Задачник по ВМ, 1 семестр+

ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

2 = − 2					− 2 1 −						3, 3 , 4 = 3+ 1 +5 3											;	базисное решение:										1 = 0,				2 = − 2,
3 = 0,			7			1																																	7
				4 = 3.																									то общее решение:								1 ,
Если в качестве базисных переменных выбрать																									3,базисное4						решение:
2 ,					3 = −				7	−	1			−		2, 4 = −		29		3																1 = 0, 2 = 0,
			7	,					2		2 1							2	− 2 1 −5 2;
3 = −						4 = −				29.
39.			2							2
		Найдите общее и базисное решения системы уравнений:
																−10 1 −7 2 +					3 +3 4 +5 5 −3 6 = 4,
																2 1 +9 2 −			3 +2 4 +4 5 +2 6 = −19,
														−3 1 +12 2 −3 3 +3 4 +2 5 +2 6 = −25,
															2 1 +14 2 −2 3 +3 4 +5 5 +3 6 = −29,
выбрав в качестве												базисных переменных									3,			4,	и		6 .
																														3,	4,	6
Ответ: Если в качестве базисных переменных выбрать																																	то общее решение:
3 = 1−2 1 + 2 −2 5, 4 = −4+ 1 − 2 −2 5, 6 = −5−3 1 −3 2 − 5, 1, 2, 5 ;
базисное решение:												3 = 1, 4 = −4, 6 = −5, 1 =														2 = 5 = 0.
Если в качестве базисных переменных выбрать																									3,			4,	1	то общее решение:										5,
3 = 13 + 2							6 +3 2 − 4								5, 4 = − 17 − 1						6 −2 2 − 7								5, 1 = − 5 − 1							6 − 2 − 1
6, 2		,	5		;			базисное3решение:									3	13						17						5			=		2 =		5 = 0.
																		=	3	,	4 = − 3					,		1 = − 3, 6
		3			3												3		3							3		4,	2			3			3			3
Если в качестве базисных переменных выбрать																									3,					то общее решение:										5,
3 = − 2 − 1								6 −3 1 − 7								5, 4 = − 7 + 1					6 +2 1 − 5							5, 2 = − 5 − 1								6 − 1 − 1
6, 1, 5					;									3решение:			3	= −		2	4 = −				7					5			=		1 =		5 = 0.
			3			3		базисное										3	3							3		4,	5			3		3				3
Если в качестве базисных переменных выбрать																									3,					то общее решение:
3 = 11+2 6 +4 1 +7 2, 4 = 6+2 6 +7 1 +5 2,																										5 = −5−					6 −3 1 −3 2,
6,	1,		2		;			базисное решение:									3 = 11,				4 = 6,				5 =			−5,		6 =		1 =			2 = 0.
Если в качестве базисных переменных выбрать																									3,			6,	1	то общее решение:
3 = −7−2 4 − 2 −6 5, 6 = −17−3 4 −6 2 −7 5, 1 = 4+ 4 + 2 +2 5,
4,	2,		5		;			базисное решение:									3 =		−7,		6 =			−17,					1 = 4,		4 =		2 =			5 = 0.
Если в качестве базисных переменных выбрать																									3,			6,	2	то общее решение:								1,		5 ;
3 = −3− 4 −									1 −4 5,							6 = 7+3 4 −6 1 +5 5,									2 = −4−						4 +		1 −2 5,				4,
базисное решение:												3 = −3, 6 = 7, 2 = −4, 4 =														1 = 5 = 0.
Если в качестве базисных переменных выбрать																									3,			6,	5	то общее решение:								2
3	= 5+				4	−3			1	+2		2	,		6	= −3+	1	4	−	7	1	−		5	2	,		5	= −2−			1	4		1	1	1		,
4,																	2			2				2								2		+ 2			− 2
	1,		2		;			базисное решение:									3 = 50,				6 = −30,							5 = −20,				4 =			1 =		2 = 0.
Если в качестве базисных переменных выбрать																									3,			1,	2	то общее решение:										7
3 = −			25				3			+	1			−	29			7	+	1				1			5			2 = −			17		1		1				,
			6		−		2 4				6 6				6 5, 1		= 6			2 4 −				6 6 +			6 5,						6		− 2 4 − 6 6					− 6 5

