Uch_Orlov_A_I_Ekonometrika_-_M_2002

		пространство	тарных событий Ω, класса случайных собы-	ностей) - основной исходный объект теории вероятно-
			тий G и вероятностной меры P.	стей и	вероятностных моделей реальных явлений
				(процессов).
	1.1.5.	Вероятность	Значение P(A) вероятностной меры P на слу-	В силу закона больших чисел частота реализации со-
		события A	чайном событии A.	бытия A при неограниченном увеличении числа неза-
				висимых повторений одного и того же комплекса ус-
				ловий, описываемого вероятностным пространством
				{Ω, G, P}, стремится к вероятности этого события
				P(A), т.е. для любого ε > 0
				limn→∞	P { | m/n - p | ≤ ε } = 1,
				где m/n	- частота, p - вероятность события A, n - чис-
				ло повторений. Это свойство нельзя принимать за оп-
				ределение вероятности события в математической
				теории вероятностей. Оно указывает способ оценива-
				ния вероятности по опытным данным.
	1.1.6.	Независимость	Случайные события А и В являются незави-	Общематематическое понятие пересечения множеств
		случайных со-	симыми, если Р(АВ) = Р(А)Р(В), где АВ - пе-	А∩В в теории вероятностей по традиции эквивалент-
		бытий	ресечение множеств А и В (произведение со-	но понятию произведения событий АВ.
			бытий А и В). Случайные события А1, А2,...,
			Аn называются независимыми (в совокупно-
			сти), если Р(А1А2...Аn) = Р(А1)Р(А2)...Р(Аn) и
			аналогичные равенства справедливы для всех

		поднаборов этих событий А(1), А(2),..., А(k),
		2≤k≤n -1.
1.1.7.	Случайный	Измеримая функция, определенная на вероят-	Случайный элемент Х принимает значения в измери-
	элемент	ностном пространстве.	мом пространстве (Z,J), где Z - пространство значений
			Х, а J - класс измеримых подмножеств Z; при этом для
			любого QЄJ множество Х-1(Q) является случайным
			событием.
			Если Z - множество действительных чисел R1, то слу-
			чайный элемент Х называют случайной величиной.
			Если Z = Rk - конечномерное векторное пространство
			размерности k=2,3,...., то случайный элемент Х назы-
			вают случайным вектором.
1.1.8.	Распределение	Функция множества, задающая вероятность	Для случайного элемента Х, определенного на вероят-
	случайного	принадлежности случайного элемента изме-	ностном пространстве {Ω, G, P} со значениями в из-
	элемента	римому подмножеству его области значений.	меримом пространстве (Z,J), его распределение P :J -
			1
			→ [0,1] задается формулой P (Q) = P (Х-1(Q)), QЄJ.
			1
1.1.9.	Дискретный	Случайный элемент, область значений кото-	Распределение случайного элемента Х, принимающе-
	случайный эле-	рого состоит из конечного или счетного мно-	го только значения х1, х2,..., полностью описывается
	мент	жества точек.	числами рi = P(X=хi), i = 1,2,..., причем р1 + р2 +... = 1.

1.1.10.ПараметричеФункция, определенная на параметрическом Параметр может быть одномерным или конечномерское семейство пространстве (подмножестве конечномерного ным. Вместо "зависимость от k-мерного параметра"

распределений

векторного пространства), которая каждому

часто говорят "зависимость от k параметров".

значению параметра (числу или вектору, вхо-

дящему в параметрическое пространство) ста-

вит в соответствие распределение случайного

элемента.

1.1.11.

Независимость

Определенные на одном и том же вероятност-

Для случайных величин и векторов, имеющих плотно-

случайных эле-

ном пространстве случайные элементы X1,

сти вероятности, независимость эквивалентна тому,

ментов

X ,...,X

k

со

значениями

в

измеримых

про-

что плотность вероятности вектора (Х1, Х2,..., Хk) рав-

2

странствах (Z , J

1

), (Z

, J

2

),..., (Z

, J

k

) соответ-

на произведению плотностей вероятностей случайных

1

2

k

ственно называются независимыми, если для

величин Хi, т.е.

