Физика кр3,4

X = ACOSω1T	(1)
y = ACOSω2t ,	(2)

где А1 = 1 см; ω 1 = π с-1; А2 = 2 см; ω 2 = π /2 с-1.

Найти уравнение траектории точки. Построить траекторию с соблюдением масштаба и указать направление движения точки.

Дано:

X = ACOSω1T ;

y = ACOSω2t

А1 = 1 см = 0,01м;

А2 = 2 см = 0,02м; ω1 = π с-1; ω2 = π/2 с-1

y= f (х)?

Решение.

Чтобы определить траекторию точки, исключим время из уравнений (1) и

(2). Заметив, что y = ACOSω2t , применим формулу косинуса половинного угла:

соs(α	) = ± (1+ cosα ) / 2 .	(3)
2

Используя это соотношение и отбросив размерности x и y, можно написать:

ω1t

1 + COS ω1t

y = 2 COS

= 2

;

2

2

X = COSω1T ,

откуда

Y = ±2 (1 + X) / 2

или Y = ± 2X + 2 .

(3)

Выражение

(3)

есть

уравнение параболы, ось которой совпадает с осью

ОХ. Как показывают уравнения (I) и

(2), амплитуда колебаний точки по

оси OX равна

1, а

по

оси ОУ

- 2.

Следовательно, абсциссы

всех точек

траектории заключены в пределах от -1 до +1, а ординаты – от -2 до +2. Для построения траектории найдем по уравнению (3) значения y, соответствующие ряду значений x удовлетворявших условию X ≤ 1:

11

x	y = 2X + 2	х		y = 2X + 2
- 1	0		0	± 1,41
- 0,75	± 0,71		0,5	± 1,73
- 0,5	± 1	1	± 2
			2	Y
				I
				1
	-1			1	x
				-1
				II
			-2
		Рис.

Начертив координатные оси и выбрав единицу длины - сантиметр, построим точки. Соединив их плавной кривой, получим траекторию результирующего колебания точки, та представляет собой часть параболы, заключенной внутри прямоугольника амплитуд.

Далее определим направление движения точки. Из уравнений (1) и (2) находим, что период колебаний точки по горизонтальной оси Тх = 2 с, а по вертикальной оси Ту = 4 с.

Следовательно, когда точка совершает одно полное колебание по оси ОХ, она совершает только половину полного колебания по оси OY. В начальный момент (t = 0) имеем: х = 1, у = 2 (точка находится в положении 1). При t = 1 с получим: х = -1 и у = 0 (точка находится в вершине параболы). При t = 2 с получим: х = 1 и у = -2 (точка находится в положении 2). После этого она будет двигаться в обратном направлении.

Ответ: уравнение движения точки Y = ±2X + 2 есть уравнение параболы; траектория движения точки изображена на рисунке.

Задача 3. Плоская волна распространяется в упругой среде со скоростью 100 м/с. Наименьшее расстояние между точками среды, фазы колебаний которых противоположны, равно 1м. Определить период колебаний и частоту.

12

Дано:

υ= 1 0 0 м / с ;

х= 1м

__________________

T − ? ν − ?

Решение.

Точки, находящиеся друг от друга на расстоянии, равном длине волны, колеблются с разностью фаз, равной 2π. Точки, находящиеся друг от друга на любом расстоянии, колеблются с разностью фаз, равной

ϕ =	2π	(1)
	х

λ

Решая это равенство относительно λ, получаем:

λ = 2π х / ϕ

(2)

По условию задачи ϕ = π.

Подставляя значения величин, входящих в выражение (2), получим:

	2π 1
λ =		= 2( м) .
	π

Скорость υ распространения волны связана с длиной волны λ и периодом колебаний Т отношением:

λ = υ Т = υ / ν ,					(3)
где ν – частота колебаний
Из выражения (3) определяем частоту колебаний:
ν =	υ		.
	λ
Период колебаний
T =		1		.
	ν

Проверка размерности расчетных формул:

	ν	=	м	=	1	= Гц ; T =				1	= C .
	[ ]		с м с							C−1
	Вычисление: ν =						100		= 50(Гц) ;
							2

Ответ: частота колебаний равна 50Гц, период колебаний равен 0,02 с.

13

Задача 4. Тонкое кольцо радиуса R совершает малые колебания около точки О (рис.). Найти период колебаний, если они происходят в плоскости рисунка.

Дано: R - радиус кольца	O
_____________________
T- ?
	O1

R

MG

Рис.

Решение.

При отклонении центра кольца от вертикали, проходящей через точку подвеса (рис.) на небольшой угол ϕ (ϕ << 1) на кольцо действует момент силы тяжести, возвращающий его в положение равновесия.

