Застосування Визначеного Інтегралу - Дреков В.М. - 2005
.pdfМІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
ОДЕСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ МОРСЬКИЙ УНІВЕРСИТЕТ
Кафедра “Вища та прикладна математика”
ЗАСТОСУВАННЯ
ВИЗНАЧЕНОГО ІНТЕГРАЛА
Завдання до типового розрахунку
Одеса – 2005
2
Завдання до типового розрахунку опрацьовано Дрековим Володимиром Миколайовичем – кандидатом фіз.-мат. наук, доцентом кафедри “Вища та прикладна математика” Одеського національного морського університету.
Типовий розрахунок схвалено кафедрою “Вища та прикладна математика” ОНМУ 29 березня 2005 року (протокол № 9).
Рецензент: кандидат фіз.- мат. наук, доцент Григор’єв Ю.О.
3
Завдання 1. Обчислити площу фігури, обмеженої вказаними лініями:
1. |
а) y x2 3x 7, y x 7 ; |
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б) y |
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16 |
, y 17 x 2 |
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x 2 |
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а) y x 2 3x 5, y x 3; |
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2. |
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б) y x 9 x2 , y 0, 0 x 3 |
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3. |
а) y x 2 x, y x 9 ; |
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б) y x3 , y 2 x, x 1 |
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4. |
а) |
y x |
2 |
2x 4, |
y 3x ; |
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б) |
y sin x cos |
2 |
x, y |
0, |
0 x |
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2 |
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а) y x 2 5x 1, y 2x 2 x 1; |
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5. |
б) y 4 x2 , y 0, x 0, x 1 |
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а) y 2x 2 2x, y x 2 1; |
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6. |
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б) y еx 1, y 0, x ln 2 |
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7. |
а) y x 2 2x 2, y x ; |
|
б) y 2x 6, y 1 5x, x 2 |
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8. |
а) y x 2 5x, y 4x 6 ; |
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б) |
y |
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1 |
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, y |
0, x 1, x е3 |
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x |
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1 ln x |
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9. |
а) |
y x 2 |
8x 3, |
y 5x 3 ; |
|
б) |
y arccosx, |
|
y 0, |
x 0 |
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10. |
а) |
y x2 |
3x 2, |
y 6 x ; |
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б) |
y 3 x, y 2x 3, y 0 |
|
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11. |
а) |
y x |
2 |
4x 3, |
y x |
2 |
4x |
5; |
б) |
y x sin x, |
y 0, |
x |
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2 |
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y x2 |
4x 11, |
y x2 x 9 ; |
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12. |
а) |
б) |
y x |
36 x2 , y 0, |
0 x 6 |
|
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13. |
а) |
y x2 |
7x 2, |
y x 6 ; |
|
б) |
x arccos y, |
|
y 0, |
x 0 |
|
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|
y x2 |
2x 3, |
y 1 x ; |
|
|
y x arctgx, |
y 0, x |
|
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14. |
а) |
|
б) |
3 |
|
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15. |
а) |
y x2 |
13x, y 10x ; |
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|
б) |
y 2x2 , |
|
|
y2 4x3 |
|
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16. |
а) |
y x2 |
6x 6, |
y x 4 ; |
|
б) |
y sin 2 |
|
x cosx, y 0, |
0 x |
|
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2 |
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17. |
а) |
y x2 |
x 17, |
y x 17 ; |
|
б) |
y е2x , |
|
x 0, |
x ln 3 |
|
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y x2 |
2x, y 3 ; |
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18. |
а) |
|
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|
б) |
y x |
4 x2 , y 0, 0 x 2 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||
19. |
а) |
y x2 |
1, y x2 17 ; |
|
|
б) |
y |
|
|
|
|
|
|
x |
|
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|
|
, |
|
y 0, |
x 1 |
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1 |
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|
x |
|
|
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|
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|
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||||||||||||
|
а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
1 |
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|
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|
|
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20. |
y x2 4x 8, y 2x2 |
3x 10 ; |
б) |
y |
|
|
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|
, |
|
y 0, |
|
|
|
x |
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||
1 cosx |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
21. |
а) |
y x2 |
x 12, |
y 12 ; |
|
б) |
x y 2 3 , |
x 4 y 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||
22. |
а) |
y x2 |
3x 1, |
y 2 x ; |
|
б) |
y sin 2x cos5 x, |
y 0, |
0 x |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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23. |
а) y x |
2 |
7x 1, y 5x 4 ; |
|
б) |
y |
|
|
|
|
|
|
|
x |
, |
|
y 0, x 1 |
|
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|||||||||||||||||||||||||
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|
x2 1 2 |
|
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||||||||||||||||||||
24. |
а) |
y x2 |
8x 1, |
y 8x ; |
|
|
б) |
y |
|
1 |
, |
|
y x, |
x 0,5 |
|
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|
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|
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|
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|
x3 |
|
|
|
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|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
4
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25. |
а) |
y x |
2 |
2x 3, |
y 7x 3; |
|
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|
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|
|
|
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||||
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||||||||||
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|||||||
|
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б) |
y x2 |
е |
x |
, y 0, x 1, x 2 |
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||||||||||||||
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|
|
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|
|
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26. |
а) |
y 4 x2 , y x 2 ; |
б) |
x |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
, |
x 0, |
y 1, |
y е3 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||
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|
|
|
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|
|||||||||||||||||||
|
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|
|
|
|
|
|
|
y |
1 ln y |
|
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|
|
|
|||||||||||
|
|
y x2 4x, |
y 3x 6; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
27. |
а) |
б) |
y x2 |
|
4 x2 , |
y 0, |
0 x 2 |
||||||||||||||||||||
|
|
y 3x2 |
x, |
y 2x2 4x ; |
|
y |
|
|
|
|
|
, |
y 1, |
x 8 |
|
|
|
|
|||||||||
28. |
а) |
б) |
|
1 x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
y x2 |
7x, y 11x 3 ; |
|
y 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
y 1, |
x 6 |
|
|
|
|
||||||||
29. |
а) |
б) |
|
x 2, |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
а) |
y 2x |
2 |
, y 3 x |
2 |
; |
б) |
y cos2x, |
|
y 0, |
|
|
|
||||||||||||||
30. |
|
|
|
0 x 2 |
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|
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|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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Завдання 2. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями, рівняння яких задано в полярній системі координат:
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1. |
r 2cos |
, r 2 3 sin |
|
16. |
|
|
|
||||||||||||||
, 0 |
|
r 3 cos , r sin , 0 |
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|||||||||||||||||
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|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2. |
r 2 |
tg |
, |
|
|
|
17. |
|
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|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
r cos , r sin , 0 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
