i-808190579

Искомыми являются коэффициенты полиномов, стоящих в числителе и знаменателе дроби. При выборе модели этого типа в раскрывающемся списке Type of fit появляются два списка для выбора степени числителя и знаменателя (рис. П.4).

Рис. П.4 –Выбор дробно-рациональной модели в диалоговом окне Fitting

Создание собственной параметрической модели.

Пользователь приложения cftool имеет возможность создавать собственные модели, в которые искомые параметры входят как линейно, так и нелинейно. Для создания собственной модели следует в диалоговом окне Fitting в раскрывающемся списке Type of fit выбрать пункт Custom Equations и нажать на кнопку New equation (рис. П.5).

Рис. П.5 – Создание собственной параметрической модели

После этого появляется диалоговое окно Create Custom Equation, содержащее две вкладки:

Linear Equation – для задания параметрической модели, линейно зависящей от искомых параметров.

General Equation – для задания произвольной параметрической модели, в которую параметры могут входить нелинейно (рис. П.6).

51

Рис. П.6 – Диалоговое окно Create Custom Equation для создания собственных линейных и нелинейных параметрических моделей

Для задания линейной параметрической модели следует выбрать независимую переменную в строке ввода Independent variable (можно оставить переменную x, предлагаемую по умолчанию) и последовательно добавлять функции при искомых коэффициентах. Для добавления каждой следующей функции требуется нажать кнопку Add a term.

Пусть, например, требуется создать параметрическую модель a1xe x a2e x a3 .

Для этого изменяем a на a1 в первой строке ввода столбца Unknown Coefficients и набираем в расположенной рядом строке ввода (столбца Terms) вместо sin(x-pi) выражение x*exp(-x). Далее нажимаем кнопку Add a term, изменяем b на a2 и набираем в расположенной рядом строке ввода exp(-x). Последний коэффициент, аддитивно входящий в нашу модель, добавляется автоматически, так как установлен флаг Unknown constant coefficient. Осталось исправить c на a3. В результате области ввода диалогового окна Create Custom Equation должны выглядеть так, как показано ниже на рис. П.7.

Рис. П.7 – Итоговое диалоговое окно ввода модели

52

Формулы набираются в соответствии с правилами Matlab с использованием знаков +, -, *, /, ^ (возведение в степень) для арифметических операций, круглых скобок для изменения их приоритета и встроенных математических функций.

После создания собственной модели можно выбирать встроенные модели для приближения данных, но при выборе в диалоговом окне Fitting в раскрывающемся списке Type of fit пункта Custom Equations появляются все созданные ранее пользовательские параметрические модели.

Схожим образом создается и нелинейная параметрическая модель.

Для этого необходимо в диалоговом окне Fitting активизировать кноп-

ку New fit→Type of fit и выбрать Custom Equations, нажать на кнопку New и в появившемся диалоговом окне New Custom Equation перейти на вкладку

General Equation (рис. П.8).

Пример создания нелинейной параметрической модели

ax2 bx c e ax2 bax c .

Рис. П.8 – Диалоговое окно создания модели общего вида

В строке ввода Independent variable вводится независимая переменная (можно оставить переменную x, предлагаемую по умолчанию), а в строке ввода ниже формула, задающая параметрическую модель. В нашем случае это будет

(a*x^2+b*x+c)*exp(-(a*x^2+b*x+c))

Кроме выражения для параметрической модели следует задать в таблице под строкой ввода также границы интервалов, в которых могут находиться искомые параметры (для задания бесконечного интервала достаточно оставить Inf или -Inf для правой, или левой границы, соответственно), и начальные приближения для них. В линейной параметрической модели это не требуется, поскольку приближение по методу наименьших квадратов линейной моделью приводит к решению системы линейных алгебраических уравнений относительно искомых коэффициентов. При приближении данных нелиней-

53

ными параметрическими моделями решается задача минимизации нелинейной функции и соответствующий алгоритм должен получить начальные значения параметров и границы их возможных значений. Начальные значения могут сильно повлиять на получающееся приближение. Начальные значения параметров и границы допустимых интервалов для них потом можно изменить, воспользовавшись кнопкой Fit options в диалоговом окне Fitting.

В строке ввода Equation name внизу диалогового окна New Custom Equation отображается формула, задающая параметрическую нелинейную модель. Вместо формулы можно ввести произвольное имя для определяемой параметрической модели, которое будет ее идентифицировать при дальнейшей работе.

Для создания модели осталось нажать кнопку ok внизу диалогового окна New Custom Equation. Только что созданная модель (формула или имя модели) появляется в списке Custom Equation диалогового окна Fitting. Модели в этом списке можно удалять (кнопка Delete рядом со списком), а также модифицировать и добавлять измененную модель в список (кнопка Copy).

