M4_10_15

2015-2016 уч. год, №4, 10 кл. Математика. Тригонометрические функции и уравнения

б) Решаем вторую систему. Её уравнение пре-

образуем к виду

2sin 2xsin x sin 2x или sin 2x 2sin x 1 0.

Если sin 2x 0, то

1

n

2x n, n Z; x

,

n Z (рис. 2).

2

В силу неравенства cos x 0

из 4-х точек на три-

Рис. 2

гонометрическом

круге системе удовлетворяет

только одна. Итак,

x 2 n, n Z,

Если же sin x

1

(рис. 3), то учитывая нера-

2

венство cos x 0 , получаем решение системы

x

7

2 n, n Z.

1

6

Отметим, что решения системы на рис. 1 и рис.

-

1

3 можно записать одной формулой:

2

Рис. 3

x 6 n,

n Z.

x

n, n Z.

Ответ. x 2 n, n Z;

x 2 n, n Z;

6

8. Нестандартные уравнения Пример 25. Решить уравнение sin4 2x cos2 x 0.

Решение. Так как оба слагаемых в левой части уравнения неотрицательны, то равенство достигается тогда и только тогда, когда каждое

слагаемое равно нулю.
sin 2x 2sin x cos x 0		cos x 0	х		n, n Z.
cos x 0				2
Ответ. х	2 n, n Z.

2015, ЗФТШ МФТИ, Лунина Мария Александровна

21

2015-2016 уч. год, №4, 10 кл. Математика. Тригонометрические функции и уравнения

Пример 26. Решить уравнение cos3x cos 2x 1.

Решение. Перепишем уравнение, перейдя от произведения к сумме:

cos5x cos x 2. Так как	cos5x 1		и cos x 1,			то cos5x cos x 2, при-
чём, если cos5x 1 или	cos x 1,		то сумма			cos5x cos x 2 . Значит,
						cos5x 1,
уравнение будет выполняться только в случае
						cos x 1.
Если cos x 1, то x 2 n,		n Z . В этом случае cos5x cos10 n 1
и система выполнена.
Ответ. x 2 n, n Z.
Пример 27. Решить уравнение sin8 x cos5 x 1.
Решение. Преобразуем уравнение
sin8 x cos5 x sin2 x cos2 x,		cos2 x 1		cos3 x		sin2 x 1 sin6 x		0. (7)

Так как сумма неотрицательных слагаемых равна нулю, то каждое из

них должно быть равно нулю.	Рассмотрим первое cos2 x 1 cos3	x		.
Оно равно нулю, если cos x 0	(в этом случае sin2 x 1 и1 sin6 x 0 ,

т.е. второе слагаемое в (7) обратится в нуль) или cos x 1 (в этом слу-

чае	sin x 0 и опять второе слагаемое в (7)		обратится в нуль). Итак,
должно		выполняться cos x 0 или	cos x 1, и значит,
x	2 n, n Z , или x 2 n, n Z.
Ответ.		x 2 n, n Z; x 2 n, n Z.

9. Уравнение с параметром

Пример 28. Найти все значения параметра a , при которых уравне-

ние cos2x 4acos x 2a2 1 0 не имеет решений. Решение. Преобразуем уравнение:

2cos2 x 1 4a cos x 2a2 1 0, cos2 x 2a cos x a2 0, cos x a 2 0.

Итак, уравнение свелось к cos x a. Оно не имеет решений, если

a1.

Ответ. a ; 1 1; .

2015, ЗФТШ МФТИ, Лунина Мария Александровна

22

2015-2016 уч. год, №4, 10 кл. Математика. Тригонометрические функции и уравнения

Пример 29. При каких значениях параметра a уравнение 3sin 2x 4cos 2x a имеет решения?

Решение. Преобразуем уравнение, используя формулу дополни-

	тельного угла:
	5sin 2x a, где			cos		3	, sin		4	.
					5			5
	Отсюда sin 2x	a									a		1 .
			. Это уравнение имеет решения при
	5										5
	Ответ. a 5; 5 .
	Пример 30. Найти все значения a				при			которых уравнение

sin2 x + 3 2a sin x 6a 0 имеет корни, и решить это уравнение. Решение. Разложив левую часть уравнения на множители, запишем

уравнение

в

виде sin x 2a sin x 3 0 .

Так как уравнение

sin x +3 0

не имеет корней, то исходное уравнение, равносильное

уравнению

sin x = 2a, имеет корни тогда и только тогда, когда

2a

1,

т. е.

1

a

1

. Эти корни определяются по формуле

2

2

x = 1 n arcsin 2a n, n Z.

Ответ.

1

a

1

; x = 1 n arcsin 2a n,

n Z.

2

2

Контрольные вопросы

1(3). Определите, какие из данных функций являются чётными, какие – нечётными, а какие не являются ни чётными, ни нечётными:

а) y

2х 3

2х 3

;

б) y

2x4 tg2 x

;

в) у х3 3х2 2х 1.

sin 3x

2(1). Докажите, что НПП функции y cos 2x является число T .

3(1). Найдите НПП функции y sin 2x .

4(2). Будет ли функция y cos x cos 3x периодической? 5(1). Постройте график функции у sin arcsin x .

6(3). Постройте график функции у arcsin sin x .

7(2). Вычислите sin4 cos4 , если sin cos 14 .

2015, ЗФТШ МФТИ, Лунина Мария Александровна

23

2015-2016 уч. год, №4, 10 кл. Математика. Тригонометрические функции и уравнения

8(1). Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения

8sin 15cos .

9(3). Вычислите:

а) arcsin sin	2	;					9						arccos sin12 .
			б) arccos cos								; в)
							8
				8		arcsin		8
10(2). Найдите sin arctg												.
				15				17

11(2). Докажите, что arctg 12 arctg 13 4 .

12(1). Решите уравнение 2sin2 x cos x 1 0.

Задачи

			Решите уравнения (1 – 10)
	2x		cos3x.
1(2). sin
		6

2(2). 2sin 2x 4cos x 3sin x 3 0. 3(2). 3sin2 x 5sin xcos x 2cos2 x 0. 4(3). 4sin2 x 3sin xcos x 2.

5(3). sin x cos x 1 sin 2x.

6(2). cos3x 1 sin 3x. 7(3). sin x sin5 x 2 4.

8(3).

7 cos x 6cos 2x 4sin x.

9(3). sin3x

sin x

sin 2x.

10(4).

sin 3x

cos3x

2

.

sin 2x

cos 2x

cos3x

11(4).

При

каких

значениях параметра

а

уравнение

х а arccos х 2 0 имеет единственное решение?

12(4). Докажите, что любая функция с областью определения, симметричной относительно х 0, есть сумма чётной и нечётной функций.

2015, ЗФТШ МФТИ, Лунина Мария Александровна

24