9
.docЛекция № 9
План:
1).Теорема об ускорении точек твердого тела при плоскопараллельном движении.
2).Мгновенный центр ускорений.
3).Основные способы вычисления углового ускорения при плоскопараллельном движении.
4).Сложное движение точки.
5).Теорема о сложении скоростей.
6).Теорема о сложении ускорений (т.Кориолиса). Модуль и направление поворотного ускорения.
-
Теорема об ускорении точек твердого тела при плоскопараллельном движении.
Теорема: Ускорение точки плоской фигуры равно сумме ускорения полюса и ускорения данной точки во вращательном движении вокруг полюса.
Доказательство:
Дано: . Ускорение точки В в её сложном движении:
где относительное движение-вращение вокруг полюса А.
Переносное движение – поступательное вместе с полюсом,
2) Мгновенный центр ускорений.
Мгновенным центром ускорений (МЦУ) называется точка Q плоской фигуры, ускорение которой в данный момент времени равно нулю: aQ=0. Если выбрать в качестве полюса МЦУ , то теорема о сложении ускорений дает
Ускорение точек плоской фигуры- это их ускорения в относительном вращении фигуры вокруг мгновенного центра ускорений.
Согласно формуле, получим для модуля ускорения точки плоской фигуры соотношение:
-ускорения точек плоской фигуры пропорциональны расстояниям от этих точек до МЦУ, а коэффициентом пропорциональности является .
В каждый момент времени имеет место распределение ускорений точек плоской фигуры, показанное на рисунке, где угол определяется по формуле:
В частных случаях получаем:
1. Если , а , то угол , т.е ускорения всех точек направлены к мгновенному центру ускорений. (рис.а)
2. Если , а , то угол ,и ускорения всех точек перпендикулярны направлениям на МЦУ. (рис.б)
3.Если и ,то мгновенный центр ускорения находится в бесконечности, а ускорения всех точек векторно равны (мгновенно поступательное движение). (рис.в)
-
Основные способы вычисления углового ускорения при плоскопараллельном движении.
Рассмотрим теперь различные случаи определения положения МЦУ.
1. Если известно ускорение какой либо точки aM, а также угловая скорость и угловое ускорение плоской фигуры (рис.а), то для нахождения МЦУ необходимо сделать следующее:
а) вычислить угол ; б) построить луч, повернув вектор aM на угол по направлению углового ускорения; в) отложить на луче отрезок .
Легко убедиться, что получившаяся точка Q и есть МЦУ, поскольку
2. Если известны ускорения двух точек и , и они не лежат на параллельных прямых (рис.б), то для нахождения МЦУ необходимо сделать следующее: а) построить вектор , он покажет направление углового ускорения; б) определить угол как угол между вектором и отрезком AB; в) построить лучи, повернув векторы и на угол по направлению углового ускорения. На пересечении лучей и находится МЦУ.
3. Если известны ускорения двух точек и , и они лежат на параллельных прямых, то может быть несколько случаев определения положения МЦУ. МЦУ находится на пересечении линий, проходящих через начала и концы векторов ускорений.
4. Если известны ускорения двух точек и , и они лежат на одной прямой (это может быть при =0 и, соответственно, при =0), то возможные случаи определения положения МЦУ представлены на рисунке. МЦУ находится на пересечении данной линии с линией, проходящей через концы векторов ускорений, повернутых на угол 900.
Отметим, что эти случаи соответствуют мгновенному поступательному движению. При этом и , МЦУ находится в бесконечности, а ускорения всех точек векторно равны.
Следует понимать, что МЦУ и МЦС – это различные точки плоской фигуры(они совпадают лишь при вращательном движении). Например, МЦС катящегося без скольжения колеса находится в точке касания с поверхностью. Если колесо катится равномерно по прямолинейному пути, то центр колеса движется равномерно и прямолинейно, т.е. МЦУ находится в центре колеса.
4) Сложное движение точки.
Сложным - называется такое движение точки (тела), которое рассматривается одновременно в разных системах отсчета.
Например: пассажир, перемещается в вагоне движущегося поезда, человек перемещающийся по лестнице движущегося эскалатора.
При описании сложного движения точки одну из систем отсчета считают неподвижной (её называют основной), другая же рассматривается как подвижная .
О,X/,Y/,Z/-основная система координат.
O,X,Y,Z- подвижная система координат.
(.) М- движущаяся точка.
В таком случае сразу можно рассматривать три движения: абсолютное, относительное, переносное.
А) Абсолютное движение - называется движение точки по отношению к основной системе отсчета. Соответственно скорость и ускорение точки по отношению к основной система отсчета называется абсолютным ускорением
Относительным движением - называется движение точки по отношению к подвижной системе отсчета. Соответственно скорость и ускорение точки по отношению к подвижной системе отсчета называется относительной скоростью и относительным ускорением (r от латинского relativus- относительный). Положение точки М относительно неподвижной системы отсчета определяется радиус вектором проведенным в точке М из О1.Изменение радиус-вектора характеризует движение точки:
Б) Движение подвижной системы отсчета относительно неподвижной системы отсчета называется переносным движением. Движущаяся точка в разные моменты времени занимает различное положение в подвижной системе отсчета, т.е. совпадает с различными ее точками.
Переносной скоростью и переносным ускорением называют скорость и ускорение той точки подвижной системы отсчета , с которой в данный момент времени совпадает движущаяся точка.
Пример: человек идет по вращающейся с некоторой угловой скоростьюW круглой горизонтальной платформе, двигаясь все время по определенному ее радиусу от центра платформы. Система отсчета связанная с Землей – неподвижная. Система отсчета связанная с платформой - подвижная.
Тогда движение человека относительно платформы является относительным, движение человека относительно Земли абсолютным, движение платформы переносным. человека направлена по радиусу.
перпендикулярно радиусу платформы.
5.Теорема о сложении скоростей.
При сложном движении точки абсолютная скорость точки равна векторной сумме относительной и переносной скорости.
Доказательство: Пусть o1, x1, y1, z1 – неподвижная система отсчета; o, x, y, z – подвижная система отсчета.x, y, z- координаты движущейся точки М в подвижной системе отсчета; r, r0-радиус-векторы точек М и О в неподвижной системе отсчета; ρ - радиус-вектор точки М в подвижной системе отсчета.
из рисунка
i,j,k-орты подвижной системы
перейдем к записи для выражения скоростей:
6) Теорема о сложении ускорений (т.Кориолиса)
Абсолютное ускорение точки равно векторной сумме относительного переносного и Кориолисово ускорение.
Получим теперь выражение для ускорения движущейся точки.
1)
2)
3)
Сравнивая три формулы мы видим, что в выражении для абсолютного ускорения кроме переносного и относительного входит ещё одна группа слагаемых, которая называется кориолисовым ускорением.
т.е.
Справка: Густав Кориолис (1792-1843) французский механик, описывающий сложное движение точки. Основные его работы, относятся к аналитической механике и динамике машин. Ввел коэффициент ½ в кинетическую энергию.
7)Модуль и направление поворотного ускорения.
Чтобы получить более удобное выражение для кориолисова ускорения воспользуемся формулой Пуассона.
Учитывая, что угловая скорость переносного движения .
Тогда
Кориолисова ускорение равно удвоенному векторному произведению угловой скорости переносного движения на относительную скорость точки.
Модуль кориолиосова ускорения:
Из формулы следует, что кориолисово ускорение может быть равно нулю в трёх случаях.
-
Когда угловая скорость переносного движения равно We,т.е. когда переносное движение является поступательным.
-
Когда относительная скорость точки равно Ur,т.е. когда отсутствует относительное движение.
-
Когда векторы We ,Wr параллельны друг другу ,т.е. когда точка движется вдоль оси вращения.
Направления кориолисова ускорения. Правило Жуковского:
Для того, чтобы найти направления кориолисова ускорения, следует спраекцировать вектор относительно скорости на плоскость, перпендикулярно оси вращения, и затем повернуть эту проекцию на 90 градусов по ходу вращения.
Физический смысл ak (кориолисова ускорения)
-
изменение переносной скорости из-за относительного перемещения точки.
-
Изменение относительной скорости из-за переносного движения подвижной системы отсчета.
Справка: Николай Егорович Жуковский(1847-1921) русский механик, математик «отец русской авиации», основные работы в области аэродинамики, гидродинамики, теория дифференциальных уравнений.