11

ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

4, 6, 5 ;							базисное решение:						3 = −			6		,		1 =	6,		2 = − 6			,	4 =		6 =	5 = 0.
															25						7	3,	1,	5	17						1			6
Если в качестве базисных переменных выбрать																									то общее решение:							6	−		2,
3 =	53 +				4	4	+ 6	6	+ 29		2,	1 = −		6	+	1		4 − 2			6 −		5	2,	5 = −			17	− 3	4 −
	7				7		7		7					7		7				7	6		7		17			7	7		7			7
4, 6, 2 ;														53		,		1 = −				,						= 6 = 2 = 0.
							базисное решение:						3 =		7						7		5 = − 7			, 4
Если в качестве базисных переменных выбрать																						3,	2,	5	то общее решение:						6	+	6		1,
3 =	13 +				7	4	− 4	6	− 29		1,	2 = −		6	+	1		4 − 2			6 −		7	1,	5 = −			7 − 3 4		+ 1
	5				5		5		5					5		5				5	6		5		7			5	5	5			5
4, 6, 1 ;														13		,		2 = −				,							= 1	;
							базисное решение:						3 =		5						5		5 = − 5, 4 = 6
Если в качестве базисных переменных выбрать																						4,	6,	1	то общее решение:							5,
4 = −		7		− 1			3 − 1		2 −3 5, 6 = − 13						+	3		3		− 9	2 +2 5, 1 =						1 − 1		3 +	1 2 −
		2			2		2							2		2				2	13				1		2	2		2
3, 2, 5 ;															7														= 5	= 0.
							базисное решение:						4 = − 2,						6 = −			2 , 1 = 2, 3 = 2
Если в качестве базисных переменных выбрать																						4,	6,	2	то общее решение:
4 = −3− 3 − 1 1 −4 5, 6 = −2−3 3 −9 1 −7 5, 2 = −1+ 3 +2 1 +2 5,
3, 1, 5 ;							базисное решение:						4 = −3,						6 = −2,				2 = −1, 3 = 1 = 5 = 0.
Если в качестве базисных переменных выбрать																						4,	6,	5	то общее решение:						2,
4 = −5+ 3 +3 1 −2 2, 6 = − 11 + 1																3 −2 1 − 7							2, 5 = 1 − 1					3 − 1 + 1
3, 1, 2 ;													4 = −5,								11		5 =		1		3 =	1	= 2	= 0.
							базисное решение:						2	2							2		1,	2	2		2			2
Если в качестве базисных переменных выбрать																					1	4,			то общее решение:
4 = −		25			−	2	3 +	1	6 −	29		5, 1 = −			2	−		1		3 −		6	− 7		5,
			9			3		9			9				9			3			9		9						25				2
2 = −		13			+	1	3 −	2		4
			9			3		9 6 +		9 5, 3, 6, 5 ;									базисное решение:								4 = − 9 , 1 = −						9,
2 = −		13			, 3		= 6 = 5 = 0.
			9																			4,	1,	5
Если в качестве базисных переменных выбрать																									то общее решение:
4 = − 53					+	7	3 −	3	6 −	29		2, 1 = −			11		+		1	3 −		1	6 −	7	2,			53			11
5 =	13		4		3	4	1	2	9		4				4				4			2		4
	4		−		4 3		+ 2 6 + 4 2, 3, 6, 2 ;										базисное решение:									4 = −			4 ,	1 = −		4	,
5 =	13		, 3 = 6 = 2 = 0.
	4																					4,	2,	5
Если в качестве базисных переменных выбрать																									то общее решение:
4 = −		13			+	5	3 +	4	6 +	29		1, 2 = −			11		+		1	3 −		2	6 −	4	1,
			7		3	7	1	7	9		7				7				7			7		7					13			11
5 = −		2																									4 = −			2 = −				,
		7		− 7			3 − 7 6 − 7 1, 3, 6, 1 ;											базисное решение:											7 ,			7
5 = −		2		, 3 = 6 = 1 = 0.
		7																				6,	1,	2
Если в качестве базисных переменных выбрать																									то общее решение:
6 = 25+6 3 +9 4 +29 5,												1 = −3−			3 −			4 −4 5,					2 = −7−				3 −2 4 −6 5,

