Учебное пособие 640
.pdfМИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«Воронежский государственный технический университет»
Кафедра прикладной математики и механики
ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
кпроведению практических занятий № 5-8 для студентов направления 15.03.01 «Машиностроение» (профили «Технологии, оборудование
иавтоматизация машиностроительных производств» и «Оборудование
и технология сварочного производства») заочной формы обучения
Воронеж 2021
УДК 621.01:531.8(07) ББК 30.12:22.2я7
Составитель
канд. техн. техн. В. А. Рябцев
Техническая механика: методические указания к проведению практических занятий № 5-8 для студентов направления 15.03.01 «Машиностроение» (профили «Технологии, оборудование и автоматизация машиностроительных производств» и «Оборудование и технология сварочного производства») заочной формы обучения / ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет»; сост. В. А. Рябцев. – Воронеж: Изд-во ВГТУ, 2021. - 35 с.
Методические указания содержат разборы решений типовых задач по сопротивлению материалов, содержащихся в контрольных работах и тестовых заданиях. Решение указанных задач необходимо в рамках подготовки к сдаче зачетов и экзаменов.
Предназначены для студентов заочной формы обучения.
Методические указания подготовлены в электронном виде и содержатся в файле ТММПЗМС2.pdf.
Табл. 3. Ил. 20. Библиогр.: 3 назв.
УДК 621.01:531.8(07) ББК 30.12:22.2я7
Рецензент – Ю. Б. Рукин, канд. техн. наук, доцент кафедры прикладной математики и механики ВГТУ
Издается по решению редакционно-издательского совета Воронежского государственного технического университета
2
Введение
Техническая механика изучает методы изучения и создания машин и механизмов. Основой этих методов являются методы сопротивления материалов, поскольку основными критериями работоспособности деталей и узлов машин является прочность, жесткость и устойчивость.
Под прочностью понимается способность детали машины выдерживать в процессе эксплуатации заданные рабочие нагрузки без разрушения.
Под жесткостью понимается способность детали машины эксплуатироваться в заданных условиях при деформациях, не превышающих заданные пределы, определенные по условиям эксплуатации.
Под устойчивостью детали машины понимается ее способность сохранять заданную форму равновесия под действием рабочих нагрузок.
В данных методических указаниях рассматриваются решения типовых задач сопротивления материалов по оценке прочности и жесткости стержня при растяжении – сжатии, кручении и плоском изгибе и также по определению размеров сечения заданной формы из расчета стержня на устойчивость при продольном сжатии, напряженного состояния.
3
5. Занятие №5
Определение внутренних силовых факторов в балках при плоском изгибе
Под изгибом понимают вид деформирования, при котором в поперечном сечении стержня действует изгибающий момент.
Стержень, работающий в основном на изгиб, называют балкой.
Если все внешние силы и пары сил, изгибающие балку, лежат в одной плоскости (силовая плоскость), проходящей через продольную ось балки z и одну из главных центральных осей инерции поперечного сечения, то изгиб называется прямым или плоским. При прямом изгибе ось изогнутой балки располагается в силовой плоскости.
Если в поперечных сечениях балки действуют только изгибающие моменты, то изгиб называется чистым.
При поперечном изгибе в поперечных сечениях балки возникают поперечная сила Qy и изгибающий момент M x (рис. 5.1).
При решении задач, связанных с расчетом на прочность при изгибе, важно правильно определять поперечную силу Qy и изгибающий момент M x в
поперечном сечении балки и строить эпюры этих внутренних силовых факторов. Обычно решение задачи начинается с определения опорных реакций (если в этом есть необходимость). Для этого необходимо составить уравнения равновесия. Для балки, нагруженной системой сил, лежащих в одной плоскости, в общем случае можно записать три уравнения равновесия. Определив реакции опор, обязательно делают проверку правильности их определения, поскольку ошибка в определении реакций обязательно обнаружится после построения эпюр Qy и M x . Для этого составляют дополнительное уравнение равновесия. Если
реакции определены верно, это уравнение удовлетворяется тождественно.
