- •1. .Понятие числового поля и матрицы над полем р. Доказать, что любая транспозиция меняет характер четности перестановки. Определение Определителя n-ого порядка.
- •2. Свойства определителя матрицы
- •2) Теорема о перестановке 2х строк матрицы оределителя. Определитель с двумя одинаковыми строками.
- •3) Теорема об умножении некоторой строки матрицы определителя на одно и то же число. Определитель с двумя пропорциональными строками.
- •4). Теорема о разложении определителя на сумму определителей и следствия из нее.
- •3. Операции над матрицами и их свойства. Доказать одно из них.
- •4 Определение обратной матрицы. Доказать что у каждой обратимой матрицы существует лишь одно обращение.
- •7. Блочные матрицы. Сложение и умножение блочных матриц. Теорема об определителе квазитреугольной матрицы.
- •8. Теорема об определителе произведения матриц.
- •9 Теорема о существовании обратной матрицы.
- •10.Определение ранга матрицы. Теорема о базисном миноре и следствие из неё.
- •11 Понятие о линейной зависимости строк и столбцов матрицы. Теорема о ранге матрицы.
- •12. Методы вычисления ранга матрицы: метод окаймляющих миноров, метод элементарных преобразований.
- •13. Системы линейных уравнений. Критерий совместности
- •14. Системы линейных уравнений. Критерий определенности.
- •15. Решение совместной определенной системы линейных уравнений.
- •16. Решение совместной неопределенной системы линейных уравнений.
- •17. Необходимое и достаточное условие чтобы ослу имела ненулевое решение
- •18. Теорема о существовании фундаментальной системы решений.
- •19. Теорема о связи между решениями неоднородных и соответствующих однородных систем
- •20. Линейные операции над векторами и их свойства.
- •21 Определение разности двух векторов. Доказать что для любых векторов и разность существует и единственна.
- •22. Определение базиса, координаты вектора в базисе. Теорема о разложении вектора по базису.
- •23. Линейная зависимость векторов. Свойства понятия линейной зависимости, доказать одно из них.
- •24 Декартовы системы координат в пространстве, на плоскости и на прямой. Теорема о линейной комбинации векторов и следствия из нее.
- •25. Вывод формул выражающих координаты точки в одной дск через координаты этой же точки в другой дск.
- •26 Скалярное произведение векторов. Определение и основные свойства.
- •27. Векторное произведение векторов. Определение и основные свойства.
- •28. Смешанное произведение векторов. Определение и основные свойства.
- •29. Смешанное произведение через координаты
- •33. Двойное векторное произведение векторов. Определение и формула для вычисления( без доказательства).
- •32. Общие уравнения плоскости и прямой.
- •33. Переход от общих уравнений плоскости и прямой на плоскости к их параметрическим уравнениям. Геометрический смысл коэффициентов а,в,с (а,в) в общем уравнении плоскости(прямой на плоскости).
- •34. Исключение параметра из параметрических уравнений на плоскости( в пространстве), канонические уравнения прямой.
- •35. Векторные уравнения прямой и плоскости.
- •36. Общие уравнения прямой в пространстве, приведение к каноническому виду.
- •37, Уравнение прямой через две точки. Уравнение прямой проходящей через три точки. Признак параллельности прямой и плоскости.
- •38.Полупространство, полуплоскость. Расстояние от точки до плоскости
- •39. Нормальным уравнением плоскости. Отклонение???
- •40. Расстояние между параллельными прямыми
- •42.Определение эллипса. Каноническое уравнение эллипса. Параметрические уравнения эллипса.
- •43. Определение гиперболы. Каноническое уравнение гиперболы. Асимптоты гиперболы..
- •44. Определение параболы. Вывод канонического уравнения параболы.
- •45. Эксцентриситет эллипса и гиперболы. Директрисы теорема
- •46. Эксцентрисетет параболы и т.Д
- •47. Кривые второго порядка и их классификация. Основная теорема о квп.
- •48. Поверхности второго порядка и их классификация. Основная теорема о пвп. Поверхности вращения.
- •49. Основная теорема о пвп. Поверхности вращения
1. .Понятие числового поля и матрицы над полем р. Доказать, что любая транспозиция меняет характер четности перестановки. Определение Определителя n-ого порядка.
Говорят, что на множестве Х задана алгебраическая операция, если каждой упорядоченной паре элементов х, у из Х поставлен в соответствие определенный третий элемент Z из этого множества.
Элемент Z называется композицией элементов x и y. Например алгебраическая операция может быть названа сложением и тогда Z – сумма элементов x и y(Z=x+y). Алгебраическая операция может быть названа умножением и тогда Z – произведение элементов x и y(Z=x*y). Сложение векторов – алгебраическая операция. Скалярное произведение векторов не является алгебраической операцией, т.к. каждой паре векторов в соответствие ставится не вектор а число.
Возможно, что для операции определенной на Х будет определена новая терминология и символика. Алгебраическая операция обозначается “°”. Композиция элементов х и у Z=x°y.
Множество чисел называется замкнутым относительно некоторой алгебраической операции(+,-,*,/), если результат, произведенный над любыми двумя числами множества принадлежит этому множеству(когда речь идет о делении делитель не равен 0). Например N - множество натуральных чисел(+,*), Z - множество целых чисел, Q – множество рациональных чисел(+,-,*,/).
Множество чисел, замкнутое относительно некоторых алгебраических операций(+,-,*,/) называется числовым полем.
Р – любое числовое поле, а не = 0, тогда а/а=1 принадлежит Р следовательно Z принадлежит Р. Каждое Q есть отношение двух Z чисел следовательно принадлежит Р, значит в поле Р содержатся все Q, которые сами образуют поле.
Пусть Р – произвольное числовое поле, n,m – любые целые числа.
Упорядоченная совокупность n*m чисел поля Р, записанная в виде прямоугольной таблицы в которой n - строк и m – столбцов называется матрицей размерностью n*m.
Матрицы обозначаются А,В,С… Числа поля Р составляющего матрицу называются её элементами. Если все элементы матрицы А обозначить аi,j где i – номер строки, а j – номер столбца на пересечении которых расположен этот элемент, то матрицу записывают заключая таблицу чисел в круглые скобки. Матрицу у которой m=n называют квадратной матрицей порядка m.
Доказать, что любая транспозиция меняет характер четности перестановки. Определение Определителя N-ого порядка.
Каждое расположение чисел 1,2…n в некотором порядке называется перестановкой. Число всех перестановок S=n! Перестановка 1,2…n называется главной.
Если из двух данных чисел перестановки большее стоит впереди меньшего, то говорят, что эти числа образуют инверсию.
Например, в перестановке 5,2,3,4,1,6 пары чисел 5 и 2, 5 и 3, 5 и 4, 5 и 1, 2 и 1, 3 и 1, 4 и 1 образуют инверсию. S=7.
Количество всех инверсий образованных числами перестановки k1, k2…kn называются числом инверсий перестановки и обозначается S(k1, k2…kn).
Данная перестановка называется четной или нечетной в зависимости от того четно или нечетно число инверсий этой перестановки. Таким образом перестановка 5,2,3,4,1,6 нечетна.
Пусть дана произвольная перестановка чисел(n>=2) 1,2…n. Операция, которая переставляет какие-либо два числа перестановки называется транспозицией. Транспозиция чисел k и l обозначается(k, l).
Теорема1: Любая транспозиция переводит четную перестановку в нечетную, а нечетную в четную.
Доказательство: Рассмотрим (k, l). Если числа k и l в перестановке стоят рядом, то транспозиция (k, l) изменяет число инверсий в перестановке ровно на 1, а значит переводит перестановку из четной в нечетную и наоборот. Пусть между числами k и l есть несколько чисел (… k,a1,a2…ar,l…) (1) перед k и после l могут быть а могут и не быть числа. (… l,a1,a2…ar,k…) (1’)
Надо показать что перестановки (1) и (1’) имеют разный характер четности. Транспозиция (k, l) равносильна последовательному применению транспозиции соседних элементов.
(k,a1),(k,a2)…(k,ar),(k,l),(ar,l),(l,ar-1)…(l,a1) – транспозиций 2r+1. Значит последовательное применения транспозиций соседних элементов приведет к изменению характера четности перестановки(ч.т.д.)
Теорема2: Количество всех четных перестановок чисел 1,2…n равно количеству всех нечетных перестановок этих чисел и равно n!/2.
Доказательство: Пусть среди перестановок n – чисел S1-четных S2-нечетных. S1+S2=n! Во всех перестановках чисел 1,2…n осуществим одну и ту же транспозицию, тогда по теореме1 каждая нечетная перестановка перейдет в четную а четная в нечетную. Следовательно, будет S1 нечетных и S2 четных. Следовательно, S2 =S1.(ч.т.д.)
Замечание: Очевидно, что от любой перестановки чисел 1,2…n можно перейти к любой другой перестановки этих чисел с помощью некоторого числа транспозиций.
Легко заметить что определители 2 и 3 порядков есть алгебраические суммы всевозможных произведений которые можно составить из элементов соответствующих матриц беря ровно по 1 множителю из каждой строки и каждого столбца. Напишем все произведения так, чтобы множители были расположены в порядке следования строк, т.е. чтобы первые индексы образовывали главную перестановку, тогда вторые индексы в указанном произведении образуют следующие перестановки:
для определителя 2 порядка: 1,2 и 2,1;
для определителя 3 порядка: 123 и 321 и 231 и 321 и 213 и 132.
Если в определителях 2 и 3 порядка записать множитель некоторого произведения в порядке следования строк, то знак этого произведения будет + или – в зависимости от того четная ил нечетная будет перестановка индекса столбцов в этом произведении.
Определителем n-ного порядка порожденным квадратной матрицей n-ного порядка называется алгебраическая сумма всех возможных произведений каждый из которых в качестве множителя содержит 1 и только 1 элемент из каждой строки и каждого столбца матрицы. Перед произведением ставится знак + или – в зависимости от того четной или нечетной будет перестановка индексов столбцов в этом произведении при условии что множители выписаны в порядке следования строк, т.е. первые индексы образуют главную перестановку. Обозначают определитель, заключая соответствующую матрицу в вертикальные черточки.
Отдельные произведения алгебраической суммы называются членами определителя. Членов в определителе столько, сколько существует перестановок из n-индексов. Половина членов определителя с +, половина с -.