12

6, 1,	2 ; базисное решение:								ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ													2 = 0.
									6 = 25,		1 =	−3,			2 =	−7,			6 =	1 =
Если в качестве базисных переменных выбрать														6,	1,	5	то общее решение:						4	−	1	2,
6 = −	53	+ 7	3 − 2	4 − 29			2,	1	= 5 −	1	3 +	1		4 +	2	2, 5		= − 7		−	1	3 − 1
	6	6	3		6				3	3		3		5	3		7		6		6	3			6
3, 4, 2 ;									6 = −	53	, 1 =										= 2 = 0.
			базисное решение:							6				3, 5 = − 6, 3 = 4
Если в качестве базисных переменных выбрать														6,	2,	5	то общее решение:						4	−	1	1,
6 = 13 −		5 3	+ 7 4	− 29	1, 2 = − 5 +					1	3 −	1		4 +	3	1, 5		= − 3		−	1	3 − 1
4		4	4	4					2	2		2		5	2		3		4		4	4			4
3, 4, 1 ;									13		2 = −										= 1 = 0.
			базисное решение:						6 = 4	,				2, 5 = − 4, 3 = 4
Если в качестве базисных переменных выбрать														1,	2,	5	то общее решение:
1 = 13 −		5	3 + 7	4 −	4		6,	2	= − 53 + 7				3 − 4			4	− 6		6,
29		29	29	9	29		1		29		29			29			29					13			53
5 = −	25	6			+			, 3, 4, 6			;									1 =
	29	− 29 3 − 29 4				29 6							базисное решение:									29, 2	= − 29,
5 = −	25	, 3	= 4 = 6 = 0.
	29

Линейные пространства

Линейная зависимость и линейная независимость системы арифметических векторов

линейно независимой? Ответ обоснуйте1 =.(−4;2;5), 2 = (7; −1;11), 3 = (0;0;0)
40. Является ли система векторов
Ответ: Нет, данная система векторов линейно зависима: любая система векторов,
включающая в себя нулевой вектор, линейно зависима.						2 = (3; −2; −4),			3 = (−6;4;8)
линейно зависимой? Ответ обоснуйте1. = (−6;8; −2),
41. Является ли система векторов
Ответ: Да, данная система векторов линейно зависима, так как вектора									и линейно
зависимы. А если система векторов включает в себя зависимую подсистему2, то она3										и сама
зависима.				1 = (−2; −3; −2),			2 = (−1;1;0),
42. Является ли система векторов
3Ответ= (−2;: Да−1;1, данная), 4			линейно зависимой? Ответ обоснуйте.
			система= (2;1; −векторов1)		линейно зависима. Любые четыре вектора в
пространстве 3, имеющем размерность 3, линейно зависимы.
линейно независимой? Ответ обоснуйте1 =.(8;0;4), 2 = (0; −12;4), 3 = (6;15; −2)
43. Является ли система векторов
Ответ: Нет, данная система векторов линейно зависима. Можно убедиться, что
3 = − 5	2 + 3	1 .		1 = (−1; −1;0),		2	= (1; −2;1)	линейно зависимой?
Ответ обоснуйте.
44. Является4 4		ли система векторов

Ответ: Нет, данная система векторов линейно независима.

обоснуйте.	1	= (0;1;0), 2	= (0;5;0)	линейно зависимой? Ответ
45. Является ли система векторов

13

ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Ответ: Да, данная система векторов линейно зависима.

линейно независимой? Ответ обоснуйте1 =.(2; −1;0),	2 = (0; −3;0), 3 = (1; −3; −1)
46. Является ли система векторов

Ответ: Да, данная система векторов линейно независима.

линейно независимой? Ответ обоснуйте1 =.(−3;0; −9),	2 = (1;12;4), 3 = (0;15;5)
47. Является ли система векторов

Ответ: Да, данная система векторов линейно независима.

пространства 3? Ответ обоснуйте.	1 = (−6;1;6),	2	= (−2; −5; −6)	базис
48. Образует ли система векторов

Ответ: Нет, данная система векторов не образует базис, поскольку произвольный базис пространства 3 содержит три вектора, а не два.

	49. Образует ли система векторов		1 = (−5;4; −1),	2 = (−6; −5; −4),
3	= (−1; −1;5), 4	= (−1; −2;1)	базис пространства	3?	Ответ обоснуйте.

Ответ: Нет, данная система векторов не образует базис, поскольку произвольный базис пространства 3 содержит три вектора, а не четыре.