Далее разбивают балку на участки. Кроме концов балки границами участков являются: сечения, в которых:
приложены сосредоточенные силы; приложены сосредоточенные моменты; реакции опор;
происходит резкое изменение интенсивности распределенной нагрузки.
В пределах каждого участка аналитические выражения Qy и M x остаются
неизменными.
Рассматривая произвольное поперечное сечение на каждом участке, используют метод сечений и записывают уравнения для поперечной силы и изгибающего момента. Согласно методу сечений поперечная сила Qy в сечении
балки равна алгебраической сумме проекций на вертикальную ось, направленную
4
так же, как и положительная сила Qy , всех внешних сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения:
n |
|
Qy PQi . |
(5.1) |
i 1 |
|
Изгибающий момент Mx в сечении балки численно равен алгебраической сумме изгибающих моментов, создаваемых всеми внешними силами и моментами, действующих на отсеченную часть балки, относительно центра тяжести рассматриваемого сечения
n |
|
Mx mxi . |
(5.2) |
i 1 |
|
Рис. 5.2
При этом используются следующие правила знаков для M x . Внешний момент m дает положительный изгибающий момент (положительное слагаемое в выражении для M x ), если этот момент направлен противоположно положительному изгибающему моменту для рассматриваемой части балки (см.
рис. 5.2).
В некоторых учебниках, например для строителей, используется
противоположное правило знаков. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Поперечная сила Qy , |
изгибающий |
момент M x и |
интенсивность |
||||||||||
распределенной нагрузки q |
связаны |
|
дифференциальными |
зависимостями |
|||||||||
Д.И.Журавского: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dQy |
q, |
|
dM |
x |
Qy |
, |
|
d |
2M |
x |
q, |
(5.3) |
|
dz |
|
|
|
dz2 |
|
|||||||
|
|
dz |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где z – координата, определяющая положение сечения балки.
При построении эпюр Qy , M x и их контроле следует учитывать следствия,
вытекающие из дифференциальных зависимостей (3.3) и непосредственно из метода сечений [1].
Построив эпюры поперечных сил и изгибающих моментов, определяют положение опасного с точки зрения прочности сечения балки. Если балка имеет постоянное по ее длине сечение, то опасным будет сечение, в котором изгибающий момент достигает наибольшего по абсолютной величине значения. В
5
общем случае опасное сечение нужно определять как сечение с максимальным для всей балки нормальным напряжением.
Расчет на прочность балок обычно проводят, используя условие прочности по нормальным напряжениям
|
max |
|
Mx |
|
|
, |
(5.4) |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||
|
Wx |
|
|||||
где max M x - изгибающий момент в опасном сечении; |
Wx - осевой момент |
сопротивления сечения; - допустимое напряжение для материала балки. Исходя из условия (3.4) выполняются следующие виды расчета:
проверочный, проектный и расчет грузоподъемности.
Проверочный расчет заключается в непосредственной проверке выполнения условия (3.4).
Для выполнения проектного расчета (определения требуемых размеров сечения) из (3.4) получаем
Wx |
maxM |
x . |
(5.5) |
|
Для определения грузоподъемности (определение допустимых значений сил или моментов, вызывающих изгиб балки формула (5.4) преобразуется к виду
M x Wx . |
(5.6) |
Определив из (5.6) максимальное значение М x , по эпюре изгибающих моментов устанавливают допустимые значения внешних сил или моментов, вызывающих изгиб балки, определяют размеры и характеристики сечения.
Задача №5.1
Для защемленной балки (рис. 5.3):
1.Вычертить в масштабе расчетную схему, указав числовые значения размеров и нагрузок.
2.Вычислить опорные реакции и проверить их.
3.Составить аналитические выражения изменения изгибающего момента Mx и поперечной силы Qy .
4.Построить эпюры изгибающих моментов Mx и поперечных сил Qy .
5.Руководствуясь эпюрой изгибающих моментов, показать приблизительный вид изогнутой оси балки.
6.По опасному сечению подобрать поперечное прямоугольное h x b сечение при допускаемом напряжении = 16 МПа.
Исходные данные: c/ a 2.0; |
P / qa 0.6; m/ qa2 |
0.2; |
a |
0.5 м; q 6 кН/м; |
|
qa 6*0.5= 3 кН; qa2 |
6*0.52= 1.5 кН*; h/ b 1,5. |
|
|
|
|
|
|
Решение |
|
|
|
I.Консольная (защемленная) балка
1.Расчетная схема балки приведена на рис. 5.3 а
2.Определение опорных реакций
6
Действие заделки на балку можно заменить реакциями RA и HA и моментом
MA .
Уравнения равновесия балки имеют вид
Pix 0 , Ha 0, Piy 0, RA P qc 0 ,
MiA 0, M A P(a c) m cq* c / 2 0.
Отсюда следует
RA P qc 0.6qa q2a 2.6qa ,
MA P(a c) m cq* c / 2
0.6qa(a 2a) 0.2qa2 2aq* 2a / 2 3.6qa2.
Поскольку |
M A 0 |
действительное |
направление MA |
противоположно направле- |
нию, указанному на рис. 5.3 а. Проверка
MiC 0 , M A Pa m cq* c / 2 RAc
( 3.6 0.6 0.2 2* 2/ 2 2.6* 2)qa2 0.
3.Составление аналитических выражений изменения изгибающего момента Mx и поперечной силы Qy на всех участках.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Балка имеет два участка. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 участок 0 z1 a. |
|
|||||||
|
|
Рис. 5.3 |
|
|
|
|
Рассматриваем левую отсеченную часть |
||||||||||
|
|
|
|
|
балки. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Q |
( z |
1 |
) P 0.6qa , M |
x |
( z |
1 |
) m Pz |
1 |
0.2qa2 |
0.6qaz ; |
|||
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
||||
|
|
|
|
Mx(0) 0.2 |
qa2 , Mx(a) (0.2-0.6) qa2 = -0.4 qa2 . |
||||||||||||
2 участок 0 z2 |
c 2a . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Рассматриваем левую отсеченную часть балки. |
|
|
|||||||||||||||
|
|
Qy( z2 ) P qz2, Qy (0) P 0.6qa, Qy (c) 0.6qa q2a 2.6qa, |
|||||||||||||||
|
|
|
|
Mx( z2 ) m P(z2 |
a) 0,5qz22 |
|
0.2qa2 |
0.6qa( z2 |
a) 0,5qz22 |
||||||||
Mx(0) (0.2-0.6) qa2 = -0.4 qa2 , Mx(c) (0.2-0.6*(1+2)-0.5*22) qa2 = -3.6 qa2 . |
|||||||||||||||||
4. По полученным величинам Qy |
и Mx строим эпюры поперечных сил и |
||||||||||||||||
изгибающих моментов (рис. 5.3 б, в). По эпюре Mx |
определяем максимальный по |
||||||||||||||||
модулю изгибающий момент в поперечных сечениях балки |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Mxmax 3.6 qa2 = 3.6*13.5= 5.4 кН*м. |
|||||||||
5. Определение приблизительного вида изогнутой оси балки по эпюре |
|||||||||||||||||
изгибающих моментов. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Для этого можно использовать дифференциальное уравнение упругой |
|||||||||||||||||
линии балки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
d2 y |
|
Mx |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
EJx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для сечений, в которых M x 0 изогнутая ось балки имеет выпуклость вниз.
7
Для сечений, в которых Mx 0 изогнутая ось балки имеет выпуклость вверх. Для сечений, в которых Mx 0 изогнутая ось балки имеет точку перегиба.
