Глава 04 Линейные пространства

Глава 4. Линейные пространства

159

к записи 1 a1 2a2 3a3 mam o . В результате семейст-

во векторов a1,a2 , ,am линейно зависимо (коэффициент при век-

торе a1 заведомо отличен от нуля). ◄

Размерность и базис линейного пространства

Определение 4.5. Линейное пространство V называется n-мерным,

если в нем существует семейство, содержащее n линейно незави-

симых векторов, а любое семейство, содержащее n 1 вектор, ли-

нейно зависимо. Число n называется размерностью линейного про-

странства. Для размерности линейного пространства используют обозначение4 dimV n.

Определение 4.6. Базисом n-мерного линейного пространства на-

зывается любое семейство, содержащее n линейно независимых векторов.

Векторы базиса обычно обозначают символами e1, e2 , , en .

Теорема 4.1. Любой вектор n-мерного векторного пространства можно представить в виде линейной комбинации векторов базиса,

причем такое представление единственно.

► Рассмотрим произвольный вектор a V и семейство, содержа-

щее вектор a и векторы базиса: a, e1 , e2 , , en . Поскольку по

4 Символ dimV от англ. dimension– величина, размерность.

Глава 4. Линейные пространства

160

условиям теоремы пространство V является n-мерным, указанное семейство, содержащее n 1 вектор, будет линейно зависимым.

Поэтому в равенстве

0 a 1e1 n en o									(4.3)

хотя бы один из коэффициентов i , ( i 0,1, ,n) отличен от нуля.

Число 0 заведомо не равно нулю (если мы предположим против-

ное, т.е. 0 0, то из (4.3) сразу следует линейная зависимость век-

торов e1,e2 , ,en , что противоречит определению базиса). Следо-

вательно, вектор a можно представить в виде линейной комбина-

ции векторов базиса

					1				1			2					2				n					n
	a						e								e									e
					0							0									0
или
				1						1	2					2 n									n ,		(4.4)
			a					e						e								e
где введены обозначения											i							i	,	i 1,2, ,n.
																		0

Докажем теперь единственность представления (4.4). Для этого сно-

ва предположим противное: пусть существуют два представления одного и того же вектора a :

a 1e1 2 e2 n en и a 1e1 2 e2 n en

Глава 4. Линейные пространства

161

— такие, что различна хотя бы одна пара коэффициентов, например,

1 1 . Вычитая из первого равенства второе, придем к равенству

( 1 1)e1 ( 2 2 ) e2 ( n n ) en o,

в котором 1 1 0. Последнее противоречит линейной незави-

симости векторов базиса. ◄

Определение 4.7. Если e1, e2 , , en есть какой-либо базис вектор-

ного пространства, то равенство

a 1e1 2 e2 n en

называется

разложением вектора

по базису

1,

2 , ,

n , а

a

e

e

e

числа i ,

i 1,2, ,n называются координатами вектора

в ба-

a

зисе e1,e2 , ,en .

Предположим, что вектор a имеет в базисе e1,e2 , ,en коорди-

наты 1, 2 , , n , а вектор b — координаты 1, 2 , , n :

a 1e1 2 e2 n en ,

b 1e1 2 e2 n en .

Тогда

a b ( 1 1 )e1 ( 2 2 )e2 ( n n )en

и для любого числа k R

ka k 1e1 k 2 e2 k n en ,

т.е., как и в случае геометрических векторов, при сложении двух векторов линейного пространства их соответствующие координа-

162	Глава 4. Линейные пространства

ты складываются, а при умножении вектора на число все его коор-

динаты умножаются на это число.

Отметим также, что каждая координата нулевого вектора равна

нулю: o 0 e1 0 e2 0 en .

Наконец, с учетом единственности разложения вектора по базису,

два вектора равны тогда и только тогда, когда они имеют одина-

ковые координаты.

● Критерий линейной независимости

Исследуем свойства определителя, столбцы (строки) которого образованы координатами линейно независимых векторов.

Для этого рассмотрим семейство линейно независимых векторов

a1, a2 , ,an , каждый из которых разложен по базису e1,e2 , ,en :

a1 11e1 12 e2 1n en ,

a2 21e1 22 e2 2n en ,

an n1e1 n2 e2 nn en .

Что можно сказать о координатах этих векторов? В силу единствен-

ности разложения векторов a1,a2 , ,an по базису, равенство

1a1 2 a2 n an o

равносильно однородной системе линейных уравнений:

Глава 4. Линейные пространства

163

1 11 2 21 3 31 n n1 0,

2 22 3 32

n n2 0,

1 12

0,

1 1n

2 2n

3 3n

n nn

а поскольку, по условию, семейство

1,

2 , ,

n

линейно незави-

a

a

a

симо, эта система

имеет

единственное тривиальное решение

1 2 3

n 0. Последнее означает, что главный опре-

делитель системы отличен от нуля:

11 21 31 n1

11 12 1n

12 22 32 n2

21 22 2n

0.

1n 2n 3n nn

n1 n2 nn

Таким образом, определитель, строки (столбцы) которого совпа-

дают с координатами линейно независимых векторов, отличен от нуля. Справедливо и обратное утверждение: если определитель, со-

держащий в качестве строк (столбцов) координаты некоторых век-

торов, отличен от нуля, то эти векторы будут линейно независимы-

ми. В итоге мы получаем следующую теорему.

Теорема 4.2. Для того чтобы определитель был отличен от нуля,

необходимо и достаточно, чтобы его строки (столбцы) были ли-

нейно независимы.

164	Глава 4. Линейные пространства

●Размерность и базис пространства Rn арифметических

векторов

Напомним, что пространством Rn арифметических векторов назы-

вается линейное пространство, элементами которого являются все-

возможные конечные последовательности из n действительных чи-

сел. Произвольный элемент такого пространства имеет следующий вид: a (a1,a2 , an ). Опишем размерность и базис этого про-

странства.

Теорема 4.3. Пространство Rn n-мерно.

► Доказательство теоремы проведем в два этапа. Сначала мы пока-

жем, что в Rn существует семейство из n линейно независимых векторов, а затем докажем, что любое семейство, содержащее n 1

вектор, является линейно зависимым.

Рассмотрим следующее семейство векторов пространства Rn :

en (0,0,0, ,1).

e1 (1,0,0, ,0),

e2 (0,1,0, ,0),

,

Векторы

1,

2 , ,

n

линейно независимы, так как из равенства

e

e

e

1

1 2

2 n

n

e

e

e

o

сразу следует, что все коэффициенты

i 0

(i 1,2, ,n).

В самом деле, умножая векторы базиса на i :

Глава 4. Линейные пространства

165

1e1 ( 1,0,0, ,0),

2 e2 (0, 2,0, ,0),

n en (0,0,0, , n )

и суммируя, получим:

1e1 2 e2 n en ( 1, 2 , , n ).

Учитывая, что в пространстве Rn нулевой вектор представлен ко-

нечной последовательностью, состоящей из нулей o (0,0, ,0),

придем к равенству ( 1, 2 , , n ) (0,0, ,0), и тогда

1 2 n 0.

Покажем теперь, что любое семейство, содержащее n 1

вектор, линейно зависимо. Для этого рассмотрим набор из произ-

вольных n 1 векторов пространства Rn :

a1 ( 11, 12 , 13 , , 1n ),

a2 ( 21, 22 , 23 , , 2n ),

an ( n1, n2 , n3, , nn ),

an 1

( n 1,1, n 1,2 , n 1,3, , n 1,n ).

Равенство

1

1 2

2

n

n n 1

n 1

(4.5)

a

a

a

a

o

166	Глава 4.	Линейные пространства
означает, что числа i		(i 1,2, ,n) удовлетворяют следующей
системе линейных уравнений:
11 1 21 2		n1 n n 1,1 n 1 0,
	22 2	n2 n n 1,2 n 1 0,
12 1
		(4.6)
	2n 2	nn n n 1,n n 1 0.
1n 1

Система (4.6) является однородной, и число уравнений этой системы меньше числа неизвестных. В этом случае, согласно выводам разде-

ла 1.5 первой главы, однородная система всегда имеет нетривиаль-

ные (отличные от нуля) решения. Следовательно, найдется такой набор чисел 1, 2 , , n , n 1 , среди которых хотя бы одно число отлично от нуля, что будет справедливо равенство (4.5), т.е. векторы

a1,a2 , ,an ,an 1 линейно зависимы. ◄

Из теоремы 4.3 следует, что базисом пространства Rn может служить любое семейство, содержащее n линейно независимых векторов. Как правило, в качестве векторов базиса Rn выбирают

уже указанные векторы: e1 (1,0,0, ,0), e2 (0,1,0, ,0), …, en (0,0,0, ,1), и этот базис называют стандартным базисом

пространства Rn . Любой вектор a (a1,a2 , ,an ) может быть раз-

ложен по стандартному базису:

a a1e1 a2 e2 a3 e3 an en ,

Глава 4. Линейные пространства

167

поэтому компоненты a1,a2 , ,an вектора a являются координата-

ми вектора a в базисе e1,e2 , ,en .

Взаключение этого раздела приведем два примера выбора базиса

влинейных пространствах матриц и многочленов.

Пример 4.7. Рассмотрим линейное пространство квадратных мат-

риц второго порядка. В качестве элементов базиса такого простран-

ства можно выбрать следующие четыре матрицы (четыре линейно независимых вектора):

			1		0						0		1						0		0						0		0
	e1						,	e2							,	e3							,	e4
																														.
				0	0							0	0							1	0							0	1

Любая квадратная матрица второго порядка может быть разло-

жена по указанному базису единственным образом:

a

a

A

11

12

a11e1

a12 e2

a21e3 a22 e4.

a22

a21

Пример 4.8. В (n 1)-мерном пространстве многочленов степени

не выше n в качестве базиса можно выбрать семейство следующих векторов:

e	x0	1,	e	2	x1	,	e	x2	,	,	e	n 1	xn .
1							3

При этом координатами любого многочлена в заданном базисе яв-

ляются его коэффициенты при различных степенях x :

Pn (x) a0 1 a1x a2 x2 an xn .

168	Глава 4. Линейные пространства

● Матрица перехода от базиса к базису. Преобразование

координат вектора при изменении базиса

Рассмотрим произвольное линейное пространство V размерно-

сти n. Пусть в этом пространстве заданы два базиса:

	e1, e2 , , en						(4.7)
и
		1 ,		2', ,		n .	(4.8)
	e		e		e

Так как векторы e1 ,e2 , ,en являются элементами пространст-

ва V , они, как и любой другой элемент этого пространства, могут быть разложены по базису (4.7). Предположим, что имеют место следующие разложения векторов «нового» базиса (4.8) по векторам

«старого» базиса (4.7):

1 c11

1 c21

2 cn1

n ,

e

e

e

e

2 c

1 c

2 c

n

,

e

e

22

e

n

2

e

(4.9)

12

en c1n e1 c2n e2 cnn en.

Определение 4.8. Матрицей перехода от «старого» базиса e1,e2 ,

,en к «новому» базису e1 , e2 , , en называют матрицу