Т.Р . 1999 Вступ до аналізу. Похідна
.pdfМІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
ОДЕСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ МОРСЬКИЙ УНІВЕРСИТЕТ
Кафедра „Вища та прикладна математика”
ВСТУП ДО АНАЛІЗУ. ПОХІДНА
Типовий розрахунок
Одеса – 1999
1
Типовий розрахунок розроблено кандидатом фізико – математичних наук Дрековим Володимиром Миколайовичем –- доцентом кафедри „Вища та прикладна математика” Одеського національного морського університету та Дюковою Світланою Борисівною –асистентом тієї ж кафедри.
Типовий розрахунок схвалено кафедрою „Вища та прикладна математика” ОНМУ 24 червня 1999 року (протокол № 10).
Рецензент: – канд. фіз. – матем. наук Ю.О. Григор’єв.
2
Задача 1. Обчислити границі, не користуючись правилом Лопіталя.
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а)
в)
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з)
2
а)
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д)
є)
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3
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в)
д)
є)
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4
а)
в)
lim 1 3x2 5x ;
x x 5 2x2
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2x 1 |
x 3 |
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lim |
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x2 4 2 |
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1 |
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2x |
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x 0 |
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1 |
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lim |
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x sin 7x |
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; |
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arctg(x2 ) |
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x 0 |
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x 2 |
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2 x 1 |
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lim |
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1 |
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x |
x |
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lim |
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2x x2 |
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1 x x3 |
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x |
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lim |
x2 x 3 |
x2 3x |
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x |
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lim |
1 |
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3x2 x 1 |
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x |
2 |
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9 |
3 |
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x 0 |
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(arcsin x)2 |
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lim |
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; |
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x tg 2x |
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x 0 |
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lim |
x 2 |
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3x 1 |
; |
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3 |
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x |
x |
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lim |
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x2 x 3 |
; |
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9 10x |
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x |
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lim |
x 3 |
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x 5 |
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x |
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lim |
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3x |
1 2 |
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x 1 1 |
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2x2 1 |
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(sin x)2 |
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lim |
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; |
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x 0 |
x tg7x |
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x 2 |
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4 x 1 |
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lim |
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4 |
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x |
x |
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lim |
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x5 3x3 x |
; |
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3x4 5x5 |
1 |
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|||||||||||||||||||||||||||||
x |
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|||||||||||||||||||||||||||||
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2x ; |
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lim |
4x2 |
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x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
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б)
г)
е)
ж)
і)
б)
г)
е)
ж)
і)
б)
г)
е)
ж)
і)
б)
г)
lim 3x2 1;
x 1 x
lim x2 x 2 ;
x 2 x2 3x 2
lim |
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3x2 2x 5 |
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; |
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x 11 |
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x2 3x |
3 |
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lim |
1 cos3x |
; |
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|||||||||||
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x tg2x |
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||||||||
x 0 |
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lim |
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e x |
e2 x |
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. |
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x 0 |
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arcsin 3x |
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6 x x2 |
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lim |
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; |
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3x2 8 |
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|||||||||||
x |
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|||||||||
lim |
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x2 x 6 |
; |
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x2 6x |
8 |
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x 2 |
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lim |
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x2 3 2 |
; |
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||||||||||||
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x 1 2x2 x 3 |
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lim |
cos 2x cos x |
; |
|
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||||||||||||||||||
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x arctg5x |
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x 0 |
|
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lim |
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ln(3 x) ln3 |
. |
|||||||||||||||||||
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||||||||||||
x 0 |
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x2 x |
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|||||||
lim |
|
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|
x2 3 |
|
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|
|
; |
|
|
|
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|||||
|
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2x4 |
|
|
|
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|
|
|
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|||||||||
x x2 |
1 |
|
|
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||||||||||||||||
lim |
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x2 |
2x 8 |
; |
|
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|||||||||||||
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x2 |
x |
6 |
|
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|
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|||||||||||||
x 2 |
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||||||||||||
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|||||||
lim |
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x2 5 3 |
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|
; |
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||||||||||||
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|
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x 2 2 |
|
3x2 |
4x |
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||||||||||||||
lim |
1 cos x |
; |
|
|
|
|
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|||||||||
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|
sin(x2 ) |
|
|
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|
