Добавил:

Chupapi_Munyanya Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МЭИ»

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Лекция 10

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.05.2024

Размер:

484.06 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

Лекция 10. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано. Формула Маклорена. Стандартные разложения элементарных функции.

Лекция 10

ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА (ПРОДОЛЖЕНИЕ)

1. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано

Пеано Джузеппе (1858-1932 гг) итальянский математик.

Теорема 1.

Пусть

1. Функция

f (x)

в некоторой O x0 имеет непрерывные производные до n

порядка.

Тогда x O

x0 справедлива формула

f x f x

f x0

x x0

f x0

...

f (n 1) x0

x x0

n 1

f (n) x0

x x0

(1)

n 1 !

где последнее слагаемое (остаточный член формулы Тейлора)

x x0 n -

бесконечно малая

высшего

порядка

малости по

отношению к

многочлену

x x0 n при x x0 .

Формула (1) называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.

Доказательство:

Рассмотрим формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа:

f x f x0

f x0

x x0

f x0

x x0

f x0

x x0

...

f (n 1) x0

x x0

n 1

f (n)

x x0

(2)

n 1 !

где O x0 .

Стаценко И.В. Лекция 10. Математический анализ.

Из непрерывности всех n производных f (x) в некоторой O x0 следует, что

f (n) f (n) x0	f (n) f (n) x0		f (n) x0 , (3)

где бесконечно малая при x0 .

Так как точка в O x0 всегда находится между точками x и x0 , то формулу

(3) можно также переписать в виде:

f (n) f (n) x0

f (n)

f ( n) x0

x , (4)

где x бесконечно малая при

x x0 .

Подставим (4) в (2)

f x f x

x x0

f x0

...

f (n 1) x0

x x0

n 1

f (n)

x0 x

x x0

(5)

n 1 !

где x бесконечно малая при

x x0 .

Представим (5) в другом виде:

f x f x

x x0

f x0

...

f (n 1) x0

x x0

n 1

f (n) x0

x x0

(6)

n 1

где x x0 n

x x x0 n .

В записи с использованием знака суммирования данная формула имеет

следующий вид:

(k ) x0

x x0

f (x)

(7)

k !

k 0

Стаценко И.В. Лекция 10. Математический анализ.

Таким образом, в виде (6-7) имеем формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.

Пример 1.

Разложить функцию f (x) cos(x) по степеням

x 1 по формуле

Тейлора с остаточным членом в форме Пеано, используя в многочлене Тейлора первые три производных.

Решение:


f (1) cos(x)	x 1	cos(1) ,

f (1) (1) sin(x)		x 1		sin(1) ,
f (1) (1) sin(x)				sin(1) ,

f (2) (1) cos(x)			x 1		cos(1),
f (2) (1) cos(x)					cos(1),
f (3) (1) sin(x)
	x 1		sin(1) .
			sin(1) .

f(x) cos(1) sin(1)(x 1) cos(1)2! x 1 2 sin(1)3! x 1 3 x 1 3 . (8)

2.Формула Маклорена. Стандартные разложения элементарных функций

Маклорен Колин (1698-1746 гг) шотландский математик.

2.1. Формула Маклорена

Пусть функция

f (x)

в некоторой

окрестности

точки x0 0 имеет

непрерывные производные до n порядка.

Тогда x O 0 справедливы формулы

f x

f 0

...

f (n 1)

xn 1

f (n)

xn ,

(9)

1 !

где 0, x .

Стаценко И.В. Лекция 10. Математический анализ.

f x

f 0

...

f (n 1) 0

n 1

f (n) 0

(10)

n 1 !

Формулы (9-10) называются формулами Маклорена с остаточными членами, соответственно, в форме Лагранжа и Пеано.

Разложения элементарных функций, полученные по формуле Маклорена, называются стандартными разложениями.

2.2. Стандартное разложение функции ex

Имеем

f (0) ex

x 0

f (1) (1) ex

x 0

f (2) (0) ex

x 0

…

f (n 1) (0) ex

x 0

f (n) ( ) ex

e .

Тогда стандартные разложения функции ex

с остаточными членами в форме

Лагранжа и Пеано имеют вид:

xn 1

n 1 xk

1 x

...

xn ,

(11)

2! 3!

n 1 !

k 0 k!

	x2	x3		xn	n	xk
ex 1 x			...		xn			xn ,	(12)
ex 1 x			...		xn			xn ,	(12)
	2! 3!			n!	k 0		k!

где 0, x .

Стаценко И.В. Лекция 10. Математический анализ.

Пример 2.

Оценить погрешность вычисления числа e , используя стандартное разложение (11) с первыми пятью производными в многочлене Тейлора.

Решение:

ex 1 x

x6 ,

(13)

e1 1 1

(14)

где

0,1 .

функция e монотонно

Так

как

растет

на

отрезке

0,1 , то наибольшее

значение остаточного члена Лагранжа

будет получено в точке 1. Тогда

максимальная погрешность вычисления числа e по формуле (14) будет равна

6!e 720e 0,003775. В результате имеем e 16360 6!e .

2.3. Стандартное разложение функции sin(x)

Имеем



f (0) sin(x)			x 0			0 ,
f (0) sin(x)			x 0

f	(1)									1,
f		(0) sin		2		x				1,
				2				x 0
								x 0

f	(2)			2							0 ,
f		(0) sin		2	2		x				0 ,
					2					x 0
										x 0

f	(3)			3			x					3		1,
f		(0) sin		3			x				sin	3		1,
					2				x 0				2
									x 0				2

f	(4)			4							sin 2 0 ,
f		(0) sin		4	2		x				sin 2 0 ,
					2				x 0
									x 0

Стаценко И.В. Лекция 10. Математический анализ.

(5)

(0) sin

sin

x 0

…

(n 1)

n 1

(0) sin

sin

x 0


f	(n)
f		( ) sin n	2	x		sin n	2	.
			2		x		2
					x

Тогда стандартное разложение функции sin(x) с остаточным членом в форме Лагранжа имеет вид:

2k 1

sin

sin x x

...

x2k

3! 5! 7!

2k 1 !

2k !

		n

	2		1 k 1

	k 1
где n 2k ,	k 1,2,3,4,5,...

(15)


x	2k 1	sin n		2
x				2	x	n	.


2k 1 !			n!

0, x .

Cтандартное разложение функции sin(x) с остаточным членом в форме Пеано имеет вид:

k 1

x2k 1

x2k

sin x x

... 1

x2k

2k 1 !

2k !

		n

	2		1 k 1

	k 1
где n 2k ,	k 1,2,3,4,5,... .

(16)

x2k 1		xn .


2k 1 !

Стаценко И.В. Лекция 10. Математический анализ.

	0	x	2k
Добавление нулевого члена разложения				увеличивает точность

		2k !

разложения по формуле Маклорена, так как остаточный член Пеано в этом случае имеет оценку x2k , а не x2k 1 - как было бы без такой добавки.

Пример 3.

Разложить функцию f (x) sin(x) по формуле Маклорена с остаточным

членом в формах Лагранжа и Пеано, используя в многочлене Тейлора первые девять производных.

Решение: Используем формулы (25, 26)

			sin(x) x					x3					x5		x7					x9				sin 5 x10			,	0, x .	(17)
			sin(x) x																								,	0, x .	(17)
							3!						5!	7!					9!						10!
														x3					x5				x7		x9
							sin(x) x																			x10 .			(18)
							sin(x) x							3!					5!				7!		9!	x10 .			(18)
				2.4. Стандартное разложение функции cos(x)
Имеем

f (0) cos(x)				x 0		1,
f (0) cos(x)				x 0

f	(1)	(0)																	0,
f		(0)	cos			x						cos							0,
				2					x 0					2
									x 0					2

f	(2)	(0)		2													2					1,
f		(0)	cos	2	2		x						cos				2		2			1,
					2						x 0								2
											x 0

f	(3)	(0)		3												3
f		(0)	cos	3	2		x						cos			3		2			0 ,
					2						x 0							2
											x 0

f	(4)	(0)		4									cos			2 1,
f		(0)	cos	4	2		x						cos			2 1,
					2						x 0
											x 0

f	(5)	(0)		5												5						0 ,
f		(0)	cos	5	2		x						cos			5			2			0 ,
					2					x 0									2
										x 0

…

Стаценко И.В. Лекция 10. Математический анализ.

