряжения возникают и в продольных сечениях бруса (рис. 7.7, а).

M

M

M

a	τ max	б
	τ max

Рис. 7.7

Наличие этих напряжений проявляется при испытании на кручение дере- вянных образцов. Так, разрушение стержня из дерева, имеющего сравнительно низкую прочность на скалывание вдоль волокон, начинается с образования продольных трещин (рис. 7.7, б). Разрушение стержня из хрупкого металла (например, чугуна) происходит по сложной винтовой поверхности, соответ- ствующей максимальным растягивающим напряжениям, т.е. по траектории главного напряжения σ3 (рис. 7.6, б).

Кручение стержней, имеющих поперечное сечение в форме кольца

Все формулы, полученные для расчета на кручение прямых стержней круглого сплошного сечения, применимы и для стержней кольцевого попе- речного сечения (рис. 7.8). Полярный момент инерции здесь определяется как

разность моментов инерции кругов с диаметрами				d и (α d ):
I ρ = π d 4	− π (α d )4	= π d 4 (1 − α 4 ) , Wρ =	π d 4 (1 − α 4 ) 2		= π d 3 (1 − α 4 ) .
32	32	32		32 d	16

Отметим, что полярный момент сопротивления кольцевого сечения не равен разности полярных моментов сопротивления, подсчитанных для двух сплошных сечений: одного с диаметром, равным наружному диаметру кольца, а другого – внутреннему (часто встречающаяся ошибка).

При одинаковой площади поперечного сечения (т.е. при одинаковом рас- ходе материала) полярные моменты инерции и момент сопротивления для кольцевого сечения, которое не имеет площадок, близко расположенных к центру, значительно больше чем для сплошного круглого сечения. Поэтому

9

стержень кольцевого сечения при кручении является более экономичным, чем стержень сплошного круглого сечения, т. е. требует меньшего расхода материала. Но при проектировании брусьев следует учитывать, что в случае кольцевого сечения их изготовление сложнее, а значит, и дороже.

y	M z		τ max
		α d	x
d			τ max

Рис. 7.8

Условие прочности

Наибольшие касательные напряжения, возникающие в скручиваемом стержне, не должны превышать соответствующих допускаемых напряжений:

τ max ≤ [τ ]

или при постоянном сечении стержня

max M z ≤ [τ ] .

Wρ

Это требование называется условием прочности.

Допускаемое напряжение при кручении [τ ] зависит от свойств материала рассчитываемого стержня и от принятого коэффициента запаса прочности [n] :

[τ ] = τ пред [n].

В случае пластичного материала в качестве опасного (предельного) напряжения τ пред принимается τ т – предел текучести при сдвиге, а в случае

хрупкого материала τв – предел прочности.

Часто допускаемые напряжения на кручение принимают в зависимости от допускаемых напряжений на растяжение для того же материала. Например, для стали [τ ] ≈ 0.5 [σ ] ; для чугуна [τ ] ≈ [σ р ], где [σ р ] – допускаемое напряже-

ние при растяжении чугуна.

Эти значения допускаемых напряжений относятся к случаям работы элементов конструкций на чистое кручение при статическом нагружении.

Валы, являющиеся основными объектами, рассчитываемыми на круче- ние, кроме кручения, испытывают также изгиб. Кроме того, возникающие в них напряжения переменны во времени. Поэтому, в зависимости от материала и условий работы для стальных валов принимают пониженные значения допус- каемых напряжений [τ ].

Величина τ max в условии прочности представляет собой значение наибо- льшего касательного напряжения в опасном сечении бруса в непосредственной

10

близости к его внешней поверхности. Опасным сечением бруса является сече- ние, для которого абсолютная величина отношения M z Wρ имеет наибольшее

значение. Для бруса постоянного сечения наиболее опасным является сечение, в котором крутящий момент имеет наибольшее абсолютное значение.

Условие жесткости

Условие жесткости при кручении имеет вид

θmax	≤ [θ ] или	max M z	≤ [θ ] .
		G I ρ

Типы задач

В практике инженерных расчетов обычно решаются три основные зада-

чи. Это проверочный расчет (проверка напряжений). В этом случае известны внешняя нагрузка, сечение стержня и его материал. Необходимо убедиться, что выполняется условие прочности или жесткости

τ max ≤ [τ ] или θmax ≤ [θ ].

Подбор сечения (проектный расчет). По заданной нагрузке определяют-

ся размеры поперечного сечения стержня из известного материала

W	ρ	≥	max M z	или I	ρ	≥	max M z	.
			[τ ]				G [θ ]

Определение допускаемой нагрузки, то есть максимального значения нагрузки, которое допускает данный элемент конструкции при выполнении условия прочности или жесткости

max M z ≤ [τ ] Wρ или max M z ≤ [θ ] G I ρ .

Вопросы для самопроверки

1.При каком нагружении стержень испытывает деформацию кручения?

2.Что называется валом? Какие внутренние силовые факторы возникают в поперечном сечении скручиваемого стержня и как они вычисляются?

3.Как вычисляется момент, передаваемый шкивом, по заданной мощности и числу оборотов в минуту?

4.Напишите выражение для полярного момента инерции круглого сечения.

5.Чему равен полярный момент сопротивления для кольцевого сечения?

6.Какие напряжения возникают в поперечном сечении круглого бруса при кручении, как они направлены и как вычисляются?

7.В чем заключается условие прочности по напряжениям?

8.Что называется жесткостью поперечного сечения при кручении?

9.Какой вид будет иметь закон Гука для скручиваемого стержня?

10.Сформулируйте условие жесткости для скручиваемого стержня.

1

Лекция № 8

Прямой (плоский) изгиб. Построение эпюр поперечных сил и изгибаю- щих моментов. Напряжения и деформации

Основные понятия

Деформация прямого изгиба возникает в том случае, когда на стер- жень действует поперечная нагрузка, расположенная в одной плоскости (силовой плоскости), проходящей через ось симметрии сечения (рис. 8.1, а). В этой же плоскости располагается изогнутая ось стержня (упругая линия) – рис. 8.1, б. Стержень, работающий на изгиб, называется балкой.

При деформации прямого изгиба в поперечном сечении балки возни- кают два внутренних силовых фактора (рис. 8.1, в): поперечная сила Qy ,

где y – ось симметрии (главная центральная ось), и действующий в сило- вой плоскости изгибающий момент M x , где x – другая главная централь- ная ось сечения, нормальная к оси симметрии.

		y			Силовая плоскость
		x		F1	F2	q
а
						z
			y		q		y
		= 0		F1
	H
			B		F2	z	x
б	b
						C
			R		Упругая линия	R
			b			c

H = 0			M x	Q	q
		F1 F2		y
	B			M x
b
в				z		C
R		z	Q		R
b		3		3	c
			y

Рис. 8.1

Вид деформации, при котором в поперечном сечении бруса дейст- вует только изгибающий момент, называется чистым изгибом.

∑M внешн .

2

Деформация изгиба является наиболее распространенной при расч- ете элементов конструкций. Балки широко используются как несущие эле- менты в строительных и машиностроительных конструкциях.

Правило знаков для M x и Q y

Изгибающий момент M x в поперечном сечении балки считается положительным, когда на левом торце правой отсеченной части балки он направлен по часовой стрелке, а на правом торце левой отсеченной части – против часовой стрелки (рис. 8.1, в). При таком направлении момента растягиваются (удлиняются) нижние волокна балки, помеченные пунктир- ной линией, а верхние волокна сжаты (укорачиваются).

Поперечная сила Qy в поперечном сечении балки положительна,

когда на левом торце правой отсеченной части балки она направлена снизу вверх, а на правом торце левой отсеченной части – сверху вниз (рис. 8.1, в). Положительная поперечная сила стремится вращать выделенную часть балки по часовой стрелке относительно любой точки, расположенной вну- три выделенной части балки.

Определение M x и Q y методом сечений

На основании метода сечений поперечная сила и изгибающий мо- мент в сечении балки могут быть определены через внешние силы, дейст- вующие на отсеченную часть балки с использованием соответствующих уравнений равновесия.

Изгибающий момент M x , действующий в поперечном сечении бал- ки, по величине равен сумме моментов всех внешних сил, приложенных к рассматриваемой отсеченной части бруса, относительно центральной оси x этого сечения:

M x = ∑M внешн =

лев прав

Если внешняя сила в данном сечении растягивает нижние волокна балки, то момент этой силы в этом сечении считается положительным, если растягиваются верхние волокна балки, то момент этой силы будет отрицательным.