|
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||||||||
x 0 |
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|
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||||||
lim |
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etg 2 x 1 |
. |
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|||||||
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x sin 5x |
|
|
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|
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|
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||||||||||
x 0 |
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|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|||||||
lim |
|
|
3 x 4x2 |
|
; |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
5x 1 |
|
|
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|
|
|
|
|
|||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
lim x2 2x 3;
x 3 x2 x 6
3
д)
є)
з)
5
а)
в)
д)
є)
з)
6
а)
в)
д)
є)
з)
7
а)
в)
д)
є)
lim 5x 1 2 ;
x 1 3x2 x 4
lim |
|
tg 2 x |
|
; |
|
|
|
||
x 0 |
sin(3x2 ) |
|||
|
x 1 |
x 3 |
||
lim |
|
|
; |
|
|
||||
x |
x 4 |
|
|
lim 2 3x 4x3 ; x x 2x2 5x3
lim 1 x x2 x ;
x
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
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|
x2 11 6 |
; |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2x 10 |
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|||||||||||
x 5 |
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|
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||||||||
lim |
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tg3 5x |
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; |
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|||||||
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|
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|
|
|
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|
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|||
x 0 |
|
x arcsin(x2 ) |
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x 2 |
|
x 5 |
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||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
||||||||||
x |
4 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
lim |
|
|
x2 4x 2 |
; |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x 1 3x x2 |
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|
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|
|
|||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
||||||||
2x 5 |
|
|
|
|
x 1 |
|||||||||||||||||
x |
|
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|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
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|||||
lim |
|
2 3x 8 |
|
; |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x2 16 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
x 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
lim |
arctg |
|
|
x |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
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||||||||||
x 0 |
|
|
|
|
|
sin 5x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x 2 |
|
2 3x |
|
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||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
x |
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim 2 3x x2 ; x 6x2 5x 3
lim 3x 1 x 9x2 ;
x
lim |
|
|
|
|
x 3 |
|
; |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x |
|
|
|
|
|||||
x 3 |
2 |
x 2 x 1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||
lim |
arc |
sin |
2x |
; |
|
||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
||||||||
x 0 |
|
|
tg3x |
|
|
е)
ж)
і)
б)
г)
е)
ж)
і)
б)
г)
е)
ж)
і)
б)
г)
е)
ж)
lim |
|
|
|
x3 27 |
; |
||
|
|
|
|
|
|||
x |
2 |
x 3 3 |
|||||
x 3 |
|
||||||
|
|
|
|
arctg4x lim ; x 0 sin 5x sin x
lim ln(x 2) ln 2 .
x 0
lim |
|
|
|
|
3x3 1 |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2 |
x 4x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
9 x2 |
|
|
|
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|
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|
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|
||||||||||
lim |
|
|
|
|
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|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x 3 |
|
|
x 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
lim |
|
2 |
|
|
2x2 x 1 |
|
; |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x3 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
lim |
cos( x) cos( x) |
; |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctg3x |
|
|
|
|
||||||||||||
lim |
ln(e x) 1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|||||||
x 0 |
|
|
|
|
sin 3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
||||||||
lim |
|
1 x2 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
||||||
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||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
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|||||||
x |
3x |
|
|
|
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|
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|
|
|
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||||||||||||
lim |
|
x2 |
|
5x 4 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
3 |
2x x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
8x3 1 |
|
|
|
|
; |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|||
|
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|
|
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|
2 |
2x 2 2 |
|
|
|||||||||||||||||
x 0,5 |
|
|
4x |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
||||||||||||||||||
lim |
|
|
x tg3x |
; |
|
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||||||||
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|
|
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||||||||
x 0 |
1 cos3 x |
|
|
|
|
|
|
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|
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||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|||||||
lim |
1 |
|
x2 1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
ln(1 x2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
lim |
|
x3 x 1 |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2 x 6x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
15 2x x2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x 3 |
|
x2 2x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
lim |
|
|
|
9x |
2 3 2 |
; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
|
6x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
x 13 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
lim |
sin( x) sin( x) |
|
; |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
arctg5x |
|
|
|
|
4
з)
8
а)
в)
д)
є)
з)
9
а)
в)
д)
є)
з)
10
а)
в)
д)
є)
з)
11
а)
x 4 |
3 x |
||
lim |
|
|
; |
|
|||
x x 1 |
|
|
lim |
|
|
x3 |
2x2 |
3 |
; |
|
|||
|
|
|
|
5x2 |
x3 |
|
||||
x 2x |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
; |
||||
lim |
|
x2 x |
x2 1 |
|||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim 1 x2 3 ; x 2 3x 2 2
lim x sin 3x ; x 0 arctg(x2 )
x 1 |
1 2 x |
||
lim |
|
|
; |
|
|||
x x 2 |
|
|
lim |
|
|
|
2x2 3x 4 |
; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
8 x |
5x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
||||||||||||||||||
lim |
1 3x x2 |
||||||||||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
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||||||
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|
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|
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|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
x 2 2 x2 x 2 |
|||||||||||||||||||||||||||||
lim |
x arcsin 5x |
; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
tg2 3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
lim |
x 3 |
x 4 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
x |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
lim |
|
|
|
15 x2 |
2x |
|
; |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
2x2 |
3x 10 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|||||||||||||
lim |
2x2 |
3 |
|
|
|
|
2x2 5x 1 |
||||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
x3 3 2 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
3 |
5x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
x 1 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
sin2 5x |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x 0 |
|
x arctg 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
x 5 |
2 x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
x |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
lim |
|
|
|
x 2 x3 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
1 3x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
і)
б)
г)
е)
ж)
і)
б)
г)
е)
ж)
і)
б)
г)
е)
ж)
і)
б)
lim 1 e 3x . x 0 arctg 2x
lim x 2x2 ;
x 3 x3
lim x2 9x 20 ;
x 4 4 3x x2
lim |
2x2 3x 2 |
; |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x 12 |
8x2 1 1 |
|
|
|
|
|||||||||||
lim |
tg( |
x) tg( x) |
; |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x arcsin x |
||||||||||||||||
x 0 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
