m35674_6
.DOCТема 5. |
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ, ИХ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ |
Основные понятия
Случайной называют величину, которая в результате испытания принимает одно и только одно из своих возможных значений, наперед не известное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.
Случайные величины подразделяются на два класса дискретные и непрерывные.
Случайная величина называется дискретной, если все ее возможные значения можно изобразить изолированными точками числовой прямой.
Примеры дискретных случайных величин:
количество очков, выпавших на верхней грани игрального кубика при его однократном подбрасывании;
количество опечаток на странице рукописи;
число претендентов на вакантную должность;
число зерен в колоске злака.
Случайная величина называется непрерывной, если все ее возможные значения сплошь заполняют некоторый промежуток числовой прямой.
Примеры непрерывных случайных величин:
процент жира в молоке;
количество осадков, выпадающих в некоторой местности за некоторый месяц;
время ожидания автобуса на остановке.
Случайные величины принято обозначать прописными буквами конца латинского алфавита: а их возможные значения соответственными строчными буквами с числовыми индексами. Так, например, возможные значения случайной величины .
Запись означает вероятность того, что случайная величина приняла значение . Коротко эту вероятность обозначают через : .
Аналогично вероятность того, что случайная величина приняла значение и т.д.
Соответствие между всеми возможными значениями случайной величины и их вероятностями называют законом распределения случайной величины (распределением вероятностей случайной величины). Для дискретной случайной величины закон распределения задается в виде таблицы
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
… |
|
, |
где .
Это способ задания дискретной случайной величины часто называют рядом распределения. Ряд распределения дискретной случайной величины может быть представлен геометрически в виде многоугольника распределения (рис. 5.1).
Рис. 5.1. Многоугольник распределения.
Пример 5.1. Пусть число выпадений герба при бросании двух монет. Составить закон распределения случайной величины .
Решение. Случайная величина может принимать, очевидно, значения 0, 1, 2. Обозначим соответствующие им вероятности через и рассмотрим события
{обе цифры, т.е. герб не выпал ни разу};
{герб-цифра или цифра-герб, т.е. герб выпал один раз};
{оба герба, т.е. герб выпал два раза}.
Тогда
Таким образом, получаем искомый закон распределения:
|
|
0 |
1 |
2 |
|
|
|
|
1/4 |
1/2 |
1/4 |
. |
|
Очевидно, .
Пример 5.2. Стрелок, имея 4 патрона, стреляет до первого попадания в цель. Вероятность попадания при каждом выстреле постоянна и равна 0,6. Построить закон распределения числа использованных патронов.
Решение. Заметим, что стрелок использует -й патрон, если -й и все предыдущие выстрелы закончились промахами.
Введем в рассмотрение случайную величину число использованных патронов и случайные события
{попадание в цель при первом выстреле};
{промах при первом выстреле и попадание при втором};
{промахи при двух первых выстрелах и попадание при третьем};
{промах при первых трех выстрелах}.
Очевидно, вероятность промаха при одном выстреле равна 10,6=0,4. Применяя теорему умножения вероятностей для независимых событий, получаем
Отсюда следует, что искомый закон распределения случайной величины имеет вид
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
|
0,6 |
0,24 |
0,096 |
0,064 |
. |
Заметим еще раз, что сумма вероятностей в нижней строке таблицы равна единице.
Математическим ожиданием (средним ожидаемым значением) дискретной случайной величины называется сумма произведений всех ее возможных значений на соответствующие им вероятности:
Разность называется отклонением случайной величины от ее математического ожидания.
Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:
Для вычисления дисперсии дискретной случайной величины можно пользоваться одной из двух формул:
где , или так называемой универсальной формулой
то есть
Наряду с математическим ожиданием, дисперсия является важнейшей числовой характеристикой случайной величины. Она характеризует разброс, рассеяние значений случайной величины относительно ее математического ожидания. Однако дисперсия имеет одно не совсем удобное качество: ее размерность равна размерности квадрата случайной величины. Поэтому в качестве показателя рассеяния значений случайной величины относительно ее математического ожидания рассматривают чаще среднее квадратическое отклонение случайной величины (с.к.о.):
Эта величина имеет ту же размерность, что и случайная величина .
Пример 5.3. Заданы законы распределения двух независимых случайных величин :
-
-4
2
6
8
1
3
0,2
0,1
0,3
0,4
0,2
0,8
Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Z = 3X 5Y.
Решение.
1. Найдем математические ожидания случайных величин :
,
2. Напишем законы распределения случайных величин :
|
16 |
4 |
36 |
64 |
|
|
1 |
9 |
|
0,2 |
0,1 |
0,3 |
0,4 |
|
0,2 |
0,8 |
3. Найдем математические ожидания случайных величин и :
;
.