пространства	3 Ответ обоснуйте.		1	= (12;4; −6),		2 = (0;6;3),	3	= (9;0; −6)	базис
50. Образует ли система векторов
Ответ: Нет, данная?		система векторов не образует базис, поскольку она линейна
зависима. Можно убедиться, что 1 = 4				3 + 2	2 .	2 = (0;6; −9),		3 = (−6;2; −2)
базис пространства 3? Ответ			1	= (9;0; −6),
51. Образует ли система векторов			3	3

обоснуйте.

Ответ: Да, данная система векторов образует базис.

базис пространства 3? Ответ	1 = (0;0; −1), 2 = (−3;0; −2), 3 = (2;1; −2)
52. Образует ли система векторов

обоснуйте.

3	Ответ: Да, данная система векторов образует базис.		2 = (3;0; −3),
	= (−1; −3;3) компланарными? Ответ	1 = (0;3; −2),
	53. Являются ли арифметическиe векторы

обоснуйте.

Ответ: Да, данные векторы лежат в 3 и линейно зависимы. Следовательно, они

1

компланарны. Можно убедиться, что 3 = − 3 2 − 1 .

3	= (−3; −8;9) компланарными? Ответ	1 = (2;4;0), 2 = (0;4; −12),
	54. Являются ли арифметическиe векторы

обоснуйте.

Ответ: Нет, данные векторы лежат в 3 и линейно независимы. Следовательно, они не компланарны.

	55.			В качестве базиса данной системы1 = (		векторов−7; −6;9можно), 2 =взять(7; −4;3),	или3 = (7;1;		или−3).
1	,	3	Найдите базис системы векторов
			.	1	заметить, что вектора системы удовлетворяют соотношнению1, 2			2, 3
1	ОтветМожно:
		= 3 2 − 2 3 .

14

ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Ответ: Это линейно независимая система1 = (векторов7, −3,6),,	так2 =что(6,5,6она)сама, 3 =и будет(6, −4,5своим).
56. Найдите базис системы векторов

базисом.			1 = (−6; −3;2; −3),		2 = (−5;5;2; −3),				3 = (3;2;2;6),
	57. Дана система векторов
4	= (1; −3;1;3), 5	= (0;11; −1; −3).		Образуют ли векторы		3,	4,	5	базис этой

системы? Если да, то выразите прочие вектора системы через вектора базиса.

Ответ: Эти вектра базис системы не образуют.

58. Найдите базис системы векторов										1 = (5; −5;5;3),					и2 = (−5; −4;4; −3),
3 = (2;6;1;2),	4 = (12;5;2;8), 5							= (−2; −3; −4; −2)							выразите прочие вектора
системы через вектора базиса.									3,			4 =	1 − 2 +		3,	5 = −					3 1 −		3 2 −		3 .
Ответ: Если выбран базис				1, 2,						то
				4	,			3							= 3		1				1		1
Если выбран базис		1,	2,			то			= − 1 + 2 + 4, 5									− 3 2 − 4 .
		1,	3,	4	,			2							2		1			4	3	+ 3 4 .
Если выбран базис						то			= 1 + 3 − 4, 5 = − 3									− 3
		2,	3,	4	,			1							2		2			4	3	1
Если выбран базис						то			= 2 − 3 + 4, 5 = − 3									− 3				− 3 4 .
		1,	2,	5	,			3	= − 3 1 −						2					2		1
Если выбран базис						то							3 2 − 5, 4			= 3 1					− 3 2 − 5 .
		1,	3,	5				2	= −		1		1				2				4
Если выбран базис					, то						1 −3 3 −3 5,				4 = 2 1 +4 3 +3 5 .
Если выбран базис		2,	3,	5	, то			1	=	−	2 −3 3 −3 5,				4 = −2 2 −2 3 −3 5 .
Если выбран базис		1,	4,	5	,	то		2	= 2		1	− 4	4	− 4 5,	3	= − 2					1 + 4		4 − 4 5 .
		2,	4,	5	,			1		1		3	4	3						1		1		3
Если выбран базис						то			= 2 2			+ 2		+ 2 5,	3 = − 2						− 2 4		− 2 5 .
		3,	4,						=			3		3	5,	2 =				−	1		3		5 .
Если выбран базис				5	, то			1		−2 3 + 1				4 − 3							3 − 1		4 − 3
							Найдите какую-либо равную													1 =		(−2;6;2),
59. Дана линейно зависимая система арифметических2 2 векторов																						2		2
2 = (1; −5;1),	3 = (6; −24;0).																0		линейную комбинацию
этих арифметических векторов, в которой хотя бы один коэффициент не равен нулю.
пропорциональная.														3 1 −6 2 +2 3 = 0								или любая ей
Ответ: Искомой является линейная комбинация
													Найдите какую-либо1 = (4; −8;12),
60. Дана линейно зависимая система арифметических векторов																								0
2 = (2;2;2), 3 = (3;9; −9),					4 = (−3;2; −9).																	равную			линейную
комбинацию этих арифметических векторов, в которой хотя бы один коэффициент не
равен нулю.														3 1 +18 2 −4 3							+12 4 = 0
ей пропорциональная.																								или любая
Ответ: Искомой является линейная комбинация