lim |
ln(1 |
3 x) |
. |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
x 0 |
|
|
sin 2x |
|
|
|
|
lim 2x2 3;
x 1 x
lim x2 9x 20 ; x 5 40 3x x2
lim 3x 3 2 ;
x 13 9x2 3x 2
lim1 cos3x ; x 0 tg(x2 )
lim e x 1. x 0 tg3x
lim |
5 x2 |
x |
; |
|
|
x3 |
10 |
||
x x2 |
|
lim x2 2x 15 ; x 5 10 3x x2
lim 9x2 6x 3 ; x 13 6x 3 1
lim cos x 1 ; x 0 1 cos 4x
lim |
|
x |
|
. |
|
|
|
|
|||
ln(1 tg3x) |
|||||
x 0 |
|
||||
lim |
|
x2 2 |
; |
|
|
|
|
|
|||
x 1 3x3 |
|
|
5
в)
д)
є)
з)
12
а)
в)
д)
є)
з)
13
а)
в)
д)
є)
з)
14
а)
в)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x ; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
lim |
|
|
|
x2 |
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x 3 x 1 |
x2 |
3x |
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
lim |
|
|
|
|
3 sin x |
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arctg 3 |
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x 0 |
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2x |
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lim |
x 4 |
3x 1 |
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x |
x |
3 |
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lim |
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x2 x4 2 |
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3x3 |
2x x4 |
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x |
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lim |
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4x 3 |
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x 1 |
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x |
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x2 3 2 |
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x 1 1 |
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x2 x |
1 |
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lim |
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tg5x |
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x 0 |
arcsin2 ( 3x) |
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x 4 |
2 x 5 |
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lim |
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x |
x |
2 |
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lim |
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1 x2 2x4 |
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; |
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x (x2 1)(x2 |
2) |
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lim |
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x2 |
3x |
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x2 1 |
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x |
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lim |
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x 2 |
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; |
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x |
2 |
x 7 x |
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x 2 |
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1 |
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lim |
sin2 ( x) |
; |
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arctg5x |
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||||||||||||||||||
x 0 |
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lim |
x 1 2 3x |
; |
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x |
x 1 |
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lim |
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x2 3x 1 |
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; |
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(1 2x)(1 |
3x) |
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x |
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; |
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lim |
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x2 |
1 |
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x2 x 4 |
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x |
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г)
е)
ж)
і)
б)
г)
е)
ж)
і)
б)
г)
е)
ж)
і)
б)
г)
lim |
x2 4x 12 |
; |
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2 x x2 |
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x 2 |
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lim |
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6x 4 1 |
; |
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2 4x 6 |
||||||||||
x 12 |
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lim |
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tg5x |
|
; |
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1 cos x |
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x 0 |
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lim ln(1 sin 2x) . |
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x 0 |
x |
lim |
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x2 x4 2 |
; |
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||||||||||
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3x3 x |
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||||||||
x |
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lim |
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15 2x x2 |
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; |
|||||||||||
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x2 11x |
30 |
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x 5 |
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||||||||||||||
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lim |
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6x 1 1 |
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; |
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|
9x2 9x 4 |
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x 13 |
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lim |
|
|
1 cos 4x |
; |
|
|
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|
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||||||
|
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||||||||||
x 0 |
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|
cos5x 1 |
|
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||||||
lim |
|
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|
3x2 x3 |
|
. |
|
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||||||
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|
ln(1 5x2 ) |
|
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|||||||||
x 0 |
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|
|
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|||||||
lim |
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|
1 x2 2x4 |
; |
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||||||||||||
|
|
|
x(x2 1) |
|
|
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|||||||||||
x |
|
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|||||||||
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3 2x x2 |
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|||||||||
lim |
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; |
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x 1 |
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x2 6x 5 |
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lim |
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2x2 3x 9 |
; |
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||||||||||||
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4 5x |
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x 3 |
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1 |
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lim |
sec x 1 |
; |
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|||||||
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x 0 |
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x2 |
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|||||
lim |
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ln(1 3x2 ) |
. |
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||||||||
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x sin 2x |
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x 0 |
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lim x2 3x 1;
x 1 2x
lim x2 7x 6 ;
x 1 6 5x x2
6
д)
є)
з)
15
а)
в)
д)
є)
з)
16
а)
в)
д)
є)
з)
в)
д)
є)
|
|
|
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|
lim |
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3x2 4 2x |
; |
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2x x2 |
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x 2 |
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tg 3 |
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lim |
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x |
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|
; |
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||||||
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||
|
3 arcsin 2x |
|
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x 0 |
|
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||||||||||||
|
x 5 |
|
x 1 |
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||||||||
lim |
2 |
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; |
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|
|||||||||
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|
|
|
|
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|
||||||
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|||||||||
x |
x 2 |
|
|
|
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|
|
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|
lim |
1 x 3x2 |
|
|
; |
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||
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(2x |
7)3 |
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||||||||||||||||||||
x |
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|||||||||||||||||||
|
x |
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|
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; |
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|||||||||||||||
lim |
1 3x x2 |
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||||||||||||||||||||||||||||||
x |
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||||
lim |
3 |
|
|
x2 |
4x 3 |
; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
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||||||||||
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|
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|
|
lim |
|
|
|
|
|
x tg |
|
|
2x |
|
; |
|
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|
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|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
arcsin x |
|
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|||||||||||||||||||
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||
|
x 3 |
1 x |
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|
|||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
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|
; |
|
|
|
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|
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|
||||||||
|
|
|
|
2 |
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|
|
|||||||||||||||||
x |
x |
|
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|
|
|
|
|
|
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|
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|||||||||||||
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|
x2 (x 2)2 |
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|
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||||||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
; |
|
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|
|
|
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|
1 |
3x |
|
|
|
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|
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|
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|||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
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|
|
|||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
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lim |
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x 1 |
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x |
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3 |
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x 2 |
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x 4 |
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x 2 |
x 1 |
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lim |
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6 |
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x |
x |
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lim |
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4x2 |
3x 5 |
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x |
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lim |
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3 |
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x 3 |
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lim 1 x 3x2 ; x (7x 2)2
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lim 4x 9 5 ; x 4 2 8 x
lim1 cos3 x ; x 0 x sin8x
lim e3x e 2 x . x 0 tg5x
lim |
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x |
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. |
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x 4 |
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x 1 |
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x 1 |
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lim |
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x2 2x 3 |
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x |
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lim |
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3x2 x 2 2 |
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x2 x3 |
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x 1 |
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x 0 |
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sin2 7x |
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lim |
x 3 4 3x |
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x |
x 5 |
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lim |
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(x 2)3 |
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; |
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x |
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|||||||||||||||||||||||||
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x |
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; |
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x |
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|
lim |
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4 x |
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|
; |
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||||
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x |
2 |
3x |
2 |
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x 4 |
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x 0 |
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lim |
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x |
x 4 |
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lim |
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(x 1)2 (x 1)2 |
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3 8x |
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x |
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lim |
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x 1 |
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x |
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lim |
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1 3x x2 1 |
; |
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x tg 3x |
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x 0 |
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x 0 |
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tg 2x |
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lim |
2x2 x 3 |
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(x |
1)3 |
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lim |
x2 8x 15 |
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9x |
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x 3 x2 |
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lim |
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2x 3 2 |
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4x2 1 |
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x 12 |
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sin( |
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x) sin( |
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x) |
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lim |
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6 |
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6 |
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tg3x |
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x 0 |
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ln 1 x2 |
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lim |
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1 |
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x 0 |
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lim |
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(x 2)4 |
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1 3x 3x5 |
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x |
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8 2x x2 |
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x2 |
7x 10 |
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x 2 |
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lim |
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3x2 5x 2 |
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x 1 |
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3x2 1 x2 3 |
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tg( |
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x) tg( |
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x) |
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lim |
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4 |
