Добавил:

Chupapi_Munyanya Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МЭИ»

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Л6-матстат

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.05.2024

Размер:

377.37 Кб

Скачать

☆

ЛЕКЦИЯ №6

МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

1. Моделирование равномерно распределенной случайной величины на произвольном интервале

Равномерно распределенную на интервале 0,1 случайную величину - X R 0,1 получают с использованием стандартных генераторов псевдослучайных чисел.

В электронных таблицах Eхcel имеется две функции формирования равномерно и равновероятно распределенных на интервале случайных чисел:

СЛЧИС() – формирует случайное число, равномерно распределенное на интервале 0,1 ;

Данная функция пересчитывает случайные числа каждый раз при введении любого числа (функции) в рабочем листе.

CЛУЧМЕЖДУ(а;b) – формирует целое случайное число, равновероятно распределенное среди целых чисел на отрезке a, b .

Данная функция пересчитывает случайные числа каждый раз при введении любого числа (функции) в рабочем листе.

Основным недостатком таких генераторов является цикличность процедуры выдачи последовательности случайных чисