Мат.стат. и теория вероятностей / Лекции / Л1-ТВ

1

Предисловие

Теория вероятностей относительно молодая наука. Зарождение теории вероятностей связывают с работами Дж. Кардано, Б. Паскаля, Х. Гюйгенса, П. Ферма, Я. Бернулли в области теории азартных игр (17 век). Дальнейшее развитие теория вероятностей приобретает в 18-19 веках, в работах Т. Байеса, П. Лапласа, С. Пуассона, когда формулируется понятийный аппарат, основные теоремы алгебры событий, анализируются некоторые распределения дискретных и непрерывных случайных величин. Формирование теории вероятностей как строго математической науки происходит на рубеже 19-20 веков в работах П.Л. Чебышева, А.А. Маркова, А.М. Ляпунова, А.Н. Колмогорова. В настоящее время теория вероятностей является базовой наукой для дальнейшего изучения математической статистики, а также теории математического моделирования сложных систем.

ЛЕКЦИЯ №1

АЛГЕБРА СОБЫТИЙ И ВЕРОЯТНОСТЬ СОБЫТИЯ

1.1. Алгебра событий

Теория вероятностей – (раздел математики) наука, изучающая закономерности в массовых случайных явлениях.

Под случайным явлением понимается такое явление, которое при повторении одного и того же комплекса исходных условий может происходить по-разному и точное прогнозирование результатов которого невозможно.

Понятийный аппарат теории вероятностей оперирует специфическими терминами такими как случайное событие, случайная величина, случайная функция.

Под событием будем понимать некоторый факт, который фиксируется в ходе некоторого комплекса условий эксперимента.

События обозначают, как правило, заглавными буквами алфавита.

Достоверным называют такое событие, которое наступает каждый раз при реализации данного комплекса условий эксперимента (обозначается буквой ).

Невозможным называют такое событие, которое никогда не наступит в рамках данного комплекса условий эксперимента (обозначается символом ).

Стаценко И.В. Лекция 1 Теория вероятностей и элементы математической статистики

2

Случайным событием называют такое событие, которое может наступить в рамках реализации данного комплекса условий эксперимента, но не является достоверным.

Два события A и B называют несовместными в данном эксперименте, если наступление одного из них исключает появление другого.

Два события A и B называют совместными в данном эксперименте, если наступление одного из них не исключает появление другого.

Все возможные элементарные несовместные события (исходы) данного эксперимента называют пространством элементарных событий (ПЭС) и обозначают, как правило, прописными буквами алфавита.

Несовместные события, составляющие ПЭС и объединенные по некоторому признаку, называют полной группой событий (символьное обозначение ПГС- ).

Если в ПГС входит два события, их называют противоположными

(обозначение A и A).

Пример 1.1. На горизонтальную гладкую твердую поверхность один раз сбрасывается игральный кубик, имеющий шесть граней, подписанных цифрами: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Формализовать ПЭС данного эксперимента. Формализовать какую-нибудь ПГС данного эксперимента.

Решение: Элементарными несовместными исходами данного эксперимента являются:

либо одного из шести событий ПЭС в данном эксперименте является достоверным событием . В то же время, наступление одновременно двух и более событий из ПЭС в данном эксперименте является невозможным событием.

ПЭС эксперимента можно изобразить в виде графа (дерева) исходов:

Рис 1.1

Стаценко И.В. Лекция 1 Теория вероятностей и элементы математической статистики

3

Пусть событие A - выпадение грани с нечетным номером в данном эксперименте. Тогда ПГС - A, A , где A - выпадение грани с четным

номером.

Пример 1.2. На горизонтальную гладкую твердую поверхность два раза подбрасывается монетка. Формализовать ПЭС данного эксперимента.

Решение: Элементарными несовместными исходами данного эксперимента являются:

1 - выпадение герба два раза;2 - выпадение цифры, а после герба;

3 - выпадение герба, а после цифры;4 - выпадение цифры два раза.

Тогда ПЭС - 1, 2 , 3, 4 .

Заметим, что эксперимент является составным - состоит из двух простых экспериментов, которые можно формализовать в виде следующего дерева исходов:

Где 1 11, 12 - ПЭС первого подбрасывания монетки;

Рис 1.2

2 21, 22 - ПЭС второго подбрасывания монетки.

Элементарные события: 11 - выпадение герба при первом подбрасывании; 12 - выпадение цифры при первом подбрасывании; 21 - выпадение герба при втором подбрасывании; 22 - выпадение цифры при втором подбрасывании.

Стаценко И.В. Лекция 1 Теория вероятностей и элементы математической статистики

4

Заметим, что события разных пространств событий являются совместными. Так совместными являются события 11 и 21, события 12 и

22 и еще две пары событий.

События пространства 1, 2 , 3, 4 - пространства событий эксперимента в целом, формируются при этом как упорядоченные пары (кортежи) событий пространств 1 11, 12 и 2 21, 22 . Так событие 1 может быть представлено как 1 11 21. Знак умножения

между событиями интерпретируется как союз «и». Логически данный факт интерпретируется следующим образом: в эксперименте произошли события11 и 21совместно (выпал герб, после чего опять выпал герб).

