9_физ_1(векторы)

2015-2016 уч. год, №1, 9 кл. Физика. Векторы в физике (вводное задание)

В зависимости от значения угла проекции вектора a на оси прямоугольной системы координат могут быть положительными, отрицательными или равными нулю.

Зная проекции вектора a на оси координат, можно найти его вели-

	чину и направление по формулам:
				и tg	ay
	a a2		a2			,	(4 – 5)
		x	y		ax

причём знаки ax и ay будут указывать на

то, какому квадранту принадлежит значение

Пусть теперь нам задано векторное ра-

венство a b c (рис. 15). Проектируя все векторы на оси координат, получим очевидные равенства

cx ax bx ,	cy ay by ,
или
cx acos bcos ,	cy asin bsin ,

т. е. по проекциям векторов a и b легко находятся проекции суммарного вектора c .

y
by		b
cy	a	c
ay
O	ax	bx	x
		cx
	Рис. 15

§3. Скалярное произведение векторов

1. Определение. Скалярным произведением двух векторов a и b называется число, равное произведению модулей этих векторов на ко-

синус угла между ними, и обозначается a b. Таким образом,

	a b a b cos .			(6)
Иногда используют	более	сложные обозначения для		скалярного
произведения векторов: (ab) или даже (a,b) .
Если векторы a и b	ортогональны a b ,		то cos 0 и поэтому

a b 0. Скалярное произведение двух векторов также равно нулю, если хотя бы один из векторов является нулевым.

Если векторы коллинеарны и одинаково направлены, то cos 1, поэтому скалярное произведение векторов a и b равно произведению модулей векторов a и b . В частности, скалярное произведение вектора на самого себя равно квадрату его модуля: a a a2 .

2015, ЗФТШ МФТИ, Чугунов Алексей Юрьевич Лукьянов Андрей Александрович

11

2015-2016 уч. год, №1, 9 кл. Физика. Векторы в физике (вводное задание)

2. Имеется еще одна важная форма записи скалярного произведения

через проекции векторов в прямоугольной системе координат хОу.
Пусть в некоторой системе координат векторы a	и b имеют координа-

ты (ax ;a y ) и (bx ;by ) . Тогда для скалярного произведения векторов справедлива формула

a b axbx ayby .

(7)

Действительно, имеем

a b

(ax i a y

j ) (bx i

by

j ) ,

или после пе-

ремножения скобок a

b ax bx i i ax by i j

a y bx ji

a y by jj . Учиты-

вая, что векторы

i

и

j

единичные и взаимно перпендикулярные,

i i j j 1 и i

j j i

0 , получим (7).

y

При другом выборе системы координат векторы a и b

4

имели бы другие координаты (ax ;a y )

и (bx ;by ) . По-

этому, могло бы показаться, что в новой системе коор-								O	3	x
динат скалярное произведение векторов (7) будет иметь
другое значение. На самом деле, согласно (6) величина
скалярного произведения останется такой же: модули								-4
векторов и угол между ними не зависят от поворотов и
сдвигов системы координат.								Рис. 16
				Определите .
Пример 3. a (3; ) , a 5.
Решение.	Согласно		формуле		(4)	имеем	32 2	52 ,	откуда
2 16 и = 4.		Заметим,		что условию задачи удовлетворяют два
разных вектора (см. рис. 16).
Пример 4. Векторы a			(0;3) и b ( ;5) коллинеарны друг другу.
Определите .
Решение. Вектор a параллелен оси Oy (перпендикулярен оси Ox: ax

= 0). Поэтому коллинеарный ему вектор b также должен быть перпен-

дикулярен оси Ox, т. е. должно выполняться равенство bx = 0, т.е. =0.
Пример 5. Векторы a		( 1;3) и b ( ;5) перпендикулярны друг
другу. Определите .
Решение. Векторы	a	и b перпендикулярны друг другу, поэтому

равно нулю скалярное произведение этих векторов (см. формулу (6) и вывод после неё). Тогда по формуле (7) для скалярного произведения

векторов имеем: ( 1) 3 5 0 , откуда = 15.

2015, ЗФТШ МФТИ, Чугунов Алексей Юрьевич Лукьянов Андрей Александрович

12

2015-2016 уч. год, №1, 9 кл. Физика. Векторы в физике (вводное задание)

Пример 6.

p b(ac) c(ab) . Докажите,

что p a .

Решение. Надо доказать, что скалярное произведение векторов a и

p равно нулю. В самом деле,

a

p (ab)(ac) (ac)(ab) 0 .

Пример 7. Векторы a ,

b ,

c составляют тре-

угольник (см. рис. 17). Воспользовавшись свой-

a

ствами скалярного произведения векторов, дока-

жите теорему косинусов

b

c2

a2

b2

2abcos .

(8)

Решение. По условию задачи имеем c (a b) .

c

можно представить как

Рис. 17

Квадрат модуля вектора c

скалярное произведение его на самого себя:

c2 c

c . Вычислим это

скалярное произведение:

c

c

(a

b) (a

b)

a

a

a

b

b

a

b b a2 b2 2abcos

и угол (см. рис.17) – два смежных

Угол между векторами a и b

угла, т. е. =180о – . Поэтому имеем

c2 a2 b2 2abcos(180 ).

Пользуясь известной из тригонометрии формулой приведения cos(180 ) cos , получаем формулу (8).

Пример 8. Найдите угол

между векторами a 3i 2 j и

b 2i j.

Решение.

По

определению

скалярного

произведения

a b a b cos , где искомый угол,

a и b модули векторов a и

b соответственно. Отсюда cos

a b

. В свою очередь,

a b

a b axbx ayby 3 2 2 1 8,

2 2

1 2

b2

a ax2 ay2

32

22

13, b

b2

5.

x

y

Тогда

cos

8

8

0,992.

13

5

65

Отсюда 173 .

2015, ЗФТШ МФТИ, Чугунов Алексей Юрьевич Лукьянов Андрей Александрович

13

	2015-2016 уч. год, №1, 9 кл. Физика. Векторы в физике (вводное задание)
			§4. Примеры из физики
		Простейшие примеры векторов в физике – скорость и сила.
		1. Всякое движение можно представить как результат сложения не-
	скольких движений, его составляющих. Скорость результирующего
	движения изображается по величине и направлению диагональю па-
	раллелограмма, построенного на отрезках, изображающих составляю-
	щие скорости, как на сторонах. Рассмотрим конкретный пример.
		Пример 9. Рыбак переправляется на лодке
	A через реку, которая течёт в сторону, ука-					A	v1	B
	занную стрелкой (рис.			18). Пусть скорость		v2
							v
	течения воды v1 изображается по величине и
						C		D
	направлению отрезком AB, а скорость v2
	движения лодки относительно воды под вли-						M
	янием усилий гребца изображается отрезком					Рис. 18
	AC (в стоячей воде лодка двигалась бы по
	направлению		AC со скоростью v2 ).		Лодка будет двигаться относи-
	тельно берега по направлению AM со скоростью					v,	изображаемой
	диагональю		AD параллелограмма, построенного на векторах					v1 и v2
	(в данном случае параллелограмм ABDC является прямоугольником).
		2. Сила – как векторная величина – всегда имеет
	определённое направление, модуль, а также точку						F1
	приложения.
		Часто встречаются случаи, когда на тело дей-
	ствуют несколько сил. Тогда бывает удобно заме-
	нить их одной силой, которая производит на тело					O		F2
	такое же действие, как и несколько одновременно							F3
	действующих сил. Такую силу (если она существу-
							F4
	ет) называют равнодействующей. Нахождение рав-
	нодействующей нескольких сил осуществляется с						Рис. 19
	помощью правил векторного сложения, при этом
	слагаемые силы называют составляющими.
		Так, несколько сил, действующих на одну и ту же точку, тела, всегда
	можно заменить одной равнодействующей,
	как бы ни были направлены силы и каковы
	бы ни были их величины. Пусть, например,
	на	тело	действуют	четыре	силы
	F1 , F2 , F3 и F4 , приложенные к одной точке
	O и лежащие в одной плоскости (рис. 19).
	Тогда их равнодействующая F будет равна
	векторной сумме этих сил, найденной по
	правилу многоугольника (рис. 20).					Рис. 20
	2015, ЗФТШ МФТИ, Чугунов Алексей Юрьевич
			Лукьянов Андрей Александрович
								14

2015-2016 уч. год, №1, 9 кл. Физика. Векторы в физике (вводное задание)

Пример 10. Найти равнодействующую R трёх равных по модулю сил, приложенных к телу в одной точке и расположенных в одной плоскости, если углы между всеми силами равны между собой.

F1 F2 F3 F .

F1

Решение. См. рис. 21. Углы между парами векто-

ров F и

F

, F

и F , а также между векторами F

1

2

2

3

1

и

F

, равны друг другу и равны 120о. Сложим силы

F2

3

F

F2 и F3

по правилу параллелограмма. Вследствие

3

равенства модулей сил

F

и

F

, этот параллело-

2

3

F2+F3

грамм есть ромб. Сумма сил F2 + F3

есть диагональ

Рис. 21

ромба, поэтому углы между парами векторов

F2 и

F

+ F , а также

F

и F

+ F

равны по 60о, т. е. векторы F

и F

+ F

2

3

3

2

3

1

2

3

направлены вдоль одной прямой, но в противоположные стороны. Си-

ловой параллелограмм,

построенный на векторах F

и F , состоит из

2

3

двух равносторонних треугольников, поэтому модуль силы | F2 + F3 | =

F F F =

F

,

т. е.

F

(F F ) ,

откуда

следует

F +

2

3

1

1

2

3

2

F1 F2 F3

0 .

Пример 11. (*) К телу приложено 6 сил, лежащих в одной плоскости

и составляющих друг с другом углы в 60о. Силы последовательно рав-

ны 1, 2, 3, 4, 5 и 6 Н. Найти равнодействующую R этих 6-ти сил.

F6

F5

F3+F6

60o

F2+F5

F1

60

o

R || F5

60o

F4

F2

60o

F1+F4

F1+F4+F3+F6

F

3

Рис. 22а

Рис. 22б

Рис. 22в

Решение. Сложение сил по правилу многоугольника здесь не целесообразно. Поступим иначе. Сложим сначала попарно силы, направленные вдоль одной прямой (см. рис. 22, а-в). Получим

2015, ЗФТШ МФТИ, Чугунов Алексей Юрьевич Лукьянов Андрей Александрович

15

2015-2016 уч. год, №1, 9 кл. Физика. Векторы в физике (вводное задание)

F1

F4

4

1

3,

аналогично

F2

F5

5

2 3 и

F3 F6

6 3 3

Сумма сил F

F

направлена вдоль вектора

F . Туда же направлена и

2

5

5

сумма сил

F1 F4

F3

F6 ,

причем модуль этой силы = 3. В итоге

получаем,

что сумма

всех

шести сил

F1 F2

F3

F4

F5

F6

направлена

вдоль

направления

силы

F5 ,

а модуль этой

силы

| F1

F2

F3

F4 F5 F6 | = 3 + 3 = 6 Н.

Пример 12. (*) Найти равнодействующую R

пяти равных по модулю сил, приложенных к те-

лу в одной точке и расположенных в одной

плоскости, если углы между всеми соседними

силами равны между собой (см. рис. 23). (Эти

углы, разумеется, равны 360о/5 = 72о.)

Рис. 23

Решение. В отличие от предыдущего примера здесь мы имеем не-

чётное число сил, поэтому невозможно образовать из них целое число

пар. Поступим иначе. Возьмём какую-нибудь силу, например, F1 , а

остальные сгруппируем в пары и попарно сложим их (см. рис. 24):

F2

F5 и

F3

F4 .

F1

Почему удобна именно такая группировка сил

F2+F5

в

пары?

Дело

в том, что обе

суммы

сил

(и

72o

F2 F5 ,

и

F3 F4 ) направлены вдоль

линии

F2

F5

действия

силы

F1 . Ясно, что результирующая

36o

F4

всех сил будет направлена вдоль линии действия

F3

силы F1 .

Модули сумм сил легко найти из гео-

метрии. Например, в силовом параллелограмме,

F3+F4

построенном на векторах F2 и

F5 , который яв-

Рис. 24

ляется ромбом, длина диагонали ромба (модуль

силы F2 F5 ) равна удвоенной половинке диагонали, а та легко ищется

из любого из 4-х прямоугольных треугольников, на которые ромб раз-

бивается диагоналями. В результате | F F | 2F cos 72 , где F – мо-

2

5

дуль любой из 5-ти исходных сил. Аналогично: | F

F | 2F cos 36 .