Поперечная сила Qy в сечении бруса, по величине равна сумме

проекций всех внешних сил, действующих на отсеченную часть бруса, на ось перпендикулярную оси бруса (ось y ):

Qy = ∑Fyвнешн = ∑ Fyвнешн .

лев прав

Если данная внешняя сила вращает выделенную часть балки относи- тельно центра тяжести рассматриваемого сечения по часовой стрелке, то она учитывается со знаком плюс, если против часовой стрелки, то со знаком минус.

3

Дифференциальные зависимости при изгибе

Двумя бесконечно близкими сечениями выделим элемент балки длиной dz c распределенной нагрузкой (рис. 8.2) и рассмотрим его равновесие.

y q

Qy k

M x

dz

M x + dM x

z

Qy + dQy

Рис. 8.2

∑M k = 0 или M x + q dz dz2 + (Qy + dQy ) dz − (M x + dM x ) = 0 .

Откуда, пренебрегая бесконечно-малыми второго порядка малости,

получим Qy	=	dM x	.
		dz

Первая производная от изгибающего момента по абсциссе z равна поперечной силе.

∑Fy = 0 или Qy − q dz − (Qy + dQy ) = 0 , отсюда q = − dQy . dz

Полученные дифференциальные зависимости широко используются при проверке правильности построения эпюр внутренних сил при изгибе. Так первая дифференциальная зависимость позволяет определять на участ- ке балки сечения с наибольшим по модулю значением изгибающего момента. Если в сечении балки поперечная сила равна нулю, то функция момента в этом сечении имеет экстремум (максимум или минимум по знаку деформации).

Построение эпюр M x и Q y при изгибе

Эпюра внутренней силы – график, показывающий изменение этой силы по длине балки.

Для построения эпюр балка разбивается на участки, в пределах кото- рых функция внутренней силы не меняет своего аналитического выраже- ния. За границы участков принимаются сечения, в которых приложены внешние нагрузки: сосредоточенные силы, сосредоточенные моменты, начинается или заканчивается распределенная нагрузка одного направле- ния и изменяющаяся по одному закону, а также начало и конец балки.

Последовательно на каждом участке вводится скользящая система координатных осей (начало координат совмещается с началом участка) и для произвольного сечения составляются выражения для определения

4

поперечной силы и изгибающего момента. Затем по этим выражениям в пределах каждого участка строятся графики (эпюры) внутренних сил.

Рассмотрим несколько характерных примеров построения эпюр внутренних сил при изгибе.

Пример 1. Рассмотрим консоль – балку, жестко заделанную одним концом, свободную на другом конце и загруженную силой F (рис. 8.3, а). Для построения эпюр имеем один участок.

	M	z
		1		F
а	b
		B
Hb = 0				C
			z
			1
	R	L
	b
		Q		y
				F
		y

б	z	M	k
					x
		x		z
	y			1
			M
L	x
F				x	z
в		k
F	z		Q	y
	1
F					эп. Q
г
					y
д FL					эп. M
					x

Рис. 8.3

После мысленного рассечения участка балки нормальным сечением удобнее рассмотреть равновесие правой отсеченной части (рис. 8.3, б). В этом случае не придется определять реакции в заделке, да и сил,

приложенных к оставленной части, меньше –			будут проще выражения для
Qy	и M x .
	Начало координат совмещаем с правым концевым сечением балки
( 0 ≤ z1 ≤ L ). Тогда, из уравнений равновесия получим ∑ Fy				= 0 ,	Qy − F = 0 ,
		, аналогично для M x имеем	∑ M k = 0 ,		+ F z1 = 0 ,
Qy	= F			M x

M x (z1 ) = −F z1 .

5

Можно сразу определить Qy по формуле Qy = ∑ Fyвнешн = F . Знак

прав

плюс у Qy появился потому что сила F вращает правую часть балки

относительно центра тяжести сечения « k » по часовой стрелке и поэтому положительна.

