Физика-лекции

§ 8. Закон Максвелла для распределения молекул ИГ по скоростям

Газ состоит из очень большого числа N тождественных молекул, находящихся

всостоянии беспорядочного теплового движения.

Вгазе, находящемся в состоянии равновесия (при T=const), устанавливается некоторое стационарное (не меняющееся со временем) распределение молекул по скоростям, которое подчиняется вполне определенному статистическому закону. Этот закон теоретически выведен Максвеллом.

Закон Максвелла описывается некоторой функцией распределения молекул по скоростям f(V). Если разбить диапазон скоростей молекул на малые интервалы dV, то на каждый интервал скорости будет приходиться некоторое число молекул dN(V).

Функция f(V) определяет относительное число молекул dN (V ) , скорости которых

N

лежат в интервале от V до (V+dV), т.е. dNN f (V )dV .

Применяя методы теории вероятностей, Максвелл нашел функцию:

	m		3 / 2		m V 2		m V 2
					o		o
f (V ) 4	0			V 2 e 2kT		A V 2 e 2kT			.
	2kT

Функция Максвелла – есть закон для распределения молекул идеального газа по скоростям.

Конкретный вид функции зависит от рода газа (m0 - масса молекулы) и от температуры T.

moV 2

При возрастании V множитель e 2kT уменьшается быстрее чем растет множитель V2, поэтому функция f(V), начинаясь от нуля, достигает максимума при Vв и затем асимптотически стремится к нулю. Кривая несимметрична относительно Vв.

	Относительное число молекул	dN (V )	,
		N

скорости которых лежат в интервале от V до (V+dV), находится как площадь заштрихованной полоски на рисунке. Площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, равна единице. Это означает, что функция Максвелла удовлетворяет условию нормировки:

f (V )dV 1.

0

Скорость, при которой функция распределения молекул идеального газа по скоростям максимальна, называется наиболее вероятной скоростью. Ее значение можно найти, продифференцировав функцию распределения по V и приравняв результат к нулю:

51

d

moV 2

moV

2

moV 2

V 2

e

2kT

2V 1

e

2kT 0 .

2kT

dV

Значения V=0 и V= соответствуют минимумам функции распределения, а значение скорости, при котором выражение в скобках становится равным нулю, и

есть наиболее вероятная скорость:

V		2kT				2RT			.
в		m0				M

Оценивая значение наиболее вероятной скорости молекул кислорода атмосферы при комнатной температуре, получим Vв =500 м/с. Таким образом, одна

молекула кислорода за 1с проходит в среднем 0,5 км.

При увеличении температуры T максимум функции распределения молекул по скоростям сместится вправо, т.к. наиболее вероятная скорость становится больше. Однако площадь, ограниченная кривой останется неизменной, т.к. равна числу молекул, поэтому при повышении температуры кривая будет растягиваться и понижаться.

Средняя арифметическая скорость молекулы ‹V› определяется по формуле:

	1
V		V dN (V ) V f (V )dV .
	N 0		0

Подставляя f(V) и интегрируя, получаем:

V

8kT

8RT

.

M

m

0

Скорости, характеризующие состояние газа:

1)

наиболее вероятная V

2RT

;

в

M

2)

средняя (арифметическая) V

8RT

1,13V

;

M

в

3)

средняя квадратичная V

3RT

1,22V .

M

в

52

§ 9. Барометрическая формула

При выводе основного уравнения молекулярно-кинетической теории газов предполагалось, что на молекулы газа внешние силы не действуют, поэтому молекулы равномерно распределены по объему. Однако, молекулы любого газа находятся в потенциальном поле тяготения Земли. Тяготение - с одной стороны и тепловое движение молекул – с другой, приводят к некоторому стационарному состоянию газа, при котором давление газа с высотой убывает.

Выведем закон изменения давления с высотой.

Атмосферное давление на какой-либо высоте обусловлено весом вышележащих слоев газа. Мысленно выделим вертикальный цилиндрический столб атмосферы с двумя уровнями h и h+dh. Разность давлений p и р+dp равна весу газа, заключенного в объеме цилиндра высотой dh с основанием площадью ∆S=1 м2:

p ( p dp) dp g dh .

Из уравнения Менделеева-Клапейрона плотность:

m

Mp

.

V

RT

Подставим в верхнее уравнение: dp

Mg

p dh или

dp

Mg

dh .

RT

p

RT

p

h

Проинтегрируем:

dp

Mg

dh ,

ln

p

Mg

h . Отсюда:

p p

RT

0

p0

RT

0

Mgh

m0 gh

p p0 e

p0 e

.