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4 |
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x 0 |
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lim |
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1 |
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x 0 ln(1 2x) |
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(x 1)2 (x 1)2 |
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lim |
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3 8x2 |
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x |
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lim |
10 3x x2 |
; |
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x2 |
7x |
10 |
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x 5 |
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lim |
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x 1 |
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3x 1 |
; |
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1 x4 |
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x 1 |
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lim |
cos ecx ctgx |
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x 0 |
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x |
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21
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22
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з)
23
а)
в)
д)
є)
з)
x 3 |
1 x |
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lim |
|
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; |
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x x 4 |
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lim 1 x5 3x3 ; x x2 3x5 x4
lim |
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2x 1 |
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x 2 |
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x |
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lim |
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4 x |
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x |
2 |
3x |
5 x |
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x 4 |
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1 |
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lim |
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arcsin3x |
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x 0 |
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tg |
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x |
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x 3 |
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3 x |
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lim |
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x |
x 4 |
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lim |
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5 2x2 |
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4x |
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; |
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x (x 1)3 x3 |
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; |
|||||||||||
lim |
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x2 2x 5 |
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x2 x 4 |
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x |
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lim |
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3x 2 |
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6 x |
; |
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|
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8 x3 |
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x 2 |
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lim |
x arctg2x |
; |
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sin(7x2 ) |
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x 0 |
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|||||||||||||||
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2x 3 |
x 2 |
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||||||||||||||||||
lim |
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; |
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||||||||||||
x |
|
2x 1 |
|
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||||||||||||||||
lim |
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x2 3x 5 |
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|
; |
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|||||||||||||||||
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x (x 3)2 (x 3)2 |
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2x |
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; |
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lim |
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1 2x 4x2 |
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x |
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lim |
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x 3 x2 5x 5 |
; |
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||||||||||||||||||||||||||||||
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4 x |
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x 4 |
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lim |
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tg |
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x4 2x3 |
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; |
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||||||||||||||||||
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x arcsin |
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x 0 |
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|
x |
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2x 1 |
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2 x |
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|||||||||||||||||
lim |
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2x |
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x |
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4 |
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і)
б)
г)
е)
ж)
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б)
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е)
ж)
і)
б)
г)
е)
ж)
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lim |
|
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; |
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
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x x2 |
|
|
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||||||||||
lim |
|
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|
|
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|
|
; |
|
|||
|
x2 |
|
|
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|
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||||||
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|
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|
|
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||||||||||
|
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|
|
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|
|
|
|
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|
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lim |
|
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|
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; |
|||||||||
|
|
|
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9x x3 |
|||||||||||
x 3 |
|
|
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|
|
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|
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; |
|
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x 0 |
|
x sin x |
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|||||
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|
3x 5x |
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lim |
|
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. |
|
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x |
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|
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|
|
|
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x 0 |
|
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|
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lim |
|
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; |
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|||||||||||
|
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1)3 x3 |
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||||||||||||
x |
|
|
|
|
|||||||||||
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|
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lim |
|
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|
; |
|
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|
|
|||
|
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x 4 |
|
x2 x 12 |
|
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||||||||||
lim |
|
5x2 2x 3 |
; |
|
|||||||||||
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|
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||||
|
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x 1 x |
|
2x2 1 |
|
|
|
tg2 x
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lim 3x 1 .