Изогнутая ось балки изображена на рис. 5.3 г. 6. Подбор поперечного прямоугольного сечения.
Условие прочности балки max |
M x мах |
|
|||||||||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Wx |
|||
Расчетная величина момента сопротивления балки |
|||||||||||||
W |
x |
M |
x мах |
/ R 5.4*106/16= 3375*103 мм3= 3375 см3. |
|||||||||
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Для прямоугольного сечения Wx |
bh2 |
/6. Поскольку h 1,5b, получаем |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
W b2,25b2 /6 0,375b3 |
и b 3 |
Wx |
|
|
|
3 |
|
9.655см, |
|||||
|
|
|
3375/ 0,375 |
||||||||||
|
|
|
|||||||||||
x |
|
|
|
0,375 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
h 1,5b 1.5*9.655= 14.482 см. |
|
|
|
|
|
|
|
Задача 5.2
(Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов, подбор сечений заданного типа для двуопорной балки (задача № 5 КР №2))
Для двуопорной балки (рис. 5.4 а) при условии и исходных данных задачи 5.1 подобрать двутавровое сечение при допускаемом напряжении = 160 МПа.
Решение
Определение опорных реакций Балка имеет шарнирно – подвижную опору А и шарнирно – неподвижную
опору В. Поскольку система сил, действующих на балку включает только вертикальные силы и опора В перемещается горизонтально, горизонтальные составляющие реакции в опорах А и В будут равны нулю,
Вертикальные составляющие реакций RA и RB определим из уравнений равновесия моментов сил относительно точек А и В:
MiA 0 , RB 6a P7a m 4aq*(2a 2a) 0 .
MiB 0, RA6a Pa m 4aq* 4a / 2 0 .
или
7aRA Pa m 4aq* 2a ( 0.6 0.2 8)qa2 7.6qa2,
7aRB P7a m 4aq4a (0.6*7 0.2 16 )qa2 20qa2 .
Отсюда следует RA 7.6qa / 6 1.267qa , RB 20qa / 6 3.333qa .
Проверка
Piy 0, RA RB P 3.2aq (1.267 3.333 0,6 4)qa 0.
Составление аналитических выражений изменения изгибающего момента Mx и поперечной силы Qy на всех участках.
Балка имеет три участка.
1 участок 0 z1 a. Рассматриваем левую отсеченную часть балки.
Qy ( z1 ) 0 , Mx( z1 ) m 0,2qa2 ;
2 участок 0 z2 2a. Рассматриваем левую отсеченную часть балки.
8
Qy ( z2 ) RA 1.267qa , Mx( z2 ) m RAz2 0,2qa2 1.267qaz2
Mx(0) -0,2 qa2 , Mx(2a) (-0.8+1.267*2)qa2 = 2.333 qa2 .
3 участок 0 z3 4a.
Рассматриваем левую отсеченную часть балки.
Qy ( z3 ) RA qz3 1.267qa qz3 ,
Qy (0) RA 1.267qa, Qy (4a ) 1.267qa q4a 2.733qa
Mx (z3 ) m RA( z3 2a) 0,5qz32 0,6qa2 1.267qa( z3 2a) 0,5qz32
Mx(0) 2.333 qa2 , Mx(4a) (-0,2+1.267*6-0,5*42)qa2 = -0,6 qa2 . Поскольку поперечная сила на
участке изменяет знак, в сечении с координатой z2 z* , соответствующем Qy 0 изгибающий момент достигает
экстремума. |
|
Из |
условия |
|
Qy 1.267 qz* |
0 |
определяем |
z* = |
1.267 a. Экстремальное значение изгибающего момента
Mx( z* ) 0,2qa2 1.267qa*(2a 1.267a) 0,5
.
|
4 участок 0 z4 a. |
|
Рассматриваем правую отсечен- |
|
ную часть балки. |
|
Qy ( z4 ) P 0,6qa , |
|
M x ( z4 ) Pz4 0,6qaz3 , |
|
M x (0 ) 0 , Mx (a) 0,6qa2 . |
|
По полученным величинам Qy и |
|
Mx строим эпюры поперечных сил и |
Рис. 5.4 |
изгибающих моментов (рис. 5.4 б, в). |
По эпюре Mx определяем макси- |
мальный по модулю изгибающий момент в поперечных сечениях балки Mxmax 3.136 qa2 = 3.136*1.5=
= 4.703 кН*м.
Приблизительный вид изогнутой оси балки показан на рис. 5.4 г. Подбор двутаврового сечения.
Расчетная величина момента сопротивления балки
Wx Mx мах / Ru 4.703*106/200= 0.0235*106 мм3= 23.5 см3.
По сортаменту (таблице параметров) двутавров определяем двутавр № 10 с моментом сопротивления Wx 39.7 см3.
9
|
|
|
|
|
|
6. Занятие №6 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Определение перемещений балок при плоском изгибе |
|
||||||||||||
При плоском изгибе балки ее ось, искривляясь, остается в силовой |
|||||||||||||||
плоскости. Изогнутая ось балки, представляющая собой множество точек центров |
|||||||||||||||
тяжести поперечных сечений деформированной балки, называется упругой |
|||||||||||||||
линией |
балки. |
Деформация |
|
балки |
в |
плоскости |
yz |
характеризуется |
двумя |
||||||
|
|
|
|
|
перемещениями (рис. 6.1): |
|
|
|
|||||||
y |
Θ |
|
|
|
|
|
1) |
прогибом |
|
(y) |
– |
линейным |
|||
|
|
|
перемещением точек оси балки по нормали к |
||||||||||||
|
|
|
|
|
ее первоначально прямой оси; |
|
|
|
|||||||
|
|
y |
|
z |
|
|
2) углом поворота сечения (Θ) – углом, |
||||||||
|
|
|
на |
|
который |
поворачивается |
поперечное |
||||||||
|
Θ |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
сечение |
балки |
|
|
относительно |
его |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
z |
|
|
P |
|
первоначального |
|
положения |
(поперечное |
|||||||
|
|
|
сечение |
остается |
|
плоским |
и |
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Рис. 6.1 |
|
|
перпендикулярным изогнутой оси балки). |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
6.1. Определение перемещений методом Мора |
|
|
||||||||||
Метод Мора является универсальным методом определения линейных и |
|||||||||||||||
угловых перемещений в любых плоских и пространственных системах. Для того |
|||||||||||||||
чтобы определить методом Мора перемещение i |
(прогиб или угол поворота) в |
||||||||||||||
некотором сечении балки, необходимо: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1)рассмотреть «грузовое» состояние (“Р”), представляющее балку под действием заданных нагрузок;
2)рассмотреть «единичное» состояние (“i”), представляющее ту же балку, освобожденную от заданных нагрузок и нагруженный единичным силовым фактором (единичной силой, когда определяется прогиб, или единичным моментом, когда определяется угол поворота), приложенным в сечении, перемещение которого определяется, в предполагаемом направлении искомого перемещения;
3)«грузовое» и «единичное» состояния разбить на одинаковые участки;
4)на каждом k - м участке записать аналитические выражения изгибающих моментов, соответствующих «грузовому» состоянию Mxp(k) и «единичному»
состоянию Mxi(k) ;
5) определить искомое перемещение, как сумму интегралов Мора по участкам балки
|
m |
|
M (k)M |
(k) |
|
|||
i |
|
|
xp |
|
|
xi |
dz, |
(6.1) |
EI |
|
|
|
|||||
|
k 1 |
x |
k |
|
||||
|
|
lk |
|
|
|
где m – число участков; k – номер участка; lk – длина участка; EIx k – изгибная
жесткость участка.
Если i > 0, то направление искомого перемещения совпадает с направлением единичного силового фактора, если i < 0, то противоположно ему.
10