u-lectures сопромат

131

Рассмотрим кручение стержня закрытого профиля (рис. 4.27, б). Толщина профиля может быть переменной по контуру (рис. 4.28, а).

Рис. 4.28

Чтобы установить закон изменения касательных напряжений по толщине δ, выполняют эксперименты, например, используют метод пленочной (мембранной) аналогии либо метод жидкостной аналогии. Опытным путем установлено, что при кручении напряжения τ по толщине сечения постоянны и величина их зависит от толщины δ.

Выделим часть стержня длиной по контуру dS и длиной вдоль оси dz . Воспользуемся уравнением равновесия:

∑прz = 0 : τ1 δ1 dz = τ2 δ2 dz , τ1 δ1 = τ2 δ2 = τ δ = const .

Так, в сечении 1–1 при толщине δ1 напряжения τ1 = const , в сечении 2–2 име-

ем τ2 < τ1 .

Там, где толщина сечения δmax получим τmin , и наоборот минимальной толщине δmin соответствует максимальное касательное напряжение τmax . Тогда

τmax δmin = const (рис. 4.29).

Рис. 4.29

Возьмем следующее уравнение равновесия стержня

132

∑mom z = 0 :	M К = ∫τ δ OA dS ,
	F
M К = τ δ ∫OA dS = τ δ 2A* .
F

где ∫OA dS дает удвоенную площадь A* , ограниченную средней линией. Те-

F

перь запишем наибольшие касательные напряжения τmax , возникающие при

δmin :

τmax =	M К
	δmin 2F* .	(4.53)

Для получения угла закручивания воспользуемся потенциальной энергией.

	Удельная энергия u =	1	τ2	. В объеме материала стержня dz ×dS ×δ (рис.
		2	G

4.29). Имеем du = u dz dS δ. Потенциальная энергия стержня U = ∫∫du . По-

сле подстановки u , получим						l S
u =	l τ2 δ2	= ∫	dS	.		(4.54)
	2G		δ
		S
Здесь появилась геометрическая характеристика ∫dS						, которая является кон-
				S	δ

турным интегралом и вычисляется для заданного контура профиля.

С другой стороны, энергия U может быть записана через внешний крутящий момент M = M К и угол закручивания ϕ:

U = 12 M Кϕ.

Приравнивая выражения (4.53) и (4.54) и приняв τδ = 2MAК* , получим формулу для вычисления угла закручивания ϕ:

ϕ = M Кl ∫ dS .

2GA* S δ

Рассмотрим кручение открытого профиля (рис. 4.30).

133

Рис. 4.30

Экспериментальным путем было получено, что распределение τ по высоте (толщине) сечения δ линейно. В случае конфигурации профиля, когда возможно развернуть его в длинный прямоугольник постоянной толщины (рис. 4.30, а), можно записать касательное напряжение τmax по теории кручения

стержня прямоугольного сечения:

τmax =

M К

.

α∑bδ2

При соотношении

b

>10

будет α =

1

, тогда

τ

=

3M К

, а угол закручива-

δ

3

max

∑bδ2

3M Кl

ния ϕ =

.

G∑bδ3

Если толщина δ ≠ const по контуру профиля или сечение не развёртывается в прямоугольник (рис. 4.30, б), то необходимо распределить крутящий момент

M К по отдельным участкам толщины δi с моментом M Кi так, чтобы угол закручивания был бы один и тот же для всех участков. Тогда получим

		n	3
		M К = ∑M Кi	и M Кi =	Gbiδi	ϕ.
				3l
		i=1
Отсюда M К =	G	n
		∑biδi3 и теперь можно записать формулу для нахождения
	3l	i=1

угла закручивания в этом случае:

134

ϕ =	3M Кl		.							(4.55)
	n
	G∑biδi	3
	i=1
Для каждого участка толщиной δ				i	получим τ	i	=	3M Кi	и ϕ =	3M Кil	.
								b δ 2
										Gb δ 3
								i i		i i

Выразив из формулы (4.55) величину M Кi и подставив в выражение для τi , получим

τi = ϕlG δi .