RT

kT

Это и есть барометрическая формула,

выражающая зависимость атмосферного давления от высоты. В формуле p0 – давление на нулевом уровне.

Из барометрической формулы вытекает (смотри рисунок), что давление убывает тем быстрее, чем

тяжелее газ (>m0) и меньше температура (<Т).

§ 10. Распределение Больцмана

Зная, что p nkT барометрическую формулу можно записать в виде:

n n0 e	Mgh		n0 e	m0 gh
	RT			kT		,

где n – концентрация молекул на высоте h, n0 – концентрация молекул на нулевом уровне h=0.

Из формулы следует, что с понижением температуры концентрация газа на высотах, отличных от нуля h≠0, убывает, обращаясь в ноль при Т=0. При абсолютном нуле все молекулы расположились бы на земной поверхности. При высоких температурах концентрация n слабо убывает с высотой, так что молекулы распределяются по высоте почти равномерно.

53

Вформуле m0 gh – представляет собой потенциальную энергию Ер молекулы

впотенциальном поле сил тяжести Земли. Тогда:

Ep

n n0 e kT .

Из этого выражения следует, что при постоянной температуре молекулы располагаются с большей плотностью там, где меньше их потенциальная энергия.

Больцман доказал, что это распределение справедливо не только в случае потенциального поля сил земного тяготения, но и в любом потенциальном поле сил для совокупности любых одинаковых частиц, находящихся в состоянии хаотичного движения. Поэтому распределение называют распределением Больцмана.

§ 11. Средняя длина свободного пробега молекул

Молекулы газа, хаотически двигаясь, непрерывно сталкиваются друг с другом. Найдем, какой в среднем путь проходят молекулы без столкновений, т.е. двигаются свободно. Понятно, что эта величина – случайная для каждой молекулы. Поэтому будем говорить о средней длине свободного пробега.

Средняя длина свободного пробега – средний путь, который молекула проходит между двумя последовательными соударениями.

Минимальное расстояние, на которое сближаются при столкновении центры двух молекул, называется эффективным диаметром молекулы d.

Величина d 2 называется эффективным сечением.

Пусть за единицу времени ∆t=1c молекула проходит путь равный средней арифметической скорости ‹V›. Если при этом она испытывает ‹z› столкновений, то средняя длина свободного пробега:

l V .

z

Рассчитаем ‹z› среднее число столкновений в единицу времени.

Рассмотрим движение одной молекулы. Будем считать, что все молекулы, кроме выбранной нами, неподвижны. Проследим за движением выбранной молекулы. Столкнувшись с неподвижной молекулой, она будет лететь до столкновения с другой и т.д. Движущаяся молекула столкнется со всеми молекулами, центры которых окажутся от прямой, вдоль которой она движется на расстоянии меньшем, чем

эффективный диаметр молекулы.

Среднее число столкновений определяется числом молекул, центры которых попадают внутрь объема, пролетаемого молекулой за одну секунду. Этот объем

представляет собой цилиндр, с площадью πd2 и высотой ‹V›∆t. Число молекул в этом объеме равно числу соударений за время ∆t: N nV n d 2 V t .

Отсюда: z N n d 2 V .t

54

Расчеты показывают, что учете движения других молекул, появляется множитель 2 у скорости: z 2 V n d 2 .

Тогда средняя длина свободного пробега:

l	V			1				1			,
	z
				2d 2 n				2n

Для большинства газов при н.у. ‹z›=1091010 с-1, ‹l›~10-7 м. С уменьшением давления (p=nkT) величина ‹l› растет.

55

Глава 2.2. ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИ

§ 1. Внутренняя энергия и способы ее изменения

Важной характеристикой термодинамической системы является ее внутренняя энергия U – энергия хаотического (теплового) движения микрочастиц системы (молекул, атомов, электронов, ядер и т.д.).

Любая термодинамическая система (любое тело) состоит из большого числа частиц, которые находятся в непрерывном хаотическом движении и взаимодействии между собой. Таким образом, каждая молекула (атом) обладает кинетической энергией Ек поступательного и вращательного движения и потенциальной энергией Ер взаимодействия. Внутри атома электроны вращаются и взаимодействуют между собой и с ядром. Взаимодействуют между собой и нуклоны ядра.

Суммарная энергия всех молекул, составляющих систему, и есть внутренняя энергия:

N

U Ei .

i 1

Энергия одной частицы: Ei Eki Eip Eai Eяi .