x 0 1 e2 x
lim |
|
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|
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|
|
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||||
|
|
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|
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|||||||||
x |
|
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||||||
lim |
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|
; |
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x 5 x2 |
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||||||||
lim |
|
|
|
|
8 x3 |
|
; |
|||||
|
|
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|
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|
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|
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||||
|
|
|
|
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x 2 x |
|
3x2 5x 2 |
|
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||||||||
lim |
tg2x sin 2x |
; |
|
|
||||||||
|
|
|
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x 0 |
|
|
|
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x3 |
|
|
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lim |
|
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1 |
. |
|
|
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|
|||
|
|
sin 3x |
|
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|
|
|
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x 0 |
|
|
|
|
|
|
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24
а)
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25
а)
в)
д)
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з)
26
а)
в)
д)
є)
з)
|
|
|
(x 2)3 (x 1)3 |
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lim |
|
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|
; |
|
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|
4 2x 3x2 |
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||||||||||||||||||
x |
|
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|
|
; |
|||||||
lim |
|
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|
2x2 3x |
2x2 5x 1 |
||||||||||||||||||||||||||
x |
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|
|
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|
lim |
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|
|
4x2 3x 1 |
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|
|
; |
|
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|||||||||||||
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|||
x 1 |
|
|
|
|
3x 1 |
|
5x 1 |
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lim |
sin 3x tg5x |
; |
|
|
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x 0 |
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arctg2 x |
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1 2x 3x 1 |
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lim |
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|
; |
|
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|
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|||||||
2 |
|
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|
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|
|
|
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|||||||||||||||||||
x |
|
2x |
|
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||||||||||
lim |
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|
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|
|
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||||||||||||||
|
|
|
|
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(2x 1)2 |
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||||||||||||
x |
|
|
|
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|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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lim |
|
x2 x 1 |
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||||||||||||||||||||||||||||
x |
|
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|
|
|
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|
lim |
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|
x 5 |
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|
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|
; |
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||||||||||
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x 5 |
|
|
x |
2 |
4x |
11 x 1 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
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|
tg 2 3x |
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|
|
|
; |
|
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|
|||||
|
|
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||
x 0 |
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||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
5x 4 2 x 3 |
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|
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|
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lim |
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|
; |
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|
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|||||||||||
x |
|
5x 2 |
|
|
|
|
|
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|
|
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|
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||||||||||
lim |
|
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|
|
|
x3 3x2 |
2 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
3x 6x2 2x3 |
|
|
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|||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
2x2 3x |
2x2 1 |
||||||||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
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lim x arctgx ;
x 0 x2
sin 2
x 2 |
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|
|
lim |
|
|
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|
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x x 3 |
|
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б)
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і)
lim |
|
|
|
(x 2)3 |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
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|||||||||
|
|
4 2x 3x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
lim |
12 4x x2 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
x2 10x |
16 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
x 2 |
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||
|
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|
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|
lim |
|
|
|
x |
|
x2 x 16 |
; |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
64 x3 |
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||
x 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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5 |
|
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5 |
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x) |
|||||||||||||||||||
|
|
|
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||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
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|
6 |
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|
; |
||||
|
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|
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|||
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x sin x |
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x 0 |
|
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||||||||||||||
lim |
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
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1 cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||
lim |
|
|
|
(x 3)3 |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
2x2 |
3x |
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
lim |
x2 6x 5 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
3 2x x2 |
|
|
|
|
|
|
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|
|
|||||||||||||||||
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||
lim |
|
|
|
2x2 7 5 |
; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
27 x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||
x 3 |
|
|
|
|
|
|
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||||||||||
lim |
|
|
1 cos3 4x |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
x arcsin 6x |
|
|
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||||||||||||||||
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||
lim |
|
esin 2 x 1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
x2 3x |
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|||||||||
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim 5x 2x2 ;
x 8 x3
lim 10 3x x2 ; x 5 x2 9x 20
lim 4x2 3 2 ;
x 12 2x2 3x 2
|
tg( |
x) tg( |
|
x) |
||||
lim |
4 |
|
|
|
4 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
x sin |
|
|
||||
x 0 |
|
|
x |
|
|
lim ln(1 5x ) .
x 0
10