- •Условие изоморфизма конечномерных линейных пространств
- •Матрица перехода к новому базису, изменение координат вектора.
- •Формула для размерности суммы двух подпространств
- •Прямая сумма подпространств, различные определения
- •Линейное отображение векторных пространств, ядро и образ.
- •Матрица линейного отображения (оператора), переход к новому
- •Собственные векторы и собственные значения линейного оператора а, способы их нахождения.
- •Существование одно- или двумерного инвариантного подпространства относительно оператора, действующего в вещественном пространстве
- •Критерий диагонализируемости линейного оператора
- •Жорданова форма матрицы. Алгоритм нахождения Жордановой нормальной формы матрицы.
- •Сопряженное пространство, дуальные базисы, второе сопряженное пространство
- •Билинейные функции и формы, изменение матрицы при переходе
- •Алгоритм Лагранжа для приведения квадратичной формы к
- •Закон инерции вещественных квадратичных форм.
- •Положительно определенные квадратичные функции. Критерий Сильвестра.
- •Евклидовы пространства, условие изоморфизма.( не точно!)
- •Неравенство Коши-Буняковского. Модуль вектора, расстояние и косинус угла между векторами.
- •Процесс ортогонализации Грама-Шмидта
- •Ортогональное дополнение к подпространству евклидова пространства.
- •Ортогональные операторы и ортогональные матрицы. (не весь!)
- •Простейший вид матрицы ортогонального оператора евклидова пространства.
- •Сопряженные операторы
- •Симметрические операторы и симметрические матрицы.
- •Существование ортогонального базиса из собственных векторов симметрического оператора
- •Норма оператора. Норма симметрического оператора.
- •Приведение квадратичной формы ортогональным преобразованием к главным осям
- •Приведение пары форм к диагональному виду
- •Число обусловленности матрицы. Связь с приближенным решением систем линейных уравнений
-
Условие изоморфизма конечномерных линейных пространств
Два линейных пространства иназываютсяизоморфными, если между их элементами можно установить такое взаимно однозначное соответствие, что выполняются условия:
1) сумме векторов пространства соответствует сумма соответствующих векторов пространства
2) произведению числа на вектор пространства соответствует про изведение того же числа на соответствующий вектор пространства
Другими словами, изоморфизм — это взаимно однозначное соответствие, сохраняющее линейные операции
-
Матрица перехода к новому базису, изменение координат вектора.
Пусть векторы , ... , образуют базис пространства V, а векторы , , ... , - другой базис этого пространства. Каждый вектор разлагается по базису , ... , . Запишем эти разложения в виде системы равенств
= + + ... + ,
= + + ... + ,
............................................
= + + ... + (2)
или, кратко,
=
(суммирование по первому индексу коэффициентов ).
Коэффициенты разложений (2) образуют матрицу T перехода от базиса , ... , к базису , , ... , .
-
Формула для размерности суммы двух подпространств
Теорема о размерности суммы двух линейных подпространств (формула Грассмана). Если U и V – подпространства линейного пространства W, то
dim U + dim V = dim(U + V ) + dim(U ∩ V ).
Линейные подпространства, размерность линейной оболочки,
способы задания линейного подпространства
Множество K векторов из линейного пространства L называется линейным подпространством пространства L , если сумма x + y любых двух векторов x и y из L принадлежит K и произведение α·x любого числа α и любого вектора x и y из L принадлежит K:
Размерность линейной оболочки столбцов (строк) матрицы равна рангу матрицы.
Линейные подпространства могут быть заданы двумя способами: или однородной системой линейных уравнений илилинейной оболочной.
-
Прямая сумма подпространств, различные определения
Определение 1 Пространство V называется прямой суммой подпространств U и W, если каждый элемент v ∈ V мо жет быть единственным способом представлен в виде суммы v = u + w, где u ∈ U, а w ∈ W. Обозначение: V = U ⊕ W. Эквивалентная формули- ровка: V = U ⊕ W, если V = U + W и U ∩ V = ∅. Если V = U ⊕ W, то объединение базисов подпространств U и W есть базис пространства V .
Определение 2 Определение. Пусть и М – произвольные векторные подпространства векторного пространства . Сумма подпространств называется прямой суммой, если , существует только одна пара векторов , такая, что .
-
Линейное отображение векторных пространств, ядро и образ.
Линейным отображением векторного пространства S в векторное пространство T называется функция α, определенная на S со значениями а T,удовлетворяющая требованию линейности
Ядром линейного отображения L : U → V называется множество всех тех элементов x пространства U, для которых L(x) = 0 (т. е. ядро линейного оператора – это пространство решений уравнения L(x) = 0). Обозначение: Ker L
Образом линейного отображения Образом линейного оператора L : U → V называется множество всех элементов y пространства V , представимых в виде y = L(x). Образ обозначается через Im L. Другими словами
Im L = {L(x)| x ∈ V }