Так как при различных внешних воздействиях ядерная и атомная энергия не меняются, то их можно принять за нулевой уровень. Вычислить внутреннюю энергию в общем случае практически невозможно из-за огромного числа молекул в макротелах. Это возможно лишь для идеального газа, где пренебрегают взаимодействием между молекулами.

Для идеального газа внутренняя энергия равна сумме кинетических энергий

N

хаотического движения всех молекул: U Eki .

i 1

Найдем кинетическую энергию Ек одной молекулы. От чего она зависит? Кинетическая энергия – энергия движения. Молекула может двигаться поступательно, вращательно. Молекула может колебаться около положения равновесия, но этот вид движения учитывается только для реальных газов. Для описания положения частицы (молекулы) введем понятие – число степеней свободы молекулы – это число независимых величин, с помощью которых можно задать ее положение в пространстве.

Представим одноатомную молекулу как материальную точку и рассмотрим декартову систему координат. Поступательное движение материальной точки описывается тремя координатами, т.е. одноатомная молекула имеет три степени свободы поступательного движения. Двухатомная молекула тоже имеет три степени свободы поступательного движения и еще добавляется две степени свободы вращательного движения, т.е. i=5. Для трехатомной молекулы: i=6, из них три степени свободы поступательного движения и три степени свободы вращательного движения.

В классической статистической физике вводится закон равномерного распределения энергии по степеням свободы, согласно которому, на каждую

56

степень свободы молекулы приходится в среднем одинаковая кинетическая энергия,

равная 12 kT .

Из этого закона следует, что среднее значение энергии одной молекулы тем больше, чем сложнее молекула, т.е. чем больше у нее степеней свободы.

Итак, для идеального газа, молекулы которого рассматриваются как совокупность атомов, связанных между собой жесткой связью, имеем:

для одноатомной молекулы: i=3пост.дв.;

для двухатомной молекулы: i=5=3пост.дв.+2вр.дв. для трехатомной молекулы: i=6=3пост.дв.+3вр.дв.

Для реальных газов необходимо учитывать еще один вид движения атомов – колебательное движение. На каждую степень свободы поступательного и

вращательного движений приходится энергия 12 kT . На каждую колебательную

степень свободы приходится вдвое большая энергия, равная kT . Это объясняется тем, что на нее приходится не только кинетическая, но и потенциальная энергия. Поэтому для реальных газов считают, что атомы в молекулах связаны упруго и число степеней свобод находится из выражения: i nпост nв ращ 2nкол еб.

Т.о. средняя кинетическая энергия одной молекулы ИГ:

Ek i 2i kT .

Внутренняя энергия 1 моля идеального газа:

U N

E

i N

i

kT

i

RT , U

i

RT , где R N

k .

A 2

A

k

2

2

A

Внутренняя энергия идеального газа массы m:

U U

m

U

m

i

RT

,

U

m

i

RT

.

M

M 2

M 2

В дифференциальной форме: dU

m

i

RdT .

M 2

Внутренняя энергия идеального газа зависит только от температуры. Для реальных газов U зависит от объема V газа, т.к. нельзя пренебрегать потенциальной энергией взаимодействия молекул.

Внутреннюю энергию тела можно изменить двумя способами:

1)путем теплопередачи, мерой изменения U является количество теплоты Q;

2)путем совершения работы, мерой изменения U является работа А.

§ 2. Работа газа

Рассмотрим газ, который характеризуется параметрами p,V,T. Газ переходит из состояния 1 (p1,V1,T1) в состояние 2 (p2,V2,T2). При этом совершается работа. Разобьем весь путь на небольшие участки, где давление р практически не

57

меняется, а объем V изменяется на малую величину dV. По определению элементарная работа:

	F
dA F dh p			pS dh p dV .
	S

Вся работа газа при переходе из состояния 1 в состояние 2:

2	V2
A12 dA p dV		.
1	V1

Выведем формулу работы при изопроцессах:

1.	Изобарный процесс р=const, m=const:
	V2	V2
	A12 p dV p dV p(V2		V1 )	p V ,			Ap p V	.
	V1	V1
2.	Изохорный процесс V=const, m=const:
	V2
	A12 p dV 0 , т.к. dV=0,				AV 0	.
	V1
					V2
3.	Изотермический процесс T=const, m=const: A12 p dV ,
					V1

т.к. давление изменяется, то вынести р за знак интеграла нельзя. Выразим давление

через

постоянную

температуру

из уравнения

состояния

идеального

газа: pV

m

RT , p

m

RT

1

. Тогда:

M

M

V

V2

V2

m

dV

m

m

V

A

m

V

A

p dV

RT

RT(lnV

ln V )

RT ln

2

,

RT ln

2

.

12

M

V

M

2

1

M

V

T

M

V

V

V

1

1

1

1

§ 3. Первое начало термодинамики

Внутренняя энергия термодинамической системы может изменяться путем теплопередачи и путем совершения работы над системой: ∆U=Q+A′.

Заменим A′ - работу, которую совершают над газом, на (-A) – работу, которую совершает газ над внешними телами. Тогда:

∆U=Q–A или Q=∆U+A.

Все величины в этом уравнении измеряются в джоулях [Q]=[∆U]=[A]=Дж.

Первое начало термодинамики: Количество теплоты, сообщенное системе, идет на приращение внутренней энергии системы и на совершение системой работы над внешними телами.

Если разбить процесс на ряд элементарных процессов, соответствующих очень малому изменению параметров системы, то первое начало термодинамики имеет вид:

Q U A или dQ dU dA .

58

	С учетом выражений для внутренней энергии dU	m		i	RdT и работы
		M	2

dA=pdV запишем первое начало термодинамики в дифференциальном виде: dQ Mm 2i RdT pdV .

Применение первого начала термодинамики к изопроцессам:

1)Изотермический процесс:

T=const, изменение температуры dT=0, приращение внутренней энергии dU=0,

dQ=dA=pdV.

2)Изохорный процесс:

V=const, изменение объема dV=0, элементарная работа dA=pdV=0,

dQ dU Mm 2i RdT .

3) Изобарный процесс p=const:

dQ dU dA Mm 2i RdT pdV .

Если система возвращается в первоначальное состояние, то ∆U=0, т.е. Q=A.

Вторая формулировка первого начала термодинамики: Невозможен вечный двигатель первого рода, т.е. такой периодически действующий двигатель, который совершал бы работу в большем количестве, чем полученная извне энергия.

§ 4. Теплоемкость

Теплоемкостью тела называется количество теплоты, которое необходимо сообщить этому телу, чтобы повысить его температуру на 1 K:

C

dQ

,

[С]=Дж/К.

dT

Теплоемкость единицы массы вещества называется удельной

теплоемкостью:

cуд

C

1

dQ

,

[суд]=Дж/(кг К).

m dT

m

Теплоемкость 1 моля вещества называется молярной теплоемкостью:

CM

C

M

dQ

M cуд

.

[СM]=Дж/(моль К).

m dT

Теплоемкость тела зависит от условий, при которых происходит нагревание тела: при р=const - Cp, при V=const - Cv.

Найдем молярные теплоемкости Cp, CV, используя первое начало термодинамики.

59

Для одного моля вещества ( =1 моль)

количество теплоты:

dQ dU

i

RdT .

Тогда

2

i

RdT

dQ

dU

2

постоянном объеме:

CV

dT V

dT

dT

при V=const; dV=0; dA=pdV=0,

молярная теплоемкость при

	i	R ,	C	i	R	.
2			V	2

Из формулы видно, что СV не зависит от температуры.

При постоянном давлении p=const:			dQ dU dA			i		RdT pdV .
				2
Воспользуемся	уравнением	состояния	идеального	газа:				pV=RT.
Продифференцируем его: pdV=RdT. Тогда количество теплоты: dQ						i		RdT RdT .
				2

Молярная теплоемкость при постоянном давлении:

dQ C p dT p

i

dU

dA

RdT

RdT

i

R R

i 2

R ,

2

dT

dT

dT

dT

2

2

i 2

C p 2 R .

Таким образом, Cp тоже не зависит от температуры. Кроме того, молярная теплоемкость при постоянном давлении больше молярной теплоемкости при постоянном объеме Cp>CV на величину газовой постоянной R.

C p CV R - это уравнение Майера.

Итак, по классической теории: CV 2i R - молярная теплоемкость при

постоянном объеме не зависит от температуры Т. Это справедливо в довольно широком интервале температур лишь для одноатомных газов. Уже у двухатомных газов число степеней свободы i зависит от температуры.

На рисунке изображена экспериментальная зависимость CV=f(T) для молекул водорода. Для определенных интервалов температур ∆T1, ∆T2, ∆T3. молярная теплоемкость при постоянном объеме CV не зависит от температуры T, как в классической теории. Однако, весь ход зависимости CV от T классическая теория объяснить не может.

В интервале температур ∆T1: CV 32 R .

Это означает, что двухатомные молекулы водорода при низких температурах совершают только поступательное хаотическое движение. При средних

температурах	∆T2:	C	5	R , т.е. молекулы водорода совершают как
		V	2
поступательное,	так	и вращательное движение. При высоких температурах ∆T3.

60