Аналогично M x (z1 ) = ∑M внешн = −F z1 . Для определения знака M x

прав

в сечении « k » мысленно вводим заделку (рис. 8.4, а). Видно, что сила F растягивает в сечении « k » верхние волокна, что соответствует отрица- тельному изгибающему моменту.

	k	y	M x > 0
z		F
	M	z1
а	x		б
		Рис. 8.4

При построении эп. Qy положительные ординаты откладываем

вверх, а отрицательные вниз. Обязательно по концам участка указываем значения ординат и на эпюре в кружке ставим знак (рис. 8.3, г).

Выражение для M x – уравнение прямой линии. Для ее построения определим значения изгибающего момента в начале и конце участка:

M x (z1 = 0) = 0 , M x (z1 = L) = −F L .

По этим значениям строим эп. M x (рис. 8.3, д). Отрицательные значения моментов откладываем вверх, со стороны растянутых волокон. Знак на эпюре не ставим, так как направление момента уже определено. Если растянуты нижние волокна, то момент будет положителен (рис. 8.4, б). Таким образом, принято правило построения эп. M x на растянутых волокнах.

Те же результаты получим, если рассмотрим равновесие левой части балки (рис. 8.3, в), предварительно определив реакции в жесткой заделке

(рис. 8.3, а).

∑ Fy = 0 , Rb − F = 0 , Rb = F , ∑ M b = 0 , M b + F L = 0 , M b = −F L .

Знак минус у реактивного момента M b означает, что действительное его направление противоположное, поэтому изменяем его на действитель- ное и в дальнейших расчетах знак минус не учитываем (рис. 8.3, в). Делаем

проверку реакций – ∑ M c	=0 ,	Rb L − M b = 0 , F L − F L = 0 , 0 = 0 .
Выражения для Qy	и M x	принимают следующий вид:

6

Q

y

= ∑F внешн = R

= F ,

M

x

(z ) = ∑M внешн

= R

z − M

b

= F z − F

L ,

y

b

1

b

1

1

лев

лев

M

x

(z

= 0)

= −F

L , M

x

(z = L) = 0 .

1

1

Таким

образом,

на участке

поперечная

сила

положительная

и

постоянная, а внутренний изгибающий момент изменяется по линейному закону.

Отметим скачки (разрывы функции первого рода) на эп. Qy в тех

сечениях, где приложены сосредоточенные силы на величину этих сил, и на эп. M x в тех сечениях, где приложены сосредоточенные моменты на величину этих моментов.

Сечение в жесткой заделке является наиболее опасным в данной расчетной схеме ( M xmax = F L ).

Пример 2. Рассмотрим балку, шарнирно опертую по концам и загружен- ную силой F в пролете (рис. 8.5, а). Для построения эпюр имеем два участка.

При действии вертикальной нагрузки в шарнирно неподвижной опоре « B » горизонтальная составляющая опорной реакции равна нулю (рис. 8.5, а). Начнем расчет с определения опорных реакций:

∑ M c	= 0 ,	Rb L − F b = 0 ,	откуда	Rb = F b L ,
∑ M b	= 0 ,	Rc L − F a = 0 ,	откуда	Rc = F a L .
	Обязательно должна быть выполнена проверка найденных реакций:
∑ Fy = 0 ,		Rb + Rc − F = 0 ,	F b L + F a L − F = 0 ,		F (a + b) L − F = 0 ,
0 = 0 ,	реакции найдены верно.
	Для упрощения вычислений на первом (левом) участке будем идти
слева,	начало участка полагая на			опоре « B » (рис.	8.5, б), на втором

(правом) участке будем идти справа, начало участка полагая на опоре «С »

(рис. 8.5, в).

Участок № 1, ( 0 ≤ z1 ≤ a ).

Qy = Rb = F bL , M x (z1 ) = Rb z1 = F b z1 L , M x (0) = 0 , M x (a) = F a bL .

Участок № 2,	( 0 ≤ z2 ≤ b ).
Qy = −Rс = − F a L ,	M x (z2 ) = Rc z2 = F a z2 L , M x (b) = F a b L .

Эпюры для Qy и M x представлены соответственно на рис. 8.5, г и

8.5, д.

Отметим скачки на эп. Qy в тех сечениях, где приложены сосредото-

ченные силы на величину этих сил.

Опасным	в данном примере является сечение балки с
M xmax = F a b L	(т. е. сечение, где приложена сосредоточенная сила F ).

Очевидно, что по этому сечению и произойдет разрушение балки при достаточно большой величине внешней нагрузки.