- •1. Дифференциальные уравнения I порядка. Уравнения с разделяющимися переменными
- •1.1. Дифференциальные уравнения I порядка. Общие понятия
- •1.2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
- •2. Однородные дифференциальные уравнения. Уравнения в полных дифференциалах
- •2.1. Однородные дифференциальные уравнения I порядка
- •2.2. Уравнения в полных дифференциалах
- •3.2. Уравнения Бернулли
- •5.2. Неоднородные линейные уравнения ІІ порядка с постоянными коэффициентами. Метод Эйлера вариации произвольных постоянных
- •6. Линейные неоднородные уравнения ІІ порядка с постоянными коэффициентами. Метод Лагранжа неопределенных коэффициентов
- •7. Системы дифференциальных уравнений
- •7.1 Нормальная система дифференциальных уравнений
- •Модуль 10. Кратные интегралы
- •1. Двойной интеграл
- •1.1. Объём цилиндрического тела
- •1.2. Вычисление двойных интегралов в декартовых координатах
- •1.3. Вычисление двойных интегралов в полярных координатах
- •1.4. Приложения двойных интегралов к задачам механики
- •1.5. Вычисление площадей и объёмов с помощью двойных интегралов.
- •1.6. Вычисление площади поверхности.
- •2. Тройной интеграл
- •2.1. Масса неоднородного тела
- •2.2. Вычисление тройных интегралов в декартовых координатах.
- •2.3. Вычисления тройных интегралов в цилиндрических координатах.
- •2.4. Вычисление тройных интегралов в сферических координатах
- •2.5. Приложение тройных интегралов.
- •Модуль 11. Криволинейные и поверхностные интегралы
- •1. Криволинейные интегралы
- •1.1. Криволинейный интеграл первого типа (по длине дуги)
- •1.3. Формула Грина
- •1.4. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования
- •1.5. Связь между криволинейными интегралами первого и второго типов
- •2. Поверхностные интегралы
- •2.1. Поверхностные интегралы первого типа
- •2.2. Понятие двухсторонней поверхности. Ориентация поверхности
- •2.3. Поверхностный интеграл второго типа (по проекциям)
- •2.4. Связь поверхностных интегралов I и II типов
- •2.5. Формула Остроградского
- •3. Основные понятия теории поля
- •Список литературы
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ТОЛЬЯТТИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра «Высшая математика и математическое моделирование»
Ахметжанова Г.В., Павлова Е.С., Кошелева Н.Н.
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ
по высшей математике
часть III
Тольятти 2007
УДК 51(075.8) ББК 22.1я.73 Т 93
Научный редактор д.т.н., профессор П.Ф.Зибров
Т-93 Теоретический материал по высшей математике: учебно-методическое пособие для студента. Часть III. Сост.: Ахметжанова Г.В., Кошелева Н.Н., Павлова Е.С., - Тольятти: ТГУ, 2007 стр.
Утверждено научно-методическим советом факультета математики и информатики Тольяттинского государственного университета.
УДК 51(075.8) ББК 22.1я173
♥Тольяттинский Государственный Университет
2
Содержание |
|
|
Модуль 9. Дифференциальные уравнения................................................................................................................ |
4 |
|
1. |
Дифференциальные уравнения I порядка. Уравнения с разделяющимися переменными.......................... |
4 |
|
1.1. Дифференциальные уравнения I порядка. Общие понятия.................................................................. |
4 |
|
1.2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными...................................................... |
6 |
2. |
Однородные дифференциальные уравнения. Уравнения в полных дифференциалах.............................. |
10 |
|
2.1. Однородные дифференциальные уравнения I порядка....................................................................... |
10 |
|
2.2. Уравнения в полных дифференциалах ................................................................................................. |
14 |
3. |
Линейные дифференциальные уравнения Ι порядка. Уравнения Бернулли.............................................. |
17 |
|
3.1. Линейные дифференциальные уравнения Ι порядка........................................................................... |
17 |
|
3.2. Уравнения Бернулли............................................................................................................................... |
20 |
4. |
Дифференциальные уравнения ΙΙ порядка, допускающие понижение порядка........................................ |
22 |
|
4.1. Дифференциальные уравнения ΙΙ порядка. Общие понятия............................................................... |
22 |
|
4.2. Уравнения ΙΙ порядка, допускающие понижение порядка.................................................................. |
22 |
5. |
Линейные дифференциальные уравнения ΙΙ порядка коэффициентами.................................................... |
26 |
|
5.1. Однородные линейные уравнения ΙΙ порядка с постоянными коэффициентами ............................. |
26 |
|
5.2. Неоднородные линейные уравнения ІІ порядка с постоянными коэффициентами. Метод Эйлера |
|
|
вариации произвольных постоянных........................................................................................................... |
29 |
6. |
Линейные неоднородные уравнения ІІ порядка с постоянными коэффициентами. Метод Лагранжа |
|
неопределенных коэффициентов....................................................................................................................... |
31 |
|
7. |
Системы дифференциальных уравнений...................................................................................................... |
37 |
|
7.1 Нормальная система дифференциальных уравнений........................................................................... |
37 |
Модуль 10. Кратные интегралы............................................................................................................................... |
40 |
|
1. |
Двойной интеграл............................................................................................................................................ |
40 |
|
1.1. Объём цилиндрического тела................................................................................................................ |
40 |
|
1.2. Вычисление двойных интегралов в декартовых координатах............................................................ |
42 |
|
1.3. Вычисление двойных интегралов в полярных координатах............................................................... |
49 |
|
1.4. Приложения двойных интегралов к задачам механики ...................................................................... |
51 |
|
1.5. Вычисление площадей и объёмов с помощью двойных интегралов. ................................................ |
53 |
|
1.6. Вычисление площади поверхности....................................................................................................... |
54 |
2. |
Тройной интеграл............................................................................................................................................ |
57 |
|
2.1. Масса неоднородного тела..................................................................................................................... |
57 |
|
2.2. Вычисление тройных интегралов в декартовых координатах............................................................ |
58 |
|
2.3. Вычисления тройных интегралов в цилиндрических координатах. .................................................. |
60 |
|
2.4. Вычисление тройных интегралов в сферических координатах.......................................................... |
61 |
|
2.5. Приложение тройных интегралов. ........................................................................................................ |
62 |
Модуль 11. Криволинейные и поверхностные интегралы.................................................................................... |
65 |
|
1. |
Криволинейные интегралы............................................................................................................................. |
65 |
|
1.1. Криволинейный интеграл первого типа (по длине дуги).................................................................... |
65 |
|
1.2. Криволинейный интеграл второго типа (по координатам)................................................................. |
68 |
|
1.3. Формула Грина........................................................................................................................................ |
74 |
|
1.4. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования................................. |
76 |
|
1.5. Связь между криволинейными интегралами первого и второго типов............................................. |
81 |
2. |
Поверхностные интегралы ............................................................................................................................. |
84 |
|
2.1. Поверхностные интегралы первого типа.............................................................................................. |
84 |
|
2.2. Понятие двухсторонней поверхности. Ориентация поверхности...................................................... |
89 |
|
2.3. Поверхностный интеграл второго типа (по проекциям) ..................................................................... |
90 |
|
2.4. Связь поверхностных интегралов I и II типов...................................................................................... |
93 |
|
2.5. Формула Остроградского....................................................................................................................... |
96 |
3. |
Основные понятия теории поля................................................................................................................... |
100 |
Список литературы................................................................................................................................................. |
116 |
3
Модуль 9. Дифференциальные уравнения
1. Дифференциальные уравнения I порядка. Уравнения с разделяющимися переменными
1.1. Дифференциальные уравнения I порядка. Общие понятия
Обыкновенным дифференциальным уравнением 1 порядка называется уравнение вида
F(x, y, y') = 0 , |
(1.1) |
связывающее независимую переменную x, искомую функцию y = f (x) и её производную y'(x) .
При изложении теории дифференциальных уравнений чаще всего рассматриваются уравнения, разрешенные относительно производной y'(x) :
y'= f (x, y) |
(1.2) |
или уравнения в так называемой симметричной форме:
Р(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 . |
(1.3) |
Пример 1.1.1. Среди данных уравнений указать обыкновенные дифференциальные уравнения I порядка.
а) a |
|
∂u |
+ b |
∂u |
|
= f (x, y,u) ; |
||||||||||
|
|
|
∂y |
|||||||||||||
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
б) |
|
∂y |
+ y 2 |
= x3 + 1 ; |
|
|||||||||||
|
∂x |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
в) |
|
|
|
∂y 2 |
+ b |
∂y |
+ cy = f (x) ; |
|||||||||
a |
∂x |
|
|
∂x |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
г) |
5 |
d 2 y |
+ |
6 |
dy |
+ 3y |
= sin x ; |
|||||||||
|
∂x2 |
|
|
dx |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д) (x + y)dx + (x2 + y 2 )dy = 0 ; е) y' = xy ln xy .
Ответ: б); в); д); е).
Частным решением дифференциального уравнения называется любая функция y = ϕ (x) ,
которая, будучи подставленной вместе со своей производной в уравнение, обращает его в тождество
F[x,ϕ (x),ϕ '(x)] ≡ 0.
Любое дифференциальное уравнение имеет бесчисленное множество решений.
Множество всех частных решений дифференциального уравнения называется его общим решением.
Общее решение дифференциального уравнения I порядка является функцией, зависящей от одной произвольной постоянной
y = ϕ (x, c).
4
Если решение найдено в неявной форме
Φ(x, y) = c,
то его называют общим интегралом дифференциального уравнения.
Пример 1.1.2. Дано уравнение y'= 2x и функции
а) |
y = x2 ; |
б) y = 2 ; |
в) |
y = x2 + c ; |
г) y = (x + c)2 . |
Какая из функций является частным решением уравнения? Какая из функций является общим решением уравнения?
Ответ: а); в).
Задача Коши для уравнений I порядка: найти решение, которое удовлетворяло бы начальным условиям
y x=x0 = y0 ,
где x0 , y0 - заданные числа.
Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Если функция f (x, y)
уравнения (1.2) непрерывна в области D и имеет в ней непрерывную частную производную ddyϕ ,
то для любой внутренней точки M (x0 , y0 ) области D задача Коши имеет единственное решение, удовлетворяющее условиям y x=x0 = y0 , .
С геометрической точки зрения:
общее решение y = ϕ (x,c) в декартовой системе координат при различных значениях
произвольной постоянной c изображает множество кривых, которые называют интегральными кривыми;
задача Коши состоит в отыскании той интегральной кривой, которая проходит через заданную точку M 0 (x0 , y0 ) ;
дифференциальное уравнение y' = f (x, y) в каждой точке области D определяет угловой
коэффициент касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку, т.е. задает на плоскости поле направлений.
С механической точки зрения:
дифференциальное уравнение S' = f (s;t) - математическая модель изменения скорости движения некоторого физического тела;
общее решение S = ϕ (t,c) определяет общие законы движения тела;
начальные условия t = t0 , s = s0 содержат информацию о начальном состоянии тела в определенный момент времени;
частное решение S = ϕ (t) определяет такой закон движения, из которого можно получить конкретные качественные результаты о состоянии тела в любой момент времени.
В таблице 1 помещены типы дифференциальных уравнений I порядка, которые будут изучаться на занятиях.
5
1.2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
Дифференциальное уравнение I порядка y' = f (x, y) называется уравнением с разделяющимися переменными, если его правая часть есть произведение функций, одна из
которых зависит от переменной x , другая – от y: y' = f1(x) f2 ( y) .
Уравнение, записанное в симметричной форме Р(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 является уравнением с разделяющимися переменными, если множители P(x, y) и Q(x, y) представляют собой
произведение функций, из которых одна зависит только от переменной x , другая – от переменной y : ϕ1(x) ϕ 2 ( y) dx +ψ 1(x) ψ 2 ( y) dy = 0 .
Пример 1.2.1. Среди данных уравнений указать уравнения с разделяющимися переменными:
а) (sin x ln y + sin x )dx + ( xy + y )dy = 0; б) dN = kNdt;
в) y'+ay = b;
г) ay'+bxy = С, С ≠ 0;
д) m dVdt = mg − kV 2 .
Ответ: а); б); в); д).
Разделить переменные – значит преобразовать уравнение так, чтобы каждая переменная содержалась только в том слагаемом, которое содержит её дифференциал.
Для этого достаточно уравнение привести к форме dydx = f1( x ) f2 ( y )
и умножить обе его части на функцию |
dx |
, в результате чего получится |
||||
f 2 ( y ) |
||||||
|
|
|
|
|
||
|
dy |
= f1 |
(x)dx . |
|
|
|
|
f2 ( y) |
|
|
|||
|
|
|
|
|
6
Таблица 1
Типы дифференциальных уравнений I порядка
|
Тип |
уравнения |
|
Стандартная форма записи |
Особенности |
|
|
Метод решения |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
разделяющимисяС |
переменными |
|
ϕ1( x )ϕ2( y )dx + |
|
При дифференциалах – |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
от x, другая – от y |
ϕ1(x) |
|
|
|
ϕ2 ( y) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
произведения функций, |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
+ ϕ1( x )ϕ2( y )dy = 0 |
зависящих одна |
|
∫ ϕ1(x |
|
dx + |
ϕ2 ( y) dy = c |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
от x, другая – от y |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
y' = f1( x ) f2( y ) |
Правая часть – произведение |
|
dy |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
функций, зависящих одна |
∫ |
|
|
= ∫ f1(x)dx + c |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
f2 ( y) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Однородное |
|
|
|
|
|
y |
|
Правая часть – однородная |
|
|
y |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
y' = f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= u( x ) |
|||||
|
|
|
|
|
|
функции одинакового порядка |
|
|
x |
|
||||||||||||
|
|
|
|
+ Q( x, y ) dy = 0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
функция нулевого порядка |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
P( x, y ) dx + |
P(x, y),Q(x, y) - однородные |
y = u x, |
y' = u' x + u |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
полныхВ дифференциа лах |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
Y |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
P( x, y ) dx + |
|
∂P |
≡ |
∂Q |
∫ P(x, y0 )dx + ∫ Q(x, y)dy = C |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
Y0 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
+ Q( x, y ) dy = 0 |
∂y |
∂x |
X |
|
|
Y |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ P(x, y)dx |
+ ∫ Q(x0 , y)dy = C |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
Y0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y'+ P( x )y = Q( x ) |
Первой степени относительно |
y = u( x ) v( x ), |
||||||||||||
|
Линейное |
|
|
|
|
y и yx' |
|
|
y' = u' v + u v' |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
x'+ P( y )x = Q( y ) |
Первой степени относительно |
x = u( y ) v( y ), |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x' = u' v + u v′ |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x и xy' |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Бернулли |
|
|
|
y'+ P( x ) y = Q( x ) yn |
Отличается от линейного |
Аналогично |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
правой частью |
|
|
линейным |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Полученное равенство можно проинтегрировать: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
∫ |
dy |
= ∫ f1(x)dx + с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
f2 ( y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Уравнение необходимо разделить почленно на выражение ψ1(x)ϕ 2 (x) . Получаем равенство |
||||||||||||||||||||
|
|
|
ϕ1(x) |
ψ 2 ( y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
dx + |
|
dy = 0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
ψ 1 (x) |
ϕ 2 ( y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
которое можно проинтегрировать: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
∫ |
ϕ1(x) |
dx + ∫ ψ 2 ( y)dy = c . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
ψ1(x) |
|
ϕ 2 ( y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7
Пример 1.2.2. Найти решение задачи Коши для уравнения y'+аy = b , удовлетворяющее начальным условиям y(0) = 0 .
10. Определим тип уравнения (таблица 1):
y' = b − ay - уравнение с разделяющимися переменными, так как его правая часть зависит только от переменной y.
20. Разделим переменные:
dy = b − ay; |
|
dx |
|
dy |
= dx. |
b − ay |
30. Проинтегрируем полученное равенство:
−1 ∫ d(b − ay) = ∫ dx; a b − ay
−a1 ln b − ay = x + c1 .
40. Упростим результат интегрирования и запишем общее решение (общий интеграл) уравнения:
ln b − ay = −ax − ac1 , b − ay = e−ax−ac1 ,
y = |
b |
|
− |
1 |
e−ac1 e−ax , |
|||
a |
|
|
||||||
|
|
|
a |
|
||||
пусть |
|
1 |
e−ac1 |
= c, |
||||
|
|
|||||||
|
|
|
|
a |
|
|||
y = |
b |
|
+ ce−ax |
|
||||
a |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
50. Найдём значение произвольной постоянной: подставляя начальные условия x=0, y=0 в
общее решение, находим c = − b |
a |
. |
||
|
|
|
|
|
60. Запишем ответ – частное решение уравнения: |
||||
y = |
b |
(1− e−ax ). |
|
|
|
|
|
||
|
a |
|
|
Пример 1.2.3. Найти решение задачи Коши для уравнения ( x2 − 1 )y'−2xy = 0 , удовлетворяющее начальным условиям y(0)=1.
10. Определим тип уравнения:
|
y' = |
|
2x |
y - уравнение с разделяющимися переменными, |
||||||||
x2 − 1 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где |
|
f1 (x) = |
|
|
2x |
|
, f 2 ( y) = y . |
|||||
|
x 2 − 1 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
20. Разделим переменные: |
||||||||||||
|
dy |
|
= |
2x |
|
|
|
y; |
|
|||
|
dx |
x2 − |
1 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
dy |
|
= |
2x |
|
|
|
dx. |
|
|||
|
y |
x2 − |
1 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
30. Проинтегрируем обе части равенства:
8
∫ dyy = ∫ x22x− 1 dx, .
ln y = ln x2 − 1 + ln C1
Для удобства преобразований постоянная выбрана в логарифмической форме. 40. Упростим результат интегрирования:
y |
= |
c1 (x2 |
− 1) |
, |
|
y = ±c (x2 |
− 1), |
где ± c = c, то |
|||
1 |
|
|
1 |
y = c(x2 − 1).
50. Подставим начальные условия. При x=0, y=1 получаем с= − 1 . 60. Запишем ответ: y = 1 − x2 .
Пример 1.2.4. Среди интегральных кривых, удовлетворяющих уравнению
y'sin x = y ln y,
найти ту, которая проходит через точку |
M 0 |
π |
|
|
|
2 |
, l |
||
|
|
|
|
tg π
Ответ: y = e 2 .
Пример 1.2.5. Найти общее решение дифференциального уравнения
y'+ |
1 − y 2 |
= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
− x2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Указание: применить формулу |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
1 + β |
2 |
+ β |
1 − α |
2 |
|
arcsinα + arcsin β = arcsin α |
|
|
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: x 1 − y 2 + y 1 − x2 = c .
9