Для расчетов на прочность необходимо знать значение τmax , которое возникает при самой большой толщине δmax , поэтому

τmax = ϕlG δmax .

С учетом выражения (4.55), получим в окончательном виде формулу для нахождения максимального напряжения:

τmax =	3M К		δmax .
	n
	∑biδi	3
	i=1

Эта формула удобна для расчетов профиля с переменно толщиной стенки.

Контрольные вопросы к разделу 4

1.Какой вид нагружения называется кручением?

2.Как определяется полный угол закручивания на участке длиною l ?

3.Что называется относительным углом закручивания?

4.На каких положениях основана теория кручения стержней, имеющих сплошное круглое или кольцевое сечение.

5.Какие напряжения возникают при кручении стержней и как они определяются?

6.Какой вид имеет эпюра касательных напряжений?

7.Существуют ли касательные напряжения в продольных сечениях стержня при его кручении?

135

8.Записать формулу для определения касательных напряжений при кручении стержня круглого поперечного сечения.

9.Что называется жесткостью сечения при кручении?

10.Записать условие прочности при кручении стержня.

11.Записать условие жесткости при кручении. В каких случаях его применяют?

12.Равен ли полярный момент сопротивления кольцевого сечения разности полярных моментов наружного и внутренних кругов?

13.Что называется полярным моментом сопротивления, в каких единицах он измеряется и чему равен (для круга и кольца).

14.Как разрушаются стальные и чугунные образцы при кручении?

15.Какие поперечные сечения стержня считают рациональными при кручении?

16.Укажите характер распределения напряжения в тонкостенном брусе открытого и закрытого профиля по толщине стенки.

17.В чем состоит закон парности касательных напряжений?

136

Раздел 5 Плоский изгиб

Тема 5.1 Расчеты балок на прочность и жесткость

Основные определения. Плоский изгиб

Изгиб – такой вид деформирования бруса, при котором в поперечном сечении возникает изгибающий момент.

Прямолинейный брус, работающий на изгиб, называют балкой. Изгиб вызывают силы, перпендикулярные продольной оси z, или пары сил, лежащие в плоскостях, проходящих через ось z (5.1, a). Сама ось z, прямолинейная до деформации, при изгибе становится кривой линией. При этом волокна, расположенные в выпуклой части изогнутой балки, растягиваются, а в вогнутой –

сжимаются.

Чистый изгиб имеет место, если в сечении возникает только изгибающий момент (рис. 5.1, а), поперечный изгиб – если одновременно с моментом возникает поперечная сила (рис. 5.1, б).

Если все нагрузки располагаются в одной силовой плоскости, то изгиб является плоским (рис. 5.2, а), если нагрузки в разных продольных плоскостях, то изгиб будет пространственным (рис. 5.2, б).

Рис. 5.1

Если силовая плоскость совпадает с одной из главных плоскостей инерции (например, zOy), то изгиб является прямым (рис.5.1, а), если силовая плоскость не совпадает ни с одной из главных плоскостей, то изгиб будет косым

(рис. 5.2, б).

Виды опор балок

137

Рассмотрим балки, поперечные сечения которых имеют вертикальную ось симметрии. Для того чтобы балка воспринимала нагрузку и передавала ее на другие части конструкции или на основание, она должна иметь опорные устройства. В зависимости от способа крепления различают три основных типа балок (рис. 5.2, а- в):

1.Двухопорная балка (одна опора - шарнирно-неподвижная, другая – шарнирно – подвижная; расстояние между опорами l называется пролетом балки).

2.Консоль (один конец жестко защемлен; длина балки a – вылет консоли).

3.Консольная балка (балка, свободно лежащая на двух опорах со свешивающимися концами – консолями).

Балки составляют большую долю элементов конструкций – это балки перекрытий, пролетные строения кранов, валы и оси механизмов, крыло самолета и т.д.