M = −MGR SIN ϕ = −MGRϕ .

(1)

Основное уравнение динамики твердого тела выглядит в данном случае следующим образом:

J	d 2ϕ		= M ,	(2)
	dt	2

где М - момент силы тяжести, J – момент инерции кольца относительно точки O .

Согласно теореме Штейнера

J = JC + MA 2						(3)
где J C = MR 2 – момент инерции кольца относительно оси, проходящей
через его центр масс перпендикулярно плоскости кольца;						A = R .
Следовательно,
				J = 2MR 2		(4)
Подставляя (1) и (4) в (2), получим:
	2		d 2ϕ
2mR					+ mgRϕ = 0 ,	(5)
			dt	2
						14

откуда приходим к уравнению малых колебаний кольца:

D 2ϕ

2

ϕ = 0 ,

+ ω0

DT

2

где

ω0 =

2π

G

- круговая частота колебаний.

=

2R

T

Из формулы (7) выражаем период колебания кольца:

T = 2π

2R

.

G

Проверка размерности: [T]=

м с2

= с

м

Ответ: период колебаний кольца T = 2π

2R

.

G

(6)

(7)

Задача 5. Наблюдатель, стоящий на станции, слышит гудок проходящего электровоза. Когда электровоз приближается, частота звуковых колебаний гудка равна ν1 , а когда удаляется - ν 2 . Принимая, что скорость звука известна, определить: 1) скорость υèñò электровоза;

2) собственную частоту ν 0 колебаний гудка.

Дано:

ν1 - частота воспринимаемого сигнала при приближении электровоза;

ν2 - частота воспринимаемого сигнала при удалении электровоза;

υ- скорость звука.

________________

1)υèñò - ?

2)ν 0 - ?

Решение.

Согласно формуле, выражающей частоту ν воспринимаемого сигнала в эффекте Доплера:

ν =	(υ ±υïð )ν 0	,	(1)
	υ ±υèñò

где ν - частота звука, воспринимаемая движущимся приемником;

15

ν0 - частота звука, посылаемого источником;

υïð - скорость движения приемника звука;

υèñò - скорость движения источник звука;

υ- скорость звука.

По условию задачи скорость приемника υïð = 0 , следовательно,

υν 0

ν1 =

υ −υèñò

υν 0

ν 2 =

υ +υèñò

ν =	υν 0	,

υ ±υèñò

(электровоз приближается к наблюдателю);

(электровоз удаляется от наблюдателя).

Из уравнений (3) и (4) выражаем скорость источника звука:

υèñò

=

ν1 −ν 2

υ .

ν1 +ν 2

ν1 =

υν 0

=

ν 0 (ν1 +ν 2 )

,

−ν

υ −

ν

1

2

2ν

2

υ

ν1 +ν 2

ν 0 =

2ν1ν 2

.

ν1 +ν 2

Ответ: скорость электровоза υèñò

=

ν1 −ν 2

υ ,

ν1 +ν 2

собственная частота колебаний гудка ν 0

=

2ν1ν 2

.

ν1 +ν 2

Электромагнитные колебания и волны Основные законы и формулы

1.Собственная частота колебательного контура

ω0 =		1		,
		LC

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

16

где L – индуктивность катушки;

С - электроемкость конденсатора.

2.

Дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний

заряда в контуре и его решение:

&&

1

Q = 0 ,

Q = QM COS(ω0T + ϕ),

Q +

LC

где QM - амплитуда

колебаний заряда;

ω0 -

собственная частота

колебательного контура.

3. Сила тока в колебательном контуре и напряжение на конденсаторе в

случае гармонических электромагнитных колебаний:

DQ

&

π

I =

= Q = −ω0QM SIN(ω0T +

ϕ) = I M COS ω

0T + ϕ +

;

DT

2

U =

Q

=

QM

COS(ω

0T + ϕ) = UM COS(ω0T + ϕ),

C

C

где IM = ω0QM

- амплитуда силы тока;

U = QM - амплитуда напряжения;

M

C

ω0 - собственная частота контура.

4. Формула Томсона, устанавливающая связь между периодом Т собственных колебаний в контуре без активного сопротивления, индуктивностью L и электроемкостью С,

T= 2π LC .

5.Эффективные (действующие) значения напряжения и силы переменного тока:

U		=	U	m		,
	Д
		2

IД = I Д	=	I	m		,
	2

где Um и Im – амплитудные значения напряжения и силы тока.