3

4

2015, ЗФТШ МФТИ, Чугунов Алексей Юрьевич

Лукьянов Андрей Александрович

16

2015-2016 уч. год, №1, 9 кл. Физика. Векторы в физике (вводное задание)

В итоге для модуля искомой силы получаем формулу R F(1 2cos 72 2cos 36 ) (*). Для углов 72о и 36о нет таких про-

стых формул, как для углов 30о, 45о или 60о. Пользуясь калькулятором, можно, однако, показать, что согласно формуле (*) R = 0.

Имеется и более красивое доказательство того, что результирующий вектор есть нулевой вектор. В самом деле, мы довольно произвольно

взяли в качестве силы, которой не хватило пары, силу		F .	А если бы в
		1
качестве такой мы взяли силу F2 , а в пары объединили F1			и F3 (одна
пара) и F4	и F5 . Повторив рассуждения, мы получили бы, что резуль-
тирующая всех пяти сил R должна быть направлена вдоль линии дей-

ствия силы F2 . Возможно ли, чтобы вектор был одновременно направлен вдоль двух несовпадающих друг с другом направлений (и

F1, и F2 ; а на самом деле,	как догадался читатель, – ещё и вдоль
направления действия сил F3 ,	F4	и F5 !). Ненулевым вектор не может
быть! Остаётся одна возможность: суммарный вектор – нулевой!

В примерах 10 и 11 мы искали по правилу параллелограмма суммы

сил. В примере 12 мы, можно сказать, интересовались проекцией ре-

зультирующей силы на направление (например, силы F1 ). В следую-

щих примерах мы снова будем интересоваться скорее не результиру-

ющей силой, но лишь какими-то её проекциями.

C	60o	A
45o
	B
	Q
	Рис. 25

C			60	o	A
45	o	T		T	1
		2
	T2, гор		B T1, гор
			Q
		Рис. 26

Пример 13. Электрический фонарь весом Q = 16 Н укреплен, как показано на рис. 25. Определите отношение натяжений T1 и T2 в проволоках BA и BC, углы наклона которых даны на рисунке.

2015, ЗФТШ МФТИ, Чугунов Алексей Юрьевич Лукьянов Андрей Александрович

17

2015-2016 уч. год, №1, 9 кл. Физика. Векторы в физике (вводное задание)
Решение. В условиях равновесия сумма всех сил, приложенных к
точке В, равна нулю. Потому проекция результирующей всех сил на
горизонтальное направление тоже равна нулю. Проекция силы тяжести
фонаря на это направление равна нулю (эта сила вертикальна). Остают-
ся вклады от двух натяжений со стороны проволок ВА и ВС. Горизон-
тальную ось направим слева направо.						Тогда имеем: T1, гор T2, гор				0
(см. рис. 26),			т. е.	T cos 60 T cos 45					0	(или
				1			2
T sin 30 T sin 45 0 ), откуда получаем T / T									2 .
1		2					1	2
Пример 14. (*) Однородная мас-
сивная верёвка подвешена за два кон-						T1		o
ца на разных высотах (см. рис. 27).								=30
Масса веревки m. Углы, которые со-									=60o
ставляет верёвка с вертикалью в точ-
ках закрепления,			равны 30о	и	60о.				T
										2
Определите силы			натяжения веревки
вблизи точек крепления веревки.								Рис. 27
Решение. Задача кажется очень трудной, т. к. не ясно, какую роль
играет неизвестная нам форма веревки, которую она примет под дей-
ствием сил тяжести всех частей веревки. (В предыдущем примере мы
не интересовались провисанием проволок под действием силы тяжести,
молчаливо считая провисание малым.) И всё же задача в той постанов-
ке, в какой дана,			имеет простое решение.				Мысленно проведем гори-
зонтальную ось слева направо. Поскольку верёвка находится в равно-
весии, то сумма проекций всех сил на горизонтальное направление
равна нулю. Сила тяжести верёвки имеет нулевую проекцию на это
направление (эта сила направлена
вертикальна). Снова остаются вкла-					T1
ды от двух натяжений (см. рис. 28):							=30o		=60o
	T1,гор T2,гор 0 ,				T1sin30		o
или T sin30 T sin 60 0.								ц.т.		T2
1		2							T2sin60o
Полагая		sin 30 1/2		и
sin 60	3/2,		находим					mg
T1 / T2	3 .
		Мысленно проведём
ещё и вертикальную ось, направив								Рис. 28

2015, ЗФТШ МФТИ, Чугунов Алексей Юрьевич Лукьянов Андрей Александрович

18

2015-2016 уч. год, №1, 9 кл. Физика. Векторы в физике (вводное задание)

её вниз. Сумма проекций всех сил на эту ось также равна нулю:

mg T cos 30 T cos 60 0.

1

2

Учитывая найденное ранее соотношение между Т1

и Т2 и значения

cos 60 1/ 2 и cos 30

3 / 2 , получаем:

mg

3 T2

3 / 2 T2 / 2 0 ,

откуда

T2 mg / 2 и T1

mg / 2.

3

Пример 15. На гладкой наклонной плоскости с

углом наклона лежит брусок массой m. Какую

F=?

горизонтальную силу нужно приложить к бруску,

чтобы он находился в покое (см. рис. 29)? Опреде-

лите также модуль нормальной силы реакции на

Рис. 29

брусок со стороны наклонной плоскости.

Решение. Брусок по условию задачи покоится. Значит, сумма всех сил, приложенных к бруску, равна нулю. Равны нулю и суммы проек-

ций сил на любые направления, в частности,

на направление вдоль наклонной плоскости и

N

перпендикулярное ему. Нормальная сила ре-

акции N

со стороны наклонной плоскости

имеет равную нулю составляющую вдоль

F

наклонной плоскости.

Fsin

Проекция сила тяжести

mg на ось Ох

вдоль наклонной плоскости (рис. 30) равна

mgcos

mg sin ,

а проекция горизонтальной силы

mg

F на эту ось равна F cos .

Других сил вдоль

Рис. 30

наклонной

плоскости не

действует (плос-

кость, по условию задачи, гладкая, т. е. сила трения пренебрежимо мала). Приравнивая нулю сумму проекций на ось Ох всех сил, действующих на тело, получаем: mg sin F cos 0 , откуда находим

F mg sin mg tg . cos

Для отыскания N обратимся к проекциям сил на направление Оу. Приравняем нулю и сумму проекций на ось Оу:

Nmg cos F sin 0 ,

2015, ЗФТШ МФТИ, Чугунов Алексей Юрьевич

Лукьянов Андрей Александрович

19

самостоятельно.

2015, ЗФТШ МФТИ, Чугунов Алексей Юрьевич Лукьянов Андрей Александрович

2015-2016 уч. год, №1, 9 кл. Физика. Векторы в физике (вводное задание)

откуда N mg cos F sin , или с учётом найденного значения F:

N mg cos mg		sin2		mg	cos2		sin2		,
		cos					cos
тогда с учётом	основного тригонометрического тождества,
sin2 cos2 1	получаем окончательно N						mg	.
						cos

Пример 16. На шероховатой поверхности доски лежит брусок массой m. К нему приложена сила, направленная под углом к горизонту (см. рис. 31). Определите модуль нормальной силы реакции со стороны поверхности.

Решение. Поскольку брусок не проваливается

и не подскакивает вверх, то сумма проекций сил

на	вертикальную	ось	равна	нулю:
N F sin mg 0		(см.	рис. 32),	откуда

находим

N mg F sin .

Рис. 31

y
N	Fsin	F
		x
	mg
	Рис. 32

Замечание. Часто совершенно безосновательно приравнивают силу реакции N силе тяжести mg. Мы видим, что даже в случае горизонтальной поверхности это в общем случае не так. Для наклонной плоскости это тоже не так. В предыдущем примере нормальная сила реакции равнялась mg/cos . Кстати, если бы удерживающая сила F, действовала там не вдоль горизонтали, а вдоль наклонной плоскости, то для удержания бруска на наклонной плоскости потребовалась бы сила величи-

ной F mg sin ,	а нормальная сила	реакции	была бы равна
N mg cos (и	снова не равнялась	бы mg!)	Докажите это

20