любых

Q

ЄJ

1

,

Q

2

ЄJ

2

,...,

Q

ЄJ

k

имеем

f (x1, x2,..., xk) = f(x1)f(x2)...f(xk).

1

k

Р(X ЄQ ,

X ЄQ ,...,

X ЄQ )

=

Результаты экспериментов, которые проведены неза-

1

1

2

2

k

k

Р(X1ЄQ1)P(X2ЄQ2)... P(XkЄQk).

висимо друг от друга, как правило, моделируются с

помощью независимых случайных величин.

1.1.12

Вероятностная

Математическая модель явления (процесса), в

Установление (формулировка) исходной вероятност-

модель явления

которой использованы понятия теории веро-

ной модели - необходимый первый этап для примене-

(процесса)

ятностей и математической статистики.

ния методов прикладной статистики.

				1.2. Случайная величина
	1.2.1.	Случайная	ве-	Однозначная действительная измеримая	Однозначная действительная функция X:Ω→R1 явля-
		личина		функция на вероятностном пространстве.	ется случайной величиной, если для любого хЄR1
					множество {ω:X(ω) ≤ x} является случайным событи-
					ем. Случайная величина - это случайный элемент со
					значениями в R1. (Здесь R1 - множество действитель-
					ных чисел.)
	1.2.2.	Функция	рас-	Функция, определяющая для всех действи-	Функция распределения F(x) = P(X < x) = P{ω:X(ω) <
		пределения		тельных чисел х вероятность того, что слу-	x}. Функция распределения непрерывна слева.
				чайная величина Х принимает значения,	Примечание. Иногда функцию распределения опреде-
				меньшие х.	ляют как F(x) = P(X < x) = P{ω:X(ω) < x}. Тогда она
					непрерывна справа.
	1.2.3.	Плотность	ве-	Функция p(t) такая, что	Сокращенная форма: плотность.
		роятности		х
				F(x) = ∫p(t) dt
				-∞
				при всех х, где F(x) - функция распределения
				рассматриваемой случайной величины.
	1.2.4.	Непрерывная		Случайная величина, функция распределения
		случайная	ве-	которой при всех действительных x непре-
		личина		рывна.

	1.2.5.	Квантиль	по-	Значение случайной величины, для которого	Число хр - квантиль порядка р для случайной величи-
		рядка p		функция распределения принимает значение p	ны с функцией распределения F(x) тогда и только то-
				или имеет место "скачок" со значения меньше	гда, когда
				p до значения больше p.	lim x→хр+0	F(x)≥p, F(хр)≤p.
					Может случиться, что вышеуказанное условие выпол-
					няется для всех значений х, принадлежащих некото-
					рому интервалу. Тогда каждое такое значение называ-
					ется квантилью порядка р.
					Примечание. Одни авторы употребляют термин "кван-
					тиль" в мужском роде, другие - в женском.
	1.2.6.	Медиана		Квантиль порядка p = 1/2.
	1.2.7.	Мода	непре-	Значение случайной величины, соответст-	Мод у непрерывной случайной величины может быть
		рывной случай-		вующее локальному максимуму ее плотности	несколько (конечное число или бесконечно много).
		ной величины		вероятности.	Краткая форма термина: мода.
	1.2.8.	Математиче-		Среднее взвешенное по вероятностям значе-	Математическое ожидание обозначают М(Х), Е(Х),
		ское ожидание		ние случайной величины X(ω), т.е.	МХ, ЕХ и др. Рекомендуемое обозначение: М(Х). При
				∫ X(ω) P (dω)	этом
					М(X) = ∫ X(ω) P (dω) =
				Ω
					Ω
					+∞	=	+∞
					∫x dF(x)		∫t p(t) dt
					-∞		−∞

							где F(x) - функция распределения, а p(t) - плотность
							вероятности случайной величины Х = X(ω).
							Математическое ожидание существует не для всех
							случайных величин Х. Для существования математи-
							ческого ожидания необходимо и достаточно абсолют-
							ной сходимости соответствующего интеграла.
	1.2.9.	Дисперсия				Математическое ожидание квадрата разности	Для случайной величины Х дисперсия D(X)	=
		(случайной			ве-	между случайной величиной и ее математиче-	σ2=σ2(X)=М(X-М(X))2. Дисперсия равна 0 тогда и
		личины X)				ским ожиданием.	только тогда когда Р(Х=а)=1 для некоторого а.
	1.2.10.	Среднее		квад-		Неотрицательный квадратный корень из дис-
		ратическое			от-	персии.
		клонение
	1.2.11.	Коэффициент				Отношение среднего квадратического откло-	Применяется для положительных случайных величин
		вариации				нения к математическому ожиданию.	как показатель разброса.
	1.2.12.	Момент		поряд-		Математическое ожидание случайной вели-
		ка q (случайной				чины Xq.
		величины X)
	1.2.13.	Центральный				Математическое ожидание случайной вели-	Дисперсия - центральный момент порядка 2.
		момент порядка				чины (X-М(X))q, где М(Х) - математическое
		q	(случайной			ожидание Х.
		величины X)
	1.2.14.	Характеристи-				Функция от tЄR1 , при каждом t равная мате-	М(eitX) = М(cos(tX) + isin(tX)) = М(cos(tX))	+

		ческая функция		матическому ожиданию случайной величины	iМ(sin(tX)).
		(случайной	ве-	eitX, где i - мнимая единица, e - основание
		личины X)		натуральных логарифмов.
				1.3. Случайный вектор
	1.3.1.	Случайный век-		Однозначная измеримая функция на вероят-	Случайный вектор Х - это случайный элемент со зна-
		тор		ностном пространстве со значениями в конеч-	чениями в Rk, т.е. X = X(ω) = (X (ω), X (ω),...., X (ω)),
					1	2	k
				номерном евклидовом пространстве Rk.	где Xi(ω), i = 1,2,...,k, - случайные величины, заданные
					на одном и том же вероятностном пространстве.
	1.3.2.	Функция	рас-	Функция распределения F(x1, x2,...., xk) слу-
		пределения		чайного вектора X(ω) = (X1(ω), X2(ω),....,
		(случайного		Xk(ω)) удовлетворяет равенству
		вектора)
				F(x1, x2,...., xk) =
				P (X1<x1, X2<x2,..., Xk<xk) = P{ ω:X1(ω)< x1,
				X2(ω)< x2,..., Xk(ω)< xk).
	1.3.3.	Плотность	ве-	Функция p(x) такая, что
		роятности	(слу-	P(X A) = ∫p(x) dx
		чайного векто-		А
		ра)		для случайного вектора X = X(ω) и любого
				борелевского подмножества А конечномерно-
				го евклидова пространства Rk.

1.3.4.МатематичеВектор, компоненты которого - математичеМатематическое ожидание случайного вектора X = ское ожидание ские ожидания компонент случайного векто- (X1, X2,...., Xk) есть (М(X1), М(X2),...., М(Xk)), где

	случайного век-		ра.		М(Xi) - математическое ожидание случайной величи-
	тора				ны Xi, являющейся i - ой компонентой случайного
					вектора X, i = 1,2,...,k.
1.3.5.	Ковариация		Ковариацией вектора (X,Y) называется мате-		cov(X,Y) = М (X - М(X))(Y - М(Y)) ;
	(для	двумерно-	матическое ожидание случайной величины		если X = Y, то cov(X,Y) = D(X) - дисперсия X.
	го вектора)		(X - МX))(Y - М(Y)), где М(X) и М(Y) - мате-
			матические ожидания случайных величин X и
			Y.
1.3.6.	Ковариацион-		Квадратная матрица ||cij|| порядка k, в которой		Ковариационная матрица симметрична, на главной
	ная	матрица	cij - ковариация двумерного вектора (Xi, Xj),		диагонали стоят дисперсии Xi - компонент X, i =
	случайного век-		где X	и X - компоненты случайного вектора	1,2,...,k.
			i	j
	тора		X = (X1, X2,...., Xk), i,j = 1,2,...,k.
1.3.7.	Коэффициент		Отношение ковариации вектора (X,Y) к про-		r(X, Y) =	cov(X, Y)
	корреляции		изведению средних квадратических отклоне-			σ(X)σ(Y)
	(для	двумерно-	ний σ(X) и σ(У) случайных величин Х и У.
	го вектора)				Если Y = aX+b, то |r(X,Y)| = 1. Верно и обратное: если
					|r(X,Y)| = 1, то Y = aX+b..
1.3.8.	Корреляцион-		Квадратная матрица ||rij|| порядка k, в которой		Корреляционная матрица симметрична, на главной
	ная	матрица	rij - коэффициент корреляции двумерного		диагонали стоят единицы.

случайного век-	вектора (Xi, Xj), где Xi и Xj - компоненты слу-
тора	чайного вектора X = (X1, X2,...., Xk), i,j =
	1,2,...,k.

			2. Прикладная статистика
			2.1. Общие понятия
2.1.1.	Признак		Свойство (характеристика) объекта наблюде-	Частными видами наблюдения являются измерение,
			ния.	испытание, анализ, опыт, проверка и т.д.
2.1.2.	Результат	на-	Значение признака объекта наблюдения.	Результат наблюдения может быть числом, вектором,
	блюдения			элементом конечного множества или математическим
				объектом иной природы.
2.1.3.	Выборка		Совокупность значений одного и того же при-	Выборка - совокупность чисел или векторов, или ма-
			знака у подвергнутых наблюдению объектов.	тематических объектов иной природы, соответствую-
				щих изучаемым реальным объектам наблюдения.
2.1.4.	Объем выборки		Число результатов наблюдений, включенных	Объем выборки обычно обозначают n.
			в выборку.
2.1.5.	Вероятностная		Вероятностная модель получения результатов	Примерами вероятностных моделей выборок являются
	модель выборки		наблюдений, включаемых в выборку.	простая случайная выборка и случайная выборка из
				конечной совокупности.
2.1.6.	Простая	слу-	Выборка, в которой результаты наблюдений	Если результаты наблюдений имеют распределение F,
	чайная выборка		моделируются как совокупность независимых	то говорят, что "выборка извлечена из распределения
			одинаково распределенных случайных эле-	F".

			ментов.
	2.1.7.	Случайная вы-	Выборка объема n, в которую включены ре-	Если N - число объектов конечной совокупности, то
		борка из конеч-	зультаты наблюдений над объектами, отби-	для получения случайной выборки объема n из этой
		ной совокупно-	раемыми из конечной совокупности так, что	совокупности, n < N, отбор объектов для проведения
		сти	любой набор n объектов имеет одинаковую	наблюдений должен проводиться так, чтобы любой
			вероятность быть отобранным.	набор из n объектов имел одну и ту же вероятность
				быть отобранным, равную n!(N-n)!/ N!, т.е. обратной
				величине к числу сочетаний из N элементов по n.
	2.1.8.	Статистика	Измеримая функция результатов наблюдений,	Статистики используются для описания данных, оце-
			включенных в выборку, используемая для	нивания, проверки гипотез. Статистика, как функция
			получения статистических выводов.	случайного элемента, является случайным элементом.
				Статистика принимает значения в некотором измери-
				мом пространстве (Z,J), своем для каждой статистики.
			2.2. Описание данных
	2.2.1.	Частота собы-	Отношение числа наблюдений, в которых
		тия	осуществилось событие, к объему выборки.
	2.2.2.	Эмпирическое	Распределение случайного элемента, в кото-	Если в выборку включены результаты наблюдений x1,
		распределение	ром каждому результату наблюдения, вклю-	x2,...., xn, то эмпирическое распределение - это рас-
			ченному в выборку, соответствует одна и та	пределение случайной величины Х такой, что Р(Х= xi)
			же вероятность, равная обратной величине	= 1/n, i = 1,2,..., n Если несколько результатов наблю-
			объема выборки.	.
				дений совпадают: x1 = x2 =.... = xk = a, то полагают
				Р(Х=а) = k/n.