6. Закон Ома для цепи переменного тока, содержащей последовательно соединенные резистор сопротивлением R, катушку индуктивностью L и конденсатор емкостью С :

Im = IM	=	UM	или I Д	=	U Д	,
		Ζ
					Ζ

где Z - полное сопротивление цепи:

Z = R2 + ( XL − XC )2 ;

17

XL - индуктивное сопротивление:

XL = ωL

XC - емкостное сопротивление:

X C =	1	.
	ω С

ω – круговая частота переменного тока.

При этом сдвиг фаз между напряжением и силой тока определяется из условия:

tgϕ =	X L − XC	или COSϕ =	R	.
	R
			Ζ

7. Средняя мощность, выделяемая в цепи переменного тока:

< P >= I Д U Д COSϕ ,

где ϕ – сдвиг фаз между напряжением и силой тока. 8. Коэффициент мощности

	COSϕ =			R					,
			R2 +		−	1	2
				ωL
						(ωC)

где R – активное сопротивление;

ωL - реактивное индуктивное сопротивление;

1 - реактивное емкостное сопротивление.

ωC

9. Волновое уравнение электромагнитной волны

2

R

E =

1

∂

E ,

R

2

∂t

2

υ

2

R

H =

12

∂

H2 ,

R

υ

∂T

∂2

∂ 2

∂2

где =

+

+

- оператор Лапласа;

∂x

2

∂y

2

∂z

2

υ- фазовая скорость электромагнитной волны.

10.Фазовая скорость распространения электромагнитных волн в среде:

υ =		с		,
		εµ

18

где с = 3·108 м/c - скорость электромагнитных волн в вакууме. 11. Уравнение плоской электромагнитной волны

			R	R
			E = E0 COS(ωT − KX + ϕ),
			R	R
			H = H 0 COS(ωT − KX + ϕ) ,
где	R	R	- соответственно амплитуды напряженностей
	E0 è	H0

электрического и магнитного полей волны; ω - круговая частота;

K = ω - волновое число;

υ

ϕ - начальная фаза колебаний в точке с координатой X = 0 .

12. Связь длины электромагнитной волны с периодом Т и частотой ν

колебаний:

λ = υT или

λ = υ / ν .

13. В плоской электромагнитной волне

E εε 0 = H

µµ0 ,

где ε 0

= 8,85 10−12 Ô / ì

- электрическая постоянная;

µ0

= 4π 10−7 Ãí / ì - магнитная постоянная;

ε

è

µ - диэлектрическая и магнитная проницаемости среды.

14. Объемная плотность энергии электромагнитных волн

ω =

1

(ε0εE2 + µ

0 µH 2 ) = ε0εE2 = µ0 µH 2 = E H

=

E H

,

ε0εµ0 µ

2

υ

где E - напряженность электрического поля волны;

H- напряженность магнитного поля волны;

υ- фазовая скорость электромагнитной волны.

15. Вектор плотности потока энергии электромагнитной волны – вектор Пойтинга:

R	R R
Ï	= ωυ = [E, H ],
	R

где ω - объемная плотность энергии электромагнитных волн; υ - фазовая скорость электромагнитной волны;

R

E - вектор напряженности электрического поля волны;

R

H - вектор напряженности магнитного поля волны

Модуль вектора Пойтинга равен плотности энергии электромагнитной волны.

Примеры решения задач по теме «Электромагнитные колебания и волны»

19

Задача 1. Разность потенциалов между обкладками конденсатора емкостью 0,5 мкФ в колебательном контуре изменяется со временем по закону U = 100 sin1000πt [B]. Определить период собственных колебаний, индуктивность, полную энергию контура и максимальную силу тока, текущего по катушке индуктивности. Активным сопротивлением контура пренебречь.

Дано:

C = 0,5мкФ = 0,5 10−6Ф;

Um = 100 B;

ω = 103 π рад/с

T = ? ω = ? Im = ? L = ?

Решение.

Напряжение на конденсаторе изменяется по гармоническому закону

U = U M SIN ωT ,

(1)

где Um - амплитудное (максимальное) значение напряжения на обкладках

конденсатора;

ω - собственная круговая частота колебаний, которая связана с периодом

соотношением

T =

2π

.

(2)

ω

Отсюда находим:

T =

2π

= 2 10−3 (C) .

103π

Период собственных колебаний в контуре определяется по формуле

Томсона:

T = 2π

LC .

(3)

Следовательно,

L

T 2

.

(4)

=

2

4π

C

Проверка размерности расчетной формулы:

[L] =

c2

=

рад

2

Ф

2

[L] =

c2

с2

В

с2

В

=

=

= Гн

2

Ф

Кл

А с

Вычисление:

20