4. Найдем дисперсии случайных величин и с помощью универсальной формулы:
;
5. Пользуясь свойствами математического ожидания и дисперсии, а также независимостью случайных величин и , окончательно получим
;
6. Найдем среднее квадратическое отклонение случайной величины Z:
Для непрерывных случайных величин закон распределения вероятностей, очевидно, не может быть задан в виде таблицы подобно тому, как это было сделано для дискретной случайной величины, так как нельзя перечислить все ее возможные значения в силу их структурных особенностей (кроме того, вероятность каждого отдельного значения непрерывной случайной величины равна нулю).
Представление о распределении вероятностей непрерывной случайной величины получают с помощью функции распределения либо плотности распределения вероятностей.
Функцией распределения вероятностей (интегральным законом распределения) непрерывной случайной величины называется непрерывная функция , определяемая равенством
Отметим, что
неубывающая функция и принимает значения от 0 до 1, когда пробегает значения от ;
вероятность того, что принимает значения между и вычисляется по формуле
Пример графика функции распределения вероятностей непрерывной случайной величины изображен на рис. 5.2.
Рис. 5.2. Пример графика функции распределения вероятностей
непрерывной случайной величины.
З а м е ч а н и е. Функция распределения используется и как закон распределения дискретной случайной величины, представляя собой графически уже разрывную ступенчатую линию.
Пример 5.4. Два стрелка делают по одному выстрелу. Вероятности попадания в мишень соответственно равны 0,5, 0,4. Составить закон распределения числа попаданий в цель, начертить многоугольник распределения и график функции распределения.
Решение.
1. Получим ряд распределения случайной величины X. Пусть
А = {первый стрелок попал в цель};
В = {второй стрелок попал в цель};
Х – число попаданий в цель.
Вычислим вероятности того, что Х примет значения 0, 1 и 2:
;
;
Таким образом, ряд распределения случайной величины X имеет вид:
Х |
0 |
1 |
2 |
Р |
0,3 |
0,5 |
0,2 |
2. Строим многоугольник распределения (рис. 5.3):
Рис. 5.3. Многоугольник распределения.
3. Строим аналитически функцию распределения случайной величины X.
1)
2)
3) либо
4)
Итак,
4. Строим график (рис. 5.4).
Рис. 5.4. График функции распределения .
Плотностью распределения вероятностей (дифференциальным законом распределения) непрерывной случайной величины называется функция , определенная равенством
Выделим следующие свойства:
1)
З а м е ч а н и я.
1. График дифференциальной функции f(x) принято называть кривой распределения.
2. Если задана кривая распределения, то по ней можно узнать, чему равна вероятность P(α < X< β). Действительно, из свойства 4) следует, что P(α < X< β) равна площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой распределения, осью абсцисс и прямыми x = α и x = β (рис. 5.5). Свойство 2) говорит о том, что площадь фигуры, ограниченной кривой распределения и осью абсцисс, равна единице.
Рис. 5.5. Геометрический смысл P(α < X< β).
3. Объект называется дифференциалом или элементом вероятности и имеет следующий геометрический смысл (рис. 5.6).
Рис. 5.6. Геометрический смысл элемента вероятности .
Пример 5.5. Продолжительность жизни растений некоторого вида в определенной среде представляет собой непрерывную случайную величину . Пусть плотность распределения вероятностей имеет вид
.
1. Какова функция распределения случайной величины ?
Какая доля растений данного вида умирает за период в 100 дней?
Если некоторое растение живет в течение 100 дней, то какова вероятность того, что оно проживет еще не менее 100 дней?
Решение.
1. Функция распределения вероятностей для будет выглядеть следующим образом:
2. Доля растений, которые умирают за период в 100 дней, выражается вероятностью
3. Искомая в этом пункте вероятность составляет
Таким образом, примерно 30% тех растений, которые не умирают за 100 дней, будут жить по крайней мере и следующие 100 дней.
Пример 5.6. Случайная величина x задана функцией распределения
Найти плотность вероятности f(x), построить графики функций F(x) и f(x) и вычислить P(1 x 2).
Решение.
1. Так как , то
2. Строим графики функций F(x) и f(x) (рис. 5.7).
Рис. 5.7.
3. Вычисляем искомую вероятность P(1 X 2).
Непрерывные случайные величины, как и дискретные, имеют числовые характеристики которые вычисляются по следующим формулам:
или
Пример 5.7. Непрерывная случайная величина Х имеет закон распределения
Найти значение параметра А, функцию распределения вероятностей случайной величины Х, числовые характеристики М(Х), , (Х) и Р(0 Х 2).
Решение.
1. Для отыскания значения А воспользуемся свойством дифференциальной функции (х)
Получаем
то есть
2. Функцию распределения ищем по формуле
.
1)
2)
3) .
3. Учитывая, что 0 х 5, вычислим М(Х):
Для нахождения дисперсии D(Х) воспользуемся универсальной формулой:
Среднее квадратическое отклонение будет равно
(Х) = = .
4. Теперь воспользуемся формулой
и вычислим Р(0 X 2):