							8

f	(n 1)		n 1					n 1
f		(0) cos	n 1		x		cos	n 1		,
				2		x 0			2
						x 0			2


f	(n)
f		( ) cos n	2	x		cos n	2	.
			2		x		2
					x

Тогда стандартное разложение функции cos(x) с остаточным членом в форме Лагранжа имеет вид:

2k 1

x2k

cos

cos x 1

... 1

2k 1 !

2k 1

(19)

n 1

k x

cos n

k 0

2k !

где n 2k 1,

k 0,1,2,3,4,5,...

0, x .

Cтандартное разложение функции cos(x) с остаточным членом в форме Пеано имеет вид:

k x2k

x2k 1

cos x 1

... 1

x2k 1

2k 1 !

(20)

n 1

1 k

xn .

k 0

2k !

где n 2k 1, k 0,1,2,3,4,5,... .

Добавление нулевого

члена

разложения

x2k 1

увеличивает точность

2k 1 !

разложения по формуле Маклорена, так как остаточный член Пеано в этом случае имеет оценку x2k 1 , а не x2k - как было бы без такой добавки.

Стаценко И.В. Лекция 10. Математический анализ.

9
Пример 4.
Разложить функцию f (x) cos(x) по степеням	x 1, используя

стандартное разложение косинуса и синуса с остаточным членом в форме Пеано.

Решение:

cos(x) cos

cos

x 1

cos(1) sin(x 1)sin(1).

(21)

Далее используем формулы (26, 28)

n1 1

1 k x 1

x 1 n1

cos

x 1

(22)

k 0

где

n1 2m 1, m 0,1, 2,3, 4,5,... .

1 x

2k 1

sin(x 1)

x 1

(23)

2k 1 !

k 1

где

n2 2l , l 1,2,3,4,5,... .

Тогда

n 1

cos(x) cos(1)

1 k

x 1

x 1 n1

2k !

k 0

x 1

2k 1

x 1 n2

sin(1)

1 k 1

(24)

2k 1 !

Стаценко И.В. Лекция 10. Математический анализ.

2.5. Стандартное разложение функции ln(1 x)

Имеем

f (0) ln(1 x)

x 0

0 ,

f (1)

(0)

x 0

f (2)

(0)

x 0

f (3) (0) 1

2 1 x

2!,

x 0

f (4) (0) 1 2 3

1 x

3!,

…

x 0

f (n 1) (0)

1 n

2 !

1 x

n 1

1 n

n 2 !,

x 0

f (n)

( )

n 1

1 !

1 x

n 1

n 1 !

n .

Тогда стандартное разложение функции ln(1 x) с остаточным членом в форме Лагранжа имеет вид:

ln 1 x x

... 1

n xn 1

n 1 1 n

n 1

(25)

n 1

k 1

1 n 1

xn .

n 1

k 1

где

0, x .

Cтандартное

разложение функции

ln(1 x)

с остаточным членом в

форме Пеано имеет вид:

n 1 xn

ln 1 x

... 1

(26)

k 1 xk

xn .

k 1

Стаценко И.В. Лекция 10. Математический анализ.

1 / 21 2 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Лекции

#
16.05.2024655.94 Кб0Лекция 1.pdf
#
16.05.2024484.06 Кб0Лекция 10.pdf
#
16.05.2024483.36 Кб0Лекция 11.pdf
#
16.05.2024477.32 Кб0Лекция 12.pdf
#
16.05.2024265.24 Кб0Лекция 13.pdf
#
16.05.2024278.18 Кб0Лекция 14.pdf
#
16.05.2024394.75 Кб0Лекция 15.pdf