3. |
r 1 sin |
|
|
|
|
|
|
18. |
r 3sin , r 5sin |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
4. |
r 1,5 cos , r 2,5 cos |
|
|
19. |
r 2,5sin , r 1,5sin |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5. |
r cos 3 |
|
|
|
|
|
|
|
20. |
r 2cos2 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
r 0,5 sin |
|
|
|
|
|
|
|
r 1 |
|
|
cos |
|
|
|
|
|||||
6. |
|
|
|
|
|
|
21. |
|
2 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
7. |
r 2sin 4 |
|
|
|
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22. |
r 2cos6 |
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||||||||
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||||||
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r 1 |
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sin |
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r 0,5 cos |
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|||||
8. |
|
2 |
|
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23. |
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||||||||
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||||||||
9. |
r 2 4cos2 |
|
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24. |
r 6sin 3 , r 3, r 3 |
|
|
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||||||||
10. |
r 4sin 3 , r 2, r 2 |
|
|
25. |
r cos2 |
|
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||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||
11. |
r 2cos , r 3cos |
|
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26. |
r 2 cos |
|
|
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|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||
12. |
r 4cos 3 , r 2, r 2 |
|
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27. |
r 6cos 3 , r 3, r 3 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
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13. |
r sin 3 |
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28. |
r 2 1 cos |
|
|
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|||||||
|
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|||||||||||
14. |
r cos , r 2cos |
|
|
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29. |
r 4cos , r 2, r 2 |
|
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|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||
15. |
r cos4 |
|
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|
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|
30. |
r 2 9sin 2 |
|
|
|
|
Завдання 3. Обчислити довжину дуги лінії:
5
|
y 2 0,5 еx |
|
е x , |
0 x ln 3 |
|
y 7 ln x, |
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1. |
16. |
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3 |
x |
8 |
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7 |
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|
y |
|
1 |
|
|
|
x2 ln x , 1 x 2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
2. |
y 1 x2 arcsin x, |
0 x |
17. |
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9 |
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
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||||||||||||||||
3. |
y ln cosx 2, |
|
0 x |
|
|
|
|
|
|
18. |
y |
1 |
|
x2 |
2 32 , |
|
0 x 3 |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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6 |
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|
3 |
|
|
|
|
|
|
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|||||||
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|||||||||||||||||
|
y ln x, |
|
|
|
|
|
x |
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 1 ln x2 |
|
1 , |
|
3 x 9 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4. |
|
|
3 |
15 |
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
19. |
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
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|
|
|||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x |
1 , 3 x 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
6 |
|
|
, 3 x 6 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
y 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
y 9 |
|
|
|
|
|
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5. |
|
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|
2 |
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20. |
|
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|
2 |
|
|
|
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|||||||
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||||||||||||||||||||||||||
|
y 2 еx , ln |
|
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|
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|
x ln |
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|
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|
|
|
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|
|
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|
y 6 е2x , |
0,25ln 2 x 0,25ln 6 |
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6. |
|
|
|
|
|
3 |
8 |
|
|
|
|
|
|
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21. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
y arcsin |
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
x x2 , |
0,25 x 1 |
|
|
|
|
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
|
x |
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y arccos |
|
|
|
|
|
|
x x2 , 0 x 0,5 |
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7. |
|
|
|
|
|
|
|
|
22. |
x |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||
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|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
8. |
y ln |
|
|
, |
|
|
8 x |
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23. |
y 2ln 1 |
|
|
|
|
|
|
, 0 x 1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
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|
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|
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|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
9. |
y |
1 x2 arccosx, |
|
0 x |
24. |
y 1 0,5 ln cos2x, |
0 x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
16 |
|
|
6 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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y 1 arcsin x |
|
1 x2 , 0 x 0,75 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
10. |
y 12 е |
x |
, ln |
|
15 x ln 24 |
25. |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
11. |
y 0,25x2 0,5ln x, |
1 x 2 |
|
|
|
|
|
|
26. |
y 0,25ln x 0,5x2 , 1 x 9 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
y 1 е-x , ln |
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3 |
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27. |
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x |
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4 |
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9 |
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3 |
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29. |
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x |
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x2 1 |
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x |
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15. |
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2 |
10 |
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30. |
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5 |
26 |
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Завдання 4. Обчислити довжину дуги лінії, заданої параметричними рівняннями:
6
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x 2t 2 |
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1 sin 2t 2t cost |
, 0 t |
|
x 4 t cost sin t |
, 0 t 2 |
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1. |
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16. |
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y 2t sin 2t 2t 2 |
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y |
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2. |
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17. |
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, |
||||||||||||||||||
|
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2 |
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3 |
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|
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|
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t |
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3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3. |
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18. |
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, 0 t |
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cost |
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|
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, 0 t |
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, 0 t |
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4. |
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19. |
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|
y 2 |
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y |
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|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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x 0,5 cost 0,25 cost |
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t |
|
2 |
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x 2cos2t |
|
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|
|
|
, 0 t |
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5. |
|
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, |
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20. |
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2 |
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3 |
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y |
2 1 sin t cost |
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2 |
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x t |
2 |
sin t 2t cost , |
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6. |
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|
t |
|
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21. |
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0 t 3 |
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2 |
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y t 2 |
cost 2t sin t |
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|
t |
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x 3 t sin t |
|
t 2 |
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7. |
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sin t sin t |
, |
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22. |
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, |
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6 |
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6 |
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3 1 cost |
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x 2t cost |
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8. |
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23. |
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, 0 t 0,75 |
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|
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|
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|||||||||||||||||||||
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y 2 2 sin t sin 2t |
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3 |
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y |
2t sin t |
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|||||||||||||||||||||||||||||
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4 |
t |
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3 |
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t |
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|
|
|
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|
|
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x 1,5 cos |
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cost |
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|
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|
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4 sin |
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cost |
|
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3 |
||||||||||||||||||||||||||||
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4 |
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0 t 2 |
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3 |
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0 t |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
9. |
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|
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t |
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, |
|
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24. |
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t |
|
|
|
|
, |
|
|
|
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|||||||||||||||||||||
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2 |
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4 |
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3 |
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|||||||||
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y 1,5 cos |
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sin t |
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|
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|
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y |
4 sin |
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|
sin t |
|
|
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||||||||||||||||||||
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|||||||||||||||||||||||||
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4 |
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3 |
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|
|
|
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||||
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x 2t 2 |
|
cost |
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x sin 2t |
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3 |
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, |
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25. |
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2 |
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2 |
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y |
2sin 2 t |
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2 |
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cost |
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11. |
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cost sin t |
, |
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|
t |
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26. |
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, 0 t |
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y 2 1 |
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2 |
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y |
8 sin t t cost |
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4 |
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3 |
t |
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t |
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x 5е 4 |
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cost |
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4 ln 2 t 4 ln 2 |
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, 0 t |
7ln 8 |
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12. |
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|
3 |
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, |
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27. |
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|
t |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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t |
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|
sin t |
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|
y 5е 4 |
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|
|
|
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|
y 4е7 sin t |
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||||||||||||||||||||||
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|
3 t |
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|
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|||
|
x 6 1 sin t cost |
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|
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|
|
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|
x |
6cos |
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|
cost |
|
|
|
3 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
t |
0 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
t 0 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
13. |
|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
, |
|
|
|
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|
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|
|
28. |
|
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|
, |
|
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|||||||||||||||||||||
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|||||||||||||||||||||||||||
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y 6 1 sin t sin t |
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2 |
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|
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|
|
|
|
|
|
3 |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
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|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
y |
6cos |
|
|
|
|
|
sin t |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||
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|
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|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
7
|
|
1 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|||||
|
x |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
x 4 |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||
14. |
|
|
|
|
, 0 t 4 8 |
29. |
|
|
|
|
|
, 0 t 8 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
4 |
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|
|
|
|
1 |
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3 |
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||
|
y |
|
2 |
|
t |
|
|
|
|
y 3 |
|
|
|
|
|
t |
|
|
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||||
|
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|
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||||||||||
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|
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4 |
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|
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3 |
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|
|
||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
t |
|
|
|
||
|
x |
|
|
cost ln t sin t |
|
x 3sin |
|
|
|
|
cost |
||||||||||||
|
t |
|
|
|
|
4 |
|||||||||||||||||
15. |
|
1 |
|
|
|
, 2 t 3 |
30. |
|
|
|
|
|
|
|
t |
, t |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
||||||
|
y |
|
|
|
|
sin t ln t sin t |
|
y 3sin |
|
|
|
|
sin t |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
Завдання 5. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням фігури, обмеженої заданими лініями, навколо осі O x :
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
y x |
|
|
||||||||
1. |
y |
x3 , y x |
|
16. |
x, |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
y x 2 , y |
|
|
|
|
|
|
y 3 |
|
|
|
y x |
|
|
|||||||
2. |
|
|
x |
|
17. |
x, |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
3. |
y 3cos x, |
y cos x, |
0 x 0,5 |
18. |
y 1, |
|
y sin 0,5x, 0 x |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
y x 2 , y 3 |
|
x |
|
19. |
y |
|
|
x, |
y 2, x 1 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
y x 1 2 , |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
, y x, y 0 |
||||||
5. |
e 1 |
|
20. |
|
2 x |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
6. |
y е2x , y 1, x 1 |
|
21. |
y е0,5x, |
y еx , |
x 1 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
7. |
y 2 x 2 , |
y x, x 0 |
22. |
y еx |
1, y 1, |
x 1 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
y sin x, y 2 sin x, 0 x |
|
y еx2 |
|
|
|
|
|
, y е, |
x 0 |
|||||||||||
8. |
23. |
|
|
x |
|||||||||||||||||
9. |
y еx , y е, |
|
x 0 |
|
24. |
y tgx, |
y 1, x 0 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
10. |
x 2 4 y 2 4, |
x 2 y 2 |
25. |
y sin x, y cosx, |
0 x 0,25 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
11. |
y sin 2 x, |
y 0, x 0,5 |
26. |
y 2x x2 , y 2 x |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
12. |
y x 2 2, |
y 1 x 2 , |
0 x 1 |
27. |
y 2 x3 , y 1, |
x 1 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
13. |
x 2 y 2 2 1 |
|
28. |
y е1-x , |
y 0, 0 x 1 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
14. |
y x 2 , y 1 |
|
|
|
29. |
y x2 5x 6, |
y 0 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
15. |
y x е x , y 0, x 1 |
|
30. |
y 5cosx, y cosx, 0,5 x 0 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8
Завдання 6. Обчислити площу поверхні, утвореної обертанням заданої дуги навколо осі O x :
|
y x3 , |
0 x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16. |
|
|
x 1, 1 x 4 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
y 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6,75 x 18 |
|
y 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2. |
|
|
x, |
17. |
|
|
4 x |
, 1 x 4 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
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|
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|
|
|
|
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|
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|
|
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|
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|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
y |
|
|
|
4 x2 , 1 x 1 |
18. |
y 2 |
|
9 x2 , |
0 x 3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 x 2,25 |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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4. |
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3x, |
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19. |
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2x |
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5. |
y |
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4 2x2 , |
0 x |
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20. |
y |
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16 2x2 , |
0 x 2 |
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2 |
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2 |
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6. |
y 0,5 |
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4 x2 , |
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0 x 2 |
21. |
y 2 |
1 x2 , |
0 x 1 |
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y |
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1 |
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x3 , 1 x 1 |
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y |
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1 |
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x3 |
, 0 x 4 |
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7. |
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22. |
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12 |
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3 |
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6 |
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x |
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||||||||||||||||||||||||
8. |
y |
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4 |
|
е |
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4 |
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0 x 4 |
23. |
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y |
е 2 е |
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, |
|
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0 x 2 |
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2 е |
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|
, |
|
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|
2 |
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1 |
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1 |
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x |
2 |
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||||||||||||||||||
9. |
y |
|
|
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|
x x |
|
|
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|
|
, |
|
|
|
|
x 1 |
24. |
y |
|
|
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8 |
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|
, |
|
|
0 x 4 |
|
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3 |
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3 |
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2 |
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1 |
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1 |
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4 |
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|||||||||||
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3 |
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|||||||||||||||||||
10. |
y |
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3 |
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x2 |
|
|
|
, 0 x 2 |
25. |
y |
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x x |
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, |
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|
x |
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4 |
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3 |
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3 |
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3 |
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||||||||||||||
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11. |
y |
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2 0,5x2 , 0 x 2 |
26. |
y |
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8 0,5x2 , |
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0 x 4 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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4 |
|
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|
|
1 |
|
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|
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|
2 |
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|
|
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|
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|||||||
|
y |
|
|
x3 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
x 4 |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
3 x2 , |
|
0 x |
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
12. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
27. |
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3 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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3 |
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3 |
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y |
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|
|
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|
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, |
0 x 12 |
|
y |
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
0 x 2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
13. |
|
|
|
|
x 12 x |
28. |
|
|
|
|
x 3 x |
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
y |
1 |
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
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3 x 6 |
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1 |
x 12 |
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
14. |
|
|
|
|
|
x x 3 |
, |
29. |
y |
|
|
x |
, 12 x 24 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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6 |
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||||||
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15. |
y 0,25 е2 x |
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|
е 2 x , 0,5 x 0,5 |
30. |
y 0,5 еx |
е x , 0 x 1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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9
Завдання 7. Обчислити невластиві інтеграли або довести їх розбіжність :
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dx |
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4 |
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dx |
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1. |
а) |
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б) |
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||||||||||||
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||||
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||||||
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x |
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|
1 3ln x 3 |
|
cos 2 2x |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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0 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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0 |
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xdx |
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0 |
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dx |
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|
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|||||||||||
2. |
а) |
x 2 |
|
cos |
|
|
б) |
|
|
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|
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|||||||||||||||||||||||||||
|
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|
2 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
2x |
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|
2 |
x 2 |
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||||||||||||||||||||||||
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|
xdx |
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||||||||
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|
2 |
|
cosxdx |
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|||||||||||||||||||||||
3. |
а) |
1 |
|
|
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|
|
|
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|
|
б) |
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||||||||||||||||
x2 |
|
1 2 |
|
|
|
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||||||||||||||||||
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|
sin 2 x |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||
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|||||
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2 |
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1 |
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|
1 |
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||||||||
|
а) |
|
|
x dx |
|
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|
б) x 2 е- |
|
dx |
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|||||||||||||||||||||||||
4. |
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|
|
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|
|
|
x |
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||
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1 |
8x |
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1 |
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|
0 |
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|
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dx |
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|
|
|
1 |
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|
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|
|
|
dx |
|
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|||||||||||||||
5. |
а) |
|
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|
б) |
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||||||
|
x 5ln x 1 |
|
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||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2x x2 |
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
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|
|
|
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|
|
|
|
е |
|
|
dx |
|
|
|
|
||||||||||||||||
6. |
а) x3 е1-x4 dx |
|
|
б) |
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x ln x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
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|
|
|
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|
|
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||
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|
|
xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
dx |
|
|
|
|||||||||||||||||||
7. |
а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
|
|
|
|
|
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|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4x4 25 |
|
|
|
|
|
|
|
x ln 2 x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|||||||||||||||||||
8. |
а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|||||
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
25x4 9 |
|
|
x ln x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
||||||||||||
9. |
|
|
|
|
x |
3-x |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
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||||||||||||||
а) |
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|
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|
б) |
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|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 2x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
x2 |
|
|
|
|
1 dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
10. |
а) |
|
5x |
|
|
|
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2x x2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
cosxdx |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
11. |
а) |
|
x2 |
|
е4 x |
|
1dx |
|
|
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
2sin x 1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,4 |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
||||||||||||||||||
12. |
а) |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
2 |
4x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
4x |
|
|
|
|
|
|
4 25x2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0,2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
||||||||||||||||||
13. |
а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
0 |
|
x4 |
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
x ln x 0,75 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||
14. |
а) |
x е-x dx |
|
|
|
|
|
|
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б) |
arcsin x |
dx |
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0 |