Рис. 5.2

Внутренние усилия в балках

В случае прямого изгиба все нагрузки лежат в главной плоскости zOy (рис. 5.1, а), поэтому из шести суммарных внутренних силовых факторов отличными от нуля будут Qy и Mx. Для их определения статика дает два уравнения равновесия:

∑y = 0 и ∑mx = 0

Рассмотрим консоль (рис. 5.3, а). Для определения Qy и Mx в сечении z воспользуемся методом сечений (тема 1.1).

138

Рис.5.3

Уравнения равновесия для отсеченной (левой) части консоли (рис 5.3, б):

∑Y (Fi )отс.ч. = 0 ;	и F − q z − Qy = 0 ,
Откуда Qy = F − qz .
∑mxc (Fi )отс.ч. = 0; и	− F z + q z z 2 + M x = 0 ,

Откуда M x = Fz − qz	z	.
2
Обобщая полученные результаты, приходим к следующим правилам:
Поперечная сила Qу в произвольном поперечном сечении балки численно
равна алгебраической сумме проекций на ось y всех внешних сил,			прило-
женных к отсеченной части:
		Qy = ∑Y (Fi )ост.ч	(5.1)

Изгибающий момент M x в произвольном поперечном сечении балки чис-

ленно равен алгебраической сумме моментов всех внешних сил, приложенных к отсеченной части относительно центра тяжести сечения (точка С):

M y = ∑mc (Fi )ост.ч

(5.2)

Правило знаков для Qy и Mx установим, исходя из направления внешних сил. Если внешняя сила стремится повернуть оставленную часть балки по ходу часовой стрелки относительно рассматриваемого сечения (рис. 5.4, в), то она вызывает положительную поперечную силу (и наоборот, рис. 5.4, г).

139

F

Рис. 5.4

Для определения знака M x следует вообразить оставленную часть балки за-

щемленной в проведенном сечении.

Внешняя сила или внешний момент, изгибающий балку выпуклостью вниз (растянуты нижние волокна), вызывает положительный изгибающий момент

(рис. 5.4, д).

Если выпуклость обращена вверх (растянуты верхние волокна), то это соответствует отрицательному изгибающему моменту (рис. 5.4, е).

При расчете балок строительных конструкций эпюру изгибающих моментов принято строить со стороны растянутых волокон, т.е. положительные ординаты откладывают вниз, а отрицательные - вверх от базисной линии. При расчетах элементов машиностроительных конструкций эпюру изгибающих моментов строят обычно со стороны сжатых волокон.

Дифференциальные зависимости между внутренними усилиями и интенсивностью нагрузки

Вырежем из балки (рис. 5.5, а) бесконечно малый элемент dz. Действие левой и правой отброшенных частей балки заменим внутренними усилиями Qy и M x , причем справа они имеют бесконечно малые приращения dQ и dM

(рис. 7.6 б). Составим два уравнения равновесия:

∑Y = 0; Qy − (Qy + dQy )+ q dz = 0 .	(5.3)
∑mc = 0; M x + Qy dz + qdz dz / 2 − (M x + dM x ) = 0.	(5.4)

140

Рис. 5.5

После преобразования уравнений находим дифференциальные зависимости. Из первого уравнения:

	qdz - dQy = 0 ,	dQy	= q .	(5.5)
		dz

Производная от поперечной силы по длине балки равна интенсивности распределенной нагрузки.

Из второго слагаемого (5.4), пренебрегая величиной, второго порядка малости q(dz)2 2 , имеем

	Qydz − dM x = 0 ,	dM x	= Qy .	(5.6)
		dz

Производная от изгибающего момента по длине балки равна поперечной силе.

Сравнивая (5.5) и (5.6), получаем:

d 2 M	x	=	dQy	= q.	(5.7)
dz2			dz

Полученные зависимости (5.5–5.7) действительны, если рассматривается часть балки левее сечения (если правее, то следует поставить минус). Эти зависимости используются при анализе различных вопросов, связанных с изгибом балок, в частности, при проверке правильности построения эпюр Qy и Мx. Поперечное усилие из (5.5) и изгибающий момент из (5.6) можно переписать следующим образом: