pizhurin_a_a_pizhurin_a_a_modelirovanie_i_optimizaciya_proce

Обозначим через х и у искомые стороны прямоугольника, а через S - известную величину его площади. Тогда

xy=S. (4.13)

Предположим, что все бруски коробки и все створки имеют одина­ ковую площадь сечения. В этом случае количество материала, необходи­ мое для изготовления оконного блока, пропорционально его периметру Р=2х+2у, который поэтому желательно обратить в минимум. Имеем, сле­ довательно, экстремальную задачу: минимизировать функцию (2х+2у) при условии (4.13).

Результат решения не изменится, если в качестве минимизируемой функции взять полупериметр W = Р/2 = х + у -» min. Подставим в это вы­ ражение значение y = S/x. Тогда W=x+ S/x. Воспользовавшись необходи­ мым условием экстремума, возьмем производную от W по х и приравняем ее нулю: W’= 1 - (S/x2) = 0. Из двух корней полученного уравнения имеет

смысл только положительный х = V s . Тогда у = S/x = S/*js = Vs .

Докажем, что полученное решение х = у = VS действительно соот­ ветствует минимуму целевой функции. Для этого воспользуемся достаточ­ ным условием экстремума, найдя вторую производную от функции W: W" = 2S/x3. Это выражение положительно при любом х > 0, что и служит требуемым доказательством. Таким образом, оптимальным соотношением размеров прямоугольного оконного блока является равенство его сторон, т. е. оптимален оконный блок квадратной формы.

2. Предположим теперь, что оконный блок имеет двустворчатую конструкцию и задано число к, представляющее собой отношение площа­ дей сечений брусков коробки и створок. Эти площади обозначим соответ­ ственно через si и s2. Тогда к = s2/s { . Найдем оптимальные размеры х и у

рамочной конструкции в этом случае, считая, как и прежде, что должно выполняться соотношение (4.13). Для упрощения расчет проведем при­ ближенно, пренебрегая различием продольных размеров коробки и ство­ рок. Минимизируемой величиной будет их суммарный объем. Коробка оконного блока содержит в данном случае внутреннюю стойку. Поэтому объем коробки равен s{(2x + 3y) в предположении, что сечения всех ее брусков одинаковы. Для блока данной конструкции с двойным остекле­ нием объем всех створок равен s2(4x + 8>>).

Сумма этих объемов, выступающая в роли целевой функции, равна

W = sx(2х + Ъу) + s2 (4х + 8^) =

=х(2Sj + 4s2) + y(3s{ + 8^2).

Сучетом (4.13) целевая функция примет вид

102

W = x(2sl + 4s2) +

Приравняв нулю производную от этого выражения, получим урав­

нение

(2s, + 4s2) - ^ ( 3 si +8s2)=0.

Его положительное решение, т. е. оптимальное значение * = *опт

равно

Из (4.13) получим значение

^(2^2 + 4s2)

Поделив хот на у0ТП9 найдем оптимальное соотношение между раз­ мерами оконного блока:

*опт (3^1 + 8 д2 )

Уопт (2*1+4s2y

С использованием коэффициента к = s2 js xего можно переписать в

виде хот/ у от = (3 + 8&)/(2 + 4к). Если, например, к = 2, то хот/ у от =1,9.

Аналогичным образом можно рассмотреть и оптимизировать размеры дру­ гих вариантов конструкций оконных блоков.

4.2.3.Задача оптимизации размеров фигурного бруса

Влесопилении хорошо известна задача об определении размеров четырехкантного бруса, выпиливаемого из бревна, при которых объем бруса максимален. Эта задача сводится к отысканию прямоугольника мак­ симальной площади, вписанного в круг данного диаметра. Оптимальным будет брус квадратного сечения, сторона которого меньше диаметра брев-

На лесопильном оборудовании агрегатного типа выпиливают фи­ гурный брус, одна из возможных конфигураций которого изображена на рис. 4.3. Сечение вписано в окружность данного радиуса г. Брус считаем симметричным: OD=OC=a\ AD=BC=b. Решим для него аналогичную за­ дачу: каким должно быть соотношение между размерами а и Ь, чтобы пло­ щадь сечения бруса была максимальной?

103

Рис. 4.3. Фигурный брус

Часть сечения бруса в первом квадранте представляет собой шести­ угольник ODAKBC. Его площадь составляет четвертую часть всего сечения и равна сумме площадей прямоугольников ODAE и ЕКВС. Площадь перво­ го прямоугольника равна аЪ, площадь второго b(a-b). Суммарная площадь равна

S = ab + b { a - b ) = 2 a b - b 2.	(4.14)
Из треугольника ODA получим
a = J r 2 - b 2.	(4.15)
Подставив формулу для а в выражение для площади S, получим
S = 2 b j r 2 - b 2 - Ь 2.	(4.16)

Возьмем производную по Ъ от этого выражения и приравняем ее

нулю:

S' = 2-Jr2 - b 2 - 2b2/~Jr2 - b 2 - 2 b = 0.

После элементарных преобразований получим г 2 - 2 Ь 2 -

- W г 2 - Ь 2 = 0. Уединив радикал и возведя обе части уравнения в квадрат, приведем его к виду 5М - 5Ь2г 2 + г4 = 0.

Рассмотрим только положительные решения этого биквадратного уравнения, имеющие физический смысл:

' V ю

2 V ю

По формуле	(4.15) получим соответствующие значения пара­
метра а:
	а\ =	~ ry]{s + j5)/\0;
	аг =Vr2 ~ Ч =W (5 -V5)/lO;
Видно, что а\=Ъг и а2=Ьи т. е. оба решения дают одни и те же раз­
меры бруса:	26, = 2я2 = 2r~J{5 - Viij/lO * 0,5257с/;		262 = 2а, =
= 2гтД5 + л/5)/ю « 0,8506^, где d=2r. Отношение этих размеров равно
а = У а , = a j h		=^{5-4s)l{5 + S ) =
	= (V 5-l)/2* 0,618.		(4.17)

Нетрудно убедиться, что вторая производная от функции (4.16) отрица­ тельна, и, следовательно, найденные размеры бруса действительно соот­ ветствуют максимальной площади его сечения.

Интересно сравнить площади сечений фигурного бруса оп­ тимальных размеров и бруса квадратного сечения. Подставив в формулу

(4.14) значения b = bx= Гл]{в - V5)/l0 и а = ах= Гд/(5 + VJj/lO , получим по­ сле преобразования

Это четверть сечения бруса. Вся же его площадь равна

S,=4Soirr= 4 a r2.

Для квадратного бруса площадь сечения равна

S2 =i^rj42f = 2 г 2.

Искомое отношение площадей сечений составит

St/Si = 4 a r2/(2r2)= 2a *1,236.

Следовательно, объем пиломатериалов при выработке фигурного бруса оптимальных размеров примерно на 24 % выше, чем при выпилива­ нии бруса квадратного сечения.

Полученное отношение a = (>/5 - 1)/2 известно со времен Евклида и называется золотым сечением. К нему приводит деление отрезка на две неравные части так, чтобы отношение всего отрезка к большей его части равнялось отношению большей части к меньшей. Это отношение получа­

ется при решении самых различных задач, в том числе в задачах о наи­ лучших пропорциях архитектурных сооружений.

Ниже приведены условия еще нескольких простейших опти­ мизационных задач, которые могут быть решены самостоятельно.

1. Бункер для щепы круглого сечения и формы, изображенный на рис. 4.4, изготовлен из однородного материала постоянной толщины. Со­ ставить систему алгебраических уравнений, по результатам решения кото­ рой при заданных значениях В, г, h и объеме V бункера можно определить величины R и Я, для которых минимален расход материала на изготовле­ ние бункера.

2. При склеивании заготовок по длине на зубчатый шип используют шипы с затуплением (рис. 4.5, а) и без затупления (рис. 4.5, б). Прочность клеевого соединения пропорциональна площади склеиваемых поверхно­ стей. Определить, какая из конфигураций шипов будет наилучшей, исходя из этого критерия при заданном шаге t и высоте h шипов. В случае, если окажется предпочтительнее шип с затуплением, найти оптимальное соот­ ношение размеров t и d.

2R

	а	б
Рис. 4.4. Бункер для щепы	Рис. 4.5. Конфигурация типов шипов:

а- с затуплением; б - без затупления

3.Известно, что момент сопротивления четырехбитного бруса ра­ вен величине 6Л2/6, где Ъ- ширина; h - высота бруса. Какими должны

быть размеры бруса, выпиливаемого из бревна с заданным вершинным диаметром d, чтобы его момент сопротивления был максимальным?

4.2.4. Численные методы отыскания экстремума. Метод дихотомии

Несмотря на то, что необходимые и достаточные условия экстре­ мума получены, вопрос о его отыскании' даже для рассматриваемого одно­ мерного случая нельзя считать исчерпанным. Часто бывает, во-первых, что

уравнение /'(х 1)=0 не поддается аналитическому решению. Во-вторых,

функция f ix 1) может быть не задана аналитически. Например, ее значение в каждом случае может определяться по результатам работы некоторой компьютерной подпрограммы. Аналогичным образом обстоит дело в зада­ чах экспериментальной оптимизации. В этом случае исследователь-экспе­ риментатор располагает лишь возможностью постановки опытов при раз­ личных значениях аргумента х\. По результатам каждого из них определя­ ется соответствующее значение функции / (х\), но не ее аналитическое представление. Завершается серия опытов опытом вблизи точки экстрему­ ма.

В подобных случаях определяют экстремум функций численными или аналогичными им экспериментальными методами. Это, в частности, рассматриваемые ниже методы дихотомии, золотого сечения и градиент­ ный метод. В каждом случае решается задача отыскания максимума функ­ ции одной переменной/(*]), заданной на отрезке (x]mjn ... x\max). Предпо­ лагается, кроме того, что эта функция имеет на данном отрезке единствен­ ный максимум. Такие функции называют унимодальными. Других сведе­ ний относительно целевой функции, в том числе и знания ее аналитического представления, не потребуется. Необходимо только иметь возможность определять значение функции в любой точке отрезка

( * i m in • ♦• ^ l m a x ) *

Поиск экстремума численными методами можно рассматривать как своего рода вычислительный эксперимент. Поэтому в литературе при опи­ сании соответствующих методов часто используют экспериментальную терминологию. Так, вместо слов «вычислим значение функции в точке х {» говорят: «поставим опыт в точке Х \» и т. п.

Рассматриваемые методы предполагают последовательную проце­ дуру поиска экстремума, при которой очередной этап исследования плани­ руется в зависимости от результатов предыдущих этапов. Менее эффек­ тивна пассивная стратегия, когда все опыты планируются заранее, т. е. до начала самой процедуры поиска.

Метод дихотомии, или метод половинного деления. На первом этапе вычисляются значения целевой функции в двух точках *ц и хп, рас­ положенных симметрично относительно середины диапазона варьирова­ ния переменной х\ и возможно ближе друг к другу. Здесь хи и х]2 - значе­ ния переменной х\ в первой и второй точках соответственно, и Х\2>Х\\. Обозначим через s разность между значениями переменной х\ в этих точ­ ках: £ = хп - х п . Значение переменной х\ в каждом из поставленных опы­ тов, очевидно, равно

*п = *1°^ “ е/2 ’ *12 = *i°^ +

где - абсцисса середины диапазона варьирования переменной хь опре­ деляемая по формуле

107

*1(0) = (*lmin + *lmax )/2-

Величина e выбирается возможно меньшей, но достаточной для то­ го, чтобы можно было зафиксировать различие результатов опытов.

Обозначим через у\ и у 2 результаты соответственно первого и вто­ рого опытов, т. е. значения целевой функции в точках х и и х]2. Пусть ока­ залось, например, что>»1>у2 (рис. 4.6). При предположении об унимодаль­ ности функции отклика максимум не может находиться правее точки х\2.

Поэтому точку	оптимума		х\от следует	искать в диапазоне
*lmi„ ^ * 1 0 ^ * 1 2 -		* Г4
■'
			У1'
			Уг
		л	Л
	1-........		„ ...............	1	*'
О	^ l m i n	- ^ 1 3 ^ 1 4	^ 1 1 ^ 1 2	^ 1	max

Рис. 4.6. Схема метода дихотомии

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Рис. 4.7. Равномерное расположение опытов при пассивном поиске

На следующем этапе, аналогично предыдущему, планируется по­ становка очередных двух опытов вблизи центра нового диапазона. Ус­ ловия этих опытов:

х,з = х,(1) - е/2; хн = х,(1) + е/2, где х,(1) = (*lmin + х12 )/2.

Пусть уз<у4. Значит, из дальнейшего рассмотрения можно исклю­ чить интервал от хш пдо хи. Поэтому следующие два опыта ставятся вбли­ зи середины интервала (*i3, х\2) и т. д. Таким образом, в методе дихотомии по результатам каждой пары опытов интервал, в котором может находить­ ся искомая точка оптимума, сокращается почти вдвое. Этот интервал на­ зывается интервалом неопределенности.

Сравним эффективность рассмотренного метода с эффективностью пассивной процедуры, при которой условия проведения всех опытов должны быть заданы заранее. Предположим, что запланирована постанов­ ка восьми опытов: N=8. По методу дихотомии в этом случае будет постав­ лено четыре серии по два опыта в каждой, в результате чего исходный ин­ тервал неопределенности уменьшится почти в 24 = 16 раз.

У

У, У% •

J

.1	........			1 .*<
О * 1min	*11	* 1 2	* 1 3	* 1 шах

Рис. 4.8. Схема метода золотого сечения

Будем считать, что при пассивном поиске точки расположены в диапазоне варьирования равномерно (точки 7, 2, ..., 8 на рис. 4.7). Тогда при постановке N опытов исходный диапазон будет поделен на (N - 1) ин­ тервалов. По результатам всего эксперимента интервал неопределенности будет равен двум полученным интервалам (интервал между точками 4 и б), т. е. уменьшится по сравнению с исходным в (N - 1)/2 раз. Для восьми то­ чек интервал неопределенности уменьшится, следовательно, только в 3,5 раза. Таким образом, при поиске по методу дихотомии величина интервала неопределенности убывает с ростом N обратно пропорционально величине 2n9 а при пассивном поиске обратно пропорционально числу N. Поэтому, чем больше N, тем эффективнее метод дихотомии по сравнению с пассив­ ным поиском.

4.2.5. Метод золотого сечения

Этот метод более эффективен, чем метод дихотомии. Как и по пре­ дыдущему методу, на первой итерации ставятся два опыта. Однако на ка­ ждом последующем этапе требуется постановка только одного опыта.

По методу золотого сечения значения переменной Х\ в первых двух опытах соответственно равны хи =*lmin +0,382 (*lmax

*12 = ^Imin + 0,618 (jCimax - *imin)- ИНЫМИ СЛОВаМИ, раССТОЯНИе ОТ ТОЧКИ *11 д о л евой границы диап азон а варьирования п ер ем ен н ой ххсоставляет 0,382 его

длины , а расстояни е от точки х]2 д о	этой ж е границы - 0,618 его длины .
П ри этом о б е точки располагаю тся	на отр езк е си м м етри ч н о, поскольку
0,618= 1 -0,382.

По результатам постановки первых двух опытов возможны сле­ дующие варианты:

1) У\>Уъ в этом случае, из дальнейшего рассмотрения исключается отрезок (х\2 •. • *imax) (при условии поиска максимума функции);

2 )у \<у 2 (рис. 4.8) исключается отрезок (ximjn ... *ц).

Оставшийся отрезок в любом случае вновь делится двумя точками на три отрезка в том же отношении 0,382 и 0,618. Достоинство данного ме­ тода заключается в том, что, начиная со второй итерации, при делении ка­ ждого очередного отрезка в указанном отношении одна из новых точек де­ ления обязательно совпадет со старой точкой, в которой уже был постав­ лен опыт. Так, для случая иллюстрируемого рис. 4.8, при делении отрезка (*п ••• *imax) получим старую точку хп и новую точку *13. Поэтому на вто­ рой итерации надо поставить только один опыт в точке Аналогичным образом ставится по одному опыту на каждой последующей итерации.

Отметим, что число 0,618, фигурирующее в описании метода, пред­

ставляет собой приближенное значение величины а = 0,5(л/5 - 1)« 0,618033 (см. п. 4.2.3). Квадрат числа а дает другую точку деления единичного от­ резка в данном методе: а 2 «0,382. Интервал неопределенности после каж­ дой итерации уменьшается здесь в 1/а раз.

Постановку опытов по методу золотого сечения удобно выполнять с использованием следующего алгоритма [6].

Ш а г 1. Примем A ,= x ]min;	А 2= х1тах; Н = А 2- А 1; хлев=Л ,+
2	и д:пр ставят опыты. Обозначим их
+ а Н ; л:пр = Ах+ аН . В точках хлев

результаты .у^лев) И у(хир).

Ша г 2. Сравним у(хлев) и _у(хПр). Если .К*лев) > Я*пР), перейдем к шагу 3. Еслиу(*лев) <_у(хпр), перейдем к шагу 4.

Ша г 3. Примем А2=хпр и Н = хпр - Ах. Прекратим эксперимент,

если Н достаточно мало. В противном случае в качестве нового хпр выбе­ рем предыдущее хлев»а в качестве нового л:лев - точку (^tj+ а 2# ). Поставим опыт в точке хлев и вернемся к выполнению шага 2.

Ш а г 4. Примем A\=xntBи Н = А2 - хлев. Прекратим эксперимент, если Н достаточно мало. В противном случае в качестве нового дглев выбе­

рем предыдущее хпр, а в качестве нового хпр точку (А}+ аН ). Поставим

опыт в точке хпр и вернемся к выполнению шага 2.

Пример. Применение метода золотого сечения в экспериментальном ис­ следовании.

Оптимизируется процесс отверждения лакового покрытия при облучении ультрафиолетовыми лучами. При фиксированной интенсивности облучения в 150 ООО лк требуется определить такое время облучения t, мин, при котором когезион­ ная прочность покрытия максимальна: у = aPi МПа. Фактор t решено варьировать в диа­ пазоне 1 < t, мин < 3. Расчет условий проведения опытов и их результаты приведены в

табл. 4.1.

Т а б л и ц а 4.1

	Номер	Шаг	Условия и результаты опытов
	итерации
		2	3
	1
	0	1	Лi=l, А2=3>Я=2, хЛев=1,764, хПр=2,236
	1	2	>>(1,764)=14,8;Х2,236)=16,5
			А 1=1,764; Н=3 -1,764=1,236; *лев=2,236;
			хпр = 1,764 + 0,618х 1,236 = 2,528

22 у(2,236)=16,5 (старый опыт);Х2,528)=18 (новый опыт);

4 Л1=2,236; Я=3 -2,236=0,764; *лсв=2,528;

*пр =2,236 + 0,618x0,764 = 2,708

32 Х2,528)=18,0 (старый опыт); y(2J0S)= 17,2 (новый опыт); 3 А2=2,708; Я =2,708-2,236=0,472; хпр=2,528;

хлев =2,236 + 0,382-0,472 = 2,416

42 jy(2,416)=17,8 (новый опыт); Х2,528)=18,0 (старый опыт); 4 Л,=2,416; Я =2,708-2,416=0,292; хлев=2,528;

*пр = 2,416 + 0,618 • 0,292 = 2,596

52 Х2,528)=18,0 (старый опыт); Х2,596)=17,6 (новый опыт); 3 ^2=2,596; Я=2,596-2,416=0,18; *пр=2,528;

хлев =2,416 + 0,382-0,18 = 2,485

62 Х2,485)=18,2 (новый опыт);Х2,528)-18 (старый опыт); 3 А2=2,528; Я=2,528 - 2,416=0,112

На шестой итерации интервал неопределенности сократился до 0,112 мин, т. е. примерно до 7 с, что послужило основанием для прекращения эксперимента. Опти­ мальной, таким образом, является длительность облучения, равная 2,485 мин, при ко­ торой прочность покрытия соответствует 18,2 МПа.

4.2.6, Градиентный метод

Этот метод для решения одномерных задач оптимизации менее эф­ фективен, чем рассмотренные выше методы дихотомии и золотого сече­ ния. Однако благодаря своей простоте он широко применяется для опти­ мизации объектов автоматического управления. Кроме того, градиентный метод, в отличие от рассмотренных выше методов, удается обобщить на