Пусть событие A - выпадение одинаковой стороны монеты в данном эксперименте. Тогда A 11 21 12 22 1 4 . Знак + в данном случае интерпретируется как союз «или». Логически данный факт интерпретируется следующим образом: в эксперименте произошли события 1 или 4 (выпал герб два раза подряд или выпала цифра два раза подряд).

Пространство событий данного эксперимента в целом можно записать

следующим образом: 11 21 11 22 12 21 12 22 .

То есть к событиям в составном эксперименте применимы операции теории множеств – пересечение, объединение, разность.

Под произведением событий A и B понимают событие С AB , которое происходит, когда события A и B реализуются совместно.

Под суммой событий A и B понимают событие С A B , которое происходит, когда происходит хотя бы одно из событий A или B .

Под разностью событий A и B понимают событие С A\ B , которое происходит, когда происходит событие A, а событие B не происходит.

Рис. 1.3. Сумма несовместных событий.

Стаценко И.В. Лекция 1 Теория вероятностей и элементы математической статистики

5

Рис. 1.4. Сумма совместных событий.

Рис. 1.5. Произведение событий.

Рис. 1.6. Разность событий.

Стаценко И.В. Лекция 1 Теория вероятностей и элементы математической статистики

6

1.2. Вероятность события

Пусть любое событие A в некотором эксперименте есть подмножество, формируемое из пространства (множества) элементарных событий данного эксперимента. Меру возможности наступления события в эксперименте можно оценивать с использованием специальной числовой функции - P( A), называемой вероятностью события A.

Функция P( A) удовлетворяет трем аксиомам Колмогорова А.Н.

1.P( ) 1.

2.P( A) 0.

3.P( A B) P A P B , где A и B - события несовместные.

По первой аксиоме P( ) 1, следовательно, 0 P A 1.

Рис. 1.7.

Стаценко И.В. Лекция 1 Теория вероятностей и элементы математической статистики

Рис. 1.8.

следовательно, P A P A 1.

Стаценко И.В. Лекция 1 Теория вероятностей и элементы математической статистики

8

Монетка с идеальной симметрией подбрасывается 3 раза. Найти вероятность события A - все три раза выпадут либо герб, либо цифра.

Решение:

Для решения данной задачи перечислим все элементарные события данного эксперимента: ГГГ, ГГЦ, ГЦГ, ГЦЦ, ЦГГ, ЦГЦ, ЦЦГ, ЦЦЦ.

Из них два события по постановке задачи являются благоприятствующими реализации события A : ГГГ, ЦЦЦ. Таким образом,

Пример 1.4.

Игральный кубик с идеальной симметрией, имеющий 6 граней, подписанных цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6, подбрасывается 2 раза. Найти вероятность события A - сумма цифр на выпавших гранях будет больше 9.

Решение:

События данного пространства событий можно представить таблицей следующего вида:

Стаценко И.В. Лекция 1 Теория вероятностей и элементы математической статистики

9

Вячейках таблицы последовательно записаны номера, выпавшие при первом и втором подбрасывании.

Вданном пространстве из 36 событий можно найти 6 благоприятствующих реализации события A (выделены красным цветом).

Таким образом,

Пример 1.5.

В ящике находятся 5 шариков одинакового размера и веса. Из них 3 красных и два белых шарика. Одновременно наугад извлекают 3 шарика. Какова вероятность того, что выборке окажутся 3 красных шарика.

Решение:

Пример 1.6.

В ящике находятся 5 шариков одинакового размера и веса. Из них 3 красных и два белых шарика. Одновременно наугад извлекают 3 шарика. Какова вероятность того, что выборке окажутся 2 белых шарика и один красный.

Решение:

Пример 1.7.

В ящике находятся 5 шариков одинакового размера и веса. Из них 3 красных и два белых шарика. Одновременно наугад извлекают 3 шарика и выкладывают в ряд слева направо. Какова вероятность того, что слева направо будут выложены красный, белый, красный шары.

Решение:

Стаценко И.В. Лекция 1 Теория вероятностей и элементы математической статистики

10

1.4. Геометрические вероятности

Пусть реализации события A в некотором линейном (квадрируемом, кубируемом) пространстве событий соответствует некоторая область DA

длиной (площадью, объемом) - S A . Область DA непрерывно и равномерно заполняют элементарные события, благоприятствующие наступлению

Литература

1.Крупин В.Г. Высшая математика. Теория вероятностей, математическая статистика, случайные процессы. Сборник задач с решениями: учебное пособие/ В.Г. Крупин, А.Л. Павлов, Л.Г. Попов. – М.: Издательский дом МЭИ, 2013.-408 с.

2.Стаценко И.В., Просветов Г.И. Теория вероятностей. Сборник задач с решениями: Учебное пособие. – М.: Издательство «Спутник +», 2018. – 77

с. ISBN 978-5-9973-4877-9.

3.Сборник задач по математике для втузов. Ч3. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие для втузов/под ред. Ефимова А.В.- 2-е изд. перераб. и доп. – М.:Наука, 1990. – 428 с.

Стаценко И.В. Лекция 1 Теория вероятностей и элементы математической статистики