Ранг системы арифметических векторов

15

		ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
	61. Найдите ранг системы векторов		1	= (0; −15;6),	2 = (0;20; −8), 3 = (0;10; −4),
4	Ответ= (0; −: Ранг25;10системы).	векторов равен 1.
	62. Найдите ранг системы векторов		1	= (−8; −1;15), 2 = (−1;0;3),
3	Ответ= (−9;: Ранг−3;0системы).	векторов равен 2.			2 = (0; −4;12),
3	63. Найдите ранг системы векторов		1	= (−2;4; −9),
	= (1;5; −15), 4 = (4;0; −4).

Ответ: Ранг системы векторов равен 3.

Операции над векторами

64.

Найдите арифметический вектор

= 2 −3

−3 , если = (6;3;5),

= (−4; −2;1),

= (−2;4; −1).

5(

Ответ: = (30;0;10).

вектор

, удовлетворяющий уравнению

65.

Найдите арифметический

если

−

)+3(

−

)+4(

− ) = 0,

= (−7; −4;3), = (7;1; −4),

= (1;5;2).

Ответ:

=

1

(−10;3;11) = (− 5;1;

11).

66.

12арифметический вектор6 4 12удовлетворяющий уравнению

3

Найдите

−

−3 ,

если

,

= (−5; −3;2),

= (5; −4;5).

−

+3

+

= 4

= (1; −2; −3),

Ответ:

=

(−6;

11

21

4 ; − 4 ).

Скалярное произведение

базис.

= −5 1 +2 2 +6 3,

где

1,

2, 3

— ортонормированный

67.

Найдите длину вектора

65.

Ответ: Длина вектора

равна

ортонормированном базисе.

=

(−4;3;1;4;3),

координаты которого заданы в некотором

68.

Найдите длину вектора

51.

Ответ: Длина вектора

равна

,

1, 2,

3

причём

= 6 1 +4 2 +5 3

где

— ортогональный базис,

69.

Найдите длину вектора

| 1| = 2, | 2| = 2, | 3| = 1.

233. координаты которого заданы в некотором базисе

Ответ: Длина вектора

равна

√

Найдите длину вектора

70.

и известно, что

| 1

| = 2,

= (1;3),

1, 2,

| 2| = 1, ( 1, 2) = 1.

Ответ: Длина вектора

равна √

= −2 1 +3

2 −2

3

и

= −6 1 −5 2 +3 3

короче?

Здесь

—

71.

Выясните, какой из векторов

19.

вектора1.,

2,

3

ортонормированный базис. В ответе укажите длину более длинного

16

ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Ответ: Первый вектор короче. Его длина равна √

= (1; −2; −5;6; −1)

короче? В ответе укажите длину

= (−3;2;1; −3; −1)

и

72.

Выясните, какой из векторов

17.

ортонормированном базисе.)

более короткого вектора. (Координаты векторов даны в

1

Ответ: Первый вектор короче. Его длина равна √24 = 2√6.

+ 3

,

,

2

,

3

—

= − +3 ,

если

=

1 + 2 +4 3, = 3 1 −2 2

где

73.

Найдите длину вектора

ортонормированный базис.

Ответ: Длина вектора

равна √

+2

,

= (5; −2;3; −2),

= (−2; −1;2;4).

Координаты векторов даны в

=

если

74.

Найдите длину вектора

114.

ортонормированном базисе.

Ответ: Длина вектора

равна √102.

= −5 1

−2 2

+6 3

= −2

1

+3

2 +3 3

,

1

,

2

,

3

—

и

75.

Вычислите скалярное произведение векторов

Ответ: 22.

где

ортонормированный базис.

. Координаты векторов даны в

= (−3;4; −6;1)

=

(

−4;1; −4; −6)

и

76.

Вычислите скалярное произведение векторов

Ответ: 34.

ортонормированном базисе.

2 +3 3

+6 4, где

1

,

2,

3,

4

= −4 1

+ 2 −3 3 −4 4

| 1| = 1,

= −5

1

+2

—

и

77.

Вычислите скалярное произведение векторов

| 2| = 1, | 3| = 3, | 4| = 1.

ортогональный базис, причём

Ответ: −83.

= 2 1 +

2

и

= 1 +3 2,

где

1,

2

— базис, и известно, что

78.

Вычислите скалярное произведение векторов

−2.

Ответ:

|

1| = 2, | 2| = 5, (

1, 2) =

|

|

Вычислите69.

скалярное произведение векторов

и

,

если известно, что

|

| = 7,

= 13

и угол между векторами

и

равен

6.

79.

Ответ:

91√

= −5

1

+4

3.

, где

1

,

2

,

3

= −

1 −3 2 +2 3

2 −4 3

—

и

80.

Найдите2

косинус угла между векторами

cos

=

−15

5

ортонормированный базис.

Ответ:

=

(

√

= − 266√798.

−3; −3;1;2; −2). Координаты векторов = (1;2;5;3; −4)

и

81.

Найдите косинус798угла между векторами

cos

=

10

=

2

165.

даны в ортонормированном базисе.

Ответ:

82.

√1485

99

= 2 1 −5 2 +4 3 −2 4 −3 5 и

Выясните, угол между векторами

17

= − 1 +6 2 +4 3 +4—4 −3 5

ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

острый, прямой, тупой или эти векторы коллинеарны?

1,

2,

3,

4,

5

Здесь

ортонормированный базис.

Ответ: Угол тупой.

= 4 1 −5 2 +

3

= −6 1 −

2

+2 3

прямой, тупой или эти векторы

и

острый,

83.

Выясните, угол между векторами

базис.

коллинеарны? Здесь

1

,

2,

3

— ортонормированный

Ответ: Угол тупой.

|,

| |

= 2,

| | = 3

cos =

6,

между векторами|2

и

+3

если известно, что

и

где

— угол

84.

Вычислите

.

1

Ответ: √109.

= (5; −1;4),

= (1; −1; −3),

= (4;2;3).

85. Даны вектора

Вычислите

Φ = | |2 − | |2 −( , )

( ,

).

Координаты векторов даны в ортонормированном базисе.

Ответ:

Φ = 42−11−(−6) (−7) = −11.

= (−5; −3;3)

( ,

) = 1,

= (5;2; −4). Координаты,

векторов даны в

и такой, что

где

86.

Найдите вектор

коллинеарный вектору

= 43;43; −

43 .

ортонормированном базисе.

Ответ:

5

3

3

= (2; −3), = (1; −5)

(

,

) = 5,

( , )

= −2. Координаты,

и известно, что

87.

Найдите вектор

если

=

31;9 .

векторов даны в ортонормированном базисе.

Ответ:

= (−2;5; −5),

= (

−2; −1;3)

. Координаты векторов,

даны в

88.

Найдите единичный7 7

вектор

ортогональный векторам

ортонормированном базисе.

Ответ: Условию задачи удовлетворяют два вектора:

1

=

1

(5;8;6) и

2 = − 1 .

√

89. Найдите ортогональное дополнение к векторам

5

5

= (−1; −4;2).

Координаты векторов даны в ортонормированном

базисе.

=

(−2; −1;3),

Ответ: Ортогональное дополнение состоит из векторов, коллинеарных вектору

= (10;1;7).

90. Найдите значение параметра

для которого вектора и

перпендикулярны,

= (1; −3; −3;4)

= (−5;5;1; −5).

векторов даны в

если

и

,

Координаты

+

ортонормированном базисе.

Ответ: = 43.

1 = (1;1;6),

2 = (−7; −1; −5),

3 = (−19; −39; −3),

Ортогонализируйте её и

91.

Дана система35

векторов

постройте ортогональную систему векторов

2 = 2 + 1, 3 = 3 + 1 + 2 .

Координаты векторов даны в

ортонормированном

1 = 1,

базисе.

18

ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Разложение

1

= (1;1;6),

2

= (

−6;0;1),

3

= (1; −37;6).

Ответ:

1 = (1; −7), 2 = (6;9).

вектора по базису

92. Разложите вектор

= (16; −10) по базису

Ответ:

= 4 1 +2 2 .

= −11

1

= 1

, 2 = −2 ,

3

= 2 .

93. Разложите вектор

по базису

−49

7

−8

3

−26

4

−4

1

Ответ:

= −5 1 + 2 −2 3 .

1 = (3;1; −1;5),

94. Разложите вектор

= (50; −78;53;46)по базису

2

Ответ= (2; −: 4;4;4),

3 = (−5;4; −1; −3),

4 = (−2;4; −3; −2).

Разложение

= −2

1

+6

2

−6

3

−7

4

.

вектора по ортогональному базису

−3

95. Является ли базис

1 =

−1

,

2 =

ортогональным? Если да, то разложите

=

3

3

−1

вектор

по этому базису. Координаты векторов даны в ортонормированном

базисе

−2

7

Ответ:

9

= − 10 1 −

10 2 .

−3

,

2 =

4

96. Является ли базис

1 =

ортогональным? Если да, то разложите

−2

3

вектор

=

−2

по этому базису. Координаты векторов даны в ортонормированном

базисе.

−3

Ответ: Данный базис не является ортогональным.

97. Найдите вектор

2

=и(

; )

(у которого

| 2|

= 3

5

и

) такой, чтобы система

векторов

)

> 0

вектор

1 = (−6; −12)

2 = ( ;

образовывала бы ортогональный базис, и разложите

базисе.

= (−7;3)

по этому базису. Координаты векторов даны в ортонормированном

Ответ:

2 = (6; −3),

1

17

6

−51

=

1 −

2 .

= 180

1 + 45 2

30

15

= 0 ,

= 5

98. Является ли базис

1 = 1 ,

2

3

ортогональным? Если да, то

2

1

−2

1

−2

−1

−1

разложите вектор = 2 по этому базису. Координаты векторов даны в

−1

ортонормированном базисе.

19

ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Ответ:	= −	1	1 +	1	2 +	13	3 .
		6		5		30

Матрицы

Однородные системы уравнений

99. Найдите фундаментальный набор решений (ФНР) и размерность пространства решений однородной системы

−2 1			−2	2	+ 3 = 0
	−5	1	+6	2	+4	3	= 0
−5		1	+3	2	+4	3	= 0

Ответ: Размерность пространства решений равна 0. Эта система вообще имеет лишь одно решение — нулевое:

= 0;0;0 .

100. Найдите фундаментальный набор решений (ФНР) и размерность пространства решений однородной системы

			−20 1 +40 2 −20 3 −5 4 = 0
			28 1 −56 2 +28 3 +7 4 = 0
	Ответ: Размерность		−16 1 +32 2 −16 3 −4 4 = 0
			пространства решений равна 3.
	Если в качестве базисной переменной взять 1, то ФНР будет иметь вид:
1	= 2;1;0;0 , 2 =		−1;0;1;0 ,	3 =	1
					− 4;0;0;1 .
	Если в качестве базисной переменной взять 2, то ФНР будет иметь вид:
1	1		1		1
	= 1;2;0;0 ,	2 = 0;2;1;0 ,		3 = 0;8;0;1 .
	Если в качестве базисной переменной взять 3, то ФНР будет иметь вид:
1	= 1;0; −1;0 ,	2 =	0;1;2;0 ,	3 =	1
					0;0; − 4;1 .
1	Если в качестве базисной переменной взять 4, то ФНР будет иметь вид:
	= 1;0;0; −4 ,	2 =	0;1;0;8 ,	3 =	0;0;1; −4 .

101. Найдите фундаментальный набор решений (ФНР) и размерность пространства решений однородной системы

			10 1 +5 2 −25 3 −5 4 +30 5 = 0
			6 1 +3	2 −15 3 −3 4 +18		5	= 0
Ответ: Размерность			8 1 +4	2 −20 3 −4 4 +24		5	= 0
	пространства решений равна 4.
					1, то ФНР будет иметь вид:
Если в качестве базисной переменной взять
1	2 =	5			1		4 = −3;0;0;0;1 .
1 = − 2;1;0;0;0 ,		2;0;1;0;0 , 3 =			2;0;0;1;0 ,

20