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0 |
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1 x2 |
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dx |
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4 |
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15. |
а) |
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б) |
ctg 2xdx |
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x ln x |
3 |
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1 |
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1 |
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0 |
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10 |
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1 |
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dx |
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2 |
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xdx |
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3 |
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16. |
а) |
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б) |
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9x2 6x 2 |
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4 x2 |
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1 |
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x 1 dx |
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1 |
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x4 dx |
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17. |
а) |
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2x 1 |
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б) |
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3 x5 1 |
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0 |
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0 |
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dx |
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4 |
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xdx |
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18. |
а) |
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б) |
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4x |
2 |
4x 5 |
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x2 4 |
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0,5 |
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2 |
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0 |
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еx dx |
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0,25 |
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dx |
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19. |
а) |
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б) |
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16 е2x 9 |
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1 4x |
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0 |
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dx |
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1 |
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arcsin xdx |
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20. |
а) |
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б) |
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9x2 6x 8 |
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1 x2 |
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2 |
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0 |
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dx |
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2 |
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sin xdx |
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21. |
а) |
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16x2 8x 5 |
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1 2cosx |
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0,75 |
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3 |
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ln xdx |
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2,5 |
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dx |
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22. |
а) |
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б) |
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x |
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4 ln 2 x |
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25 4x2 |
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1 |
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0 |
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2 |
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6 |
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|
dx |
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23. |
а) |
x 3 е x2 dx |
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б) |
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0 sin 2 3x |
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3 |
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xdx |
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|
|
е |
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|
|
dx |
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24. |
а) |
|
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б) |
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||||||||
0 9x4 1 |
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|
3 |
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|
ln x 2 |
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1 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
arctgx 3 dx |
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1,5 |
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|
|
xdx |
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25. |
а) |
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б) |
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x2 1 |
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9 |
4x2 |
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0 |
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0 |
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26. |
а) |
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|
еx dx |
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4 |
sin 2xdx |
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|||||||||||||||||||||||||
1 |
1 еx 3 |
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б) |
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cos2x |
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0 |
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xdx |
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1,5 |
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dx |
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27. |
а) |
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б) |
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x4 4 |
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9 4x2 |
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0 |
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0 |
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0 |
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xdx |
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cosxdx |
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28. |
а) |
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б) |
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x2 |
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1,5 |
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sin x |
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0 |
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dx |
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3 |
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dx |
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29. |
а) sin |
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б) |
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2 |
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x |
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9 x2 |
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1 |
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2x |
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0 |
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2 |
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4 |
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dx |
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30 |
а) x 2-x |
dx |
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б) |
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x2 4 |
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0 |
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2 |
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