Так же как и в случае линейной параметрической модели, после создания собственной параметрической модели можно выбирать встроенные или другие пользовательские модели. При выборе в диалоговом окне Fitting в раскрывающемся списке Type of fit пункта Custom Equations появляются все созданные ранее пользовательские параметрические модели.

Непараметрические модели. Интерполяционные сплайны (Interpolant).

linear – кусочно-линейное приближение (точки данных соединяются отрезками прямых) (рис. П.9).

Рис. П.9 – Кусочнолинейное приближение

nearest neibour – кусочно-постоянная интерполяция по ближайшему соседу (рис. П.10).

54

Рис. П.10 – Интерполяция по ближайшему соседу

cubic spline – интерполяция данных кубическим сплайном. Получается тот же самый сплайн, который строит функция spline, входящая в набор функций Matlab (рис. П.11).

Рис. П.11 – Интерполяция кубическим сплайном

shape-preserving – интерполяция эрмитовым сплайном, т.е. сплайном, сохраняющим форму данных (рис. П.12).

55

Рис. П.12 – Интерполяция эрмитовым сплайном (значения сплайна не превосходят значения данных)

Сглаживающий сплайн (Smoothing Spline)

Хотя сглаживающий сплайн и относят к непараметрическим моделям, тем не менее, он содержит задаваемый пользователем параметр, сглаживающий параметр р, изменяющийся от 0 до 1, который определяет кривизну получающегося сплайна. Если задавать значения сглаживающего параметра близкие к нулю, то сглаживающий сплайн будет похож на прямую, приближающую данные в смысле наименьших квадратов.

При p= 1сглаживающий сплайн превращается в обыкновенный кубический сплайн.

Значения сглаживающего параметра задаются в диалоговом окне Fitting (соответствующие переключатели, кнопки и область ввода появляются после выбора Smoothing Spline в раскрывающемся списке Type of fit) (рис. П.13).

Рис. П.13 – Значения сглаживающего параметра

Опции, управляющие процессом подбора параметров.

Для задания опций вычислительных алгоритмов, использующихся для подбора параметров, служит кнопка Fit options диалогового окна Fitting. После нажатия на эту кнопку появляется диалоговое окно, в заголовке которого написано Fit options for и далее указано имя параметрической модели.

56

В зависимости от типа выбранной параметрической модели состав этого окна может быть различным.

Для сплайновой интерполяции и сглаживающего сплайна это окно не содержит никаких элементов управления, поскольку дополнительных опций соответствующие алгоритмы не требуют. Для линейных моделей можно задавать выбор целевой функции и границы для искомых коэффициентов.

Для других типов параметрических моделей диалоговое окно Fit options for выглядит следующим образом (рис. П.14).

Вверху окна в области Method выводится информация о том, используется ли линейный (LinearLeastSquares) или нелинейный метод наименьших квадратов (NonlinearLeastSquares), что зависит от того, линейно или нелинейно входят параметры в выбранную параметрическую модель.

Раскрывающийся список Robust содержит четыре возможные опции On, Off, LAR и Bisquare и служит для выбора метода приближения, устойчивого к выбросам в данных. Искомые значения параметров a1, a2 ,...,an опре-

деляются как решение задачи минимизации суммы квадратов невязок, т.е. суммы квадратов расстояний от точек данных x j , y j j 1,2,.., N , до приближающей их кривой y x j ;a1,a2 ,...,an

N

min y x j ;a1, a2 ,...,an y j 2 .

a1,a2 ,..., an j 1

Рис. П.14 – Диалоговое окно Fit options for для задания опций вычислительных алгоритмов.

57

Curve Fitting

Если данные x j , y j j 1,2,.., n снабжены весами wj j 1,2,..., n , то решается следующая задача минимизации (если веса не заданы, то по умолчанию они считаются равными единице)

N

min w j y x j ;a1, a2 ,...,an y j 2 .

a1,a2 ,..., an j 1

Если имеется выброс в данных, причем соответствующий вес не задан достаточно маленьким, то он может существенно ухудшить приближение.

Одним из способов уменьшения влияния выбросов на качество получаемого приближения состоит в минимизации суммы не квадратов невязок, а их модулей. Для этого служит опция LAR (least absolute residuals). После выбора LAR в раскрывающемся списке Robust диалогового окна Fit options for следует снова провести линейную регрессию. Выброс в данных в этом случае меньше влияет на получающееся приближение линейной функцией.

Другие опции в диалоговом окне Fit options for связаны с алгоритмами минимизации целевой функции (в общем случае взвешенной суммы квадратов или модулей невязки).

Раскрывающийся список Algorithm содержит три опции:

Trust-Region (метод доверительных областей) – используемый по умолчанию алгоритм минимизации целевой функции. Если на искомые коэффициенты параметрической модели наложены ограничения, то использование этого алгоритма обязательно.

Levenberg-Marquardt (метод Левенберга-Марквардта) – можно использовать в задачах без ограничений на коэффициенты.

Gauss-Newton – классический метод Ньютона.

Все эти алгоритмы реализованы в функциях Optimization Toolbox, которые и используются при минимизации целевой функции при подборе параметров в параметрических моделях, приближающих данные в

Toolbox.

Опции в диалоговом окне Fit options for служат для настройки этих алгоритмов и могут быть приняты по умолчанию.

В диалоговом окне Fit options for также можно задавать границы для разыскиваемых параметров параметрической модели и начальные приближения. Для стандартных и пользовательских параметрических моделей предлагаются по умолчанию (там, где это необходимо, в зависимости от типа параметрической модели).

Критерии пригодности приближения.

После приближения данных стандартной параметрической моделью или моделью, заданной пользователем, оценка качества приближения может быть проведена как графически, так и с использованием различных критериев пригодности приближения: SSE (сумма квадратов ошибок), R-square (критерий R-квадрат), Adjusted R-square (уточненный R-квадрат), RSME (ко-

58

рень из среднего для квадрата ошибки). Кроме того, можно вычислить доверительные интервалы для найденных значений параметров модели, соответствующие различным уровням вероятности, и доверительные полосы для приближения и данных, так же соответствующие различным уровням вероятности.

Визуальная оценка качества приближения.

Во-первых, построив графики данных и параметрической модели уже можно сделать предварительный вывод о том, насколько хорошо выбранная модель (с найденными значениями параметров), соответствует данным.

Во-вторых, визуально о качестве приближения можно судить по распределению ошибок, т.е. разности данных в заданных точках и значений параметрической модели в этих же точках. Если ошибки достаточно равномерно распределены около нуля и в их поведении нет выраженной тенденции, то тем лучше приближение.

Критерии пригодности приближения.

Критерий SSE (Sum of squares due to error) – сумма квадратов ошибок. Критерий SSE вычисляется по формуле

N		^		2
SSE wk yk yk				,
k 1

где wk – веса (если они не заданы при импорте данных, то считаются равны-

^

ми единице), yk – данные в xk , а yk – значения параметрической модели в xk . Близость SSE к нулю говорит о хорошем качестве приближения данных

параметрической моделью.

Критерий R-квадрат (R-square) – квадрат смешанной корреляции. Критерий R-квадрат определяется как отношение суммы квадратов от-

носительно регрессии SSR к полной сумме квадратов (SST), т.е.

N		^		2
SSR wk yk y				,
k 1

N

SST wk yk y 2 ,

k 1

R квадрат SSRSST 1 SSESST ,

где y – среднее.

Критерий R-квадрат может принимать значения только от нуля до единицы и, как правило, чем ближе он к единице, тем лучше параметрическая модель приближает исходные данные.

Однако, при увеличении числа параметров модели значение критерия R-квадрат может увеличиться, хотя вместе с тем, качество приближения не

59

улучшится. В связи с этим часто применяют другой критерий – уточненный R-квадрат, в который входит число коэффициентов параметрической модели.

Уточненный R-квадрат (Adjusted R-square).

Если число данных равно N, а число параметров модели равно n, то критерий уточненный R-квадрат определяется так

Adjuster R square 1 SSE(N 1) . SST(N n)

Его значение не может превышать единицы, а близкие к единице значения уточненного R-квадрат свидетельствуют о хорошем приближении исходных данных параметрической моделью.

Корень из среднего для квадрата ошибки RSME (Root mean Squared

Error)

	RSME		SSE		(оценка СКО ошибки Sv ).
			N n

Значения RSME отражают уровень помех при сруктурной адекватности модели объекту.

Значения вышеперечисленных критериев приближения данных параметрической моделью выводятся в окно Results и в таблицу Таble of fits окна Fitting после вычисления параметров модели. Причем имеется возможность управлять количеством выводимых критериев качества приближения и информацией о построенной параметрической модели. Для этого в диалоговом окне Fitting следует нажать на кнопку Table Options и выбрать нужную информацию (установив соответствующие флаги) в появившемся диалоговом окне Table Options (рис. П.15).

Рис. П.15 – Диалоговое окно Table Options

В диалоговом окне Table Options часть флагов (SSE, R-square, Adj R- sq, RMSE) служит для вывода значений критериев приближения данных параметрической моделью, причем имена флагов совпадают с названиями описанных выше критериев приближения, а смысл остальных флагов таков:

Name – выводить имя приближения;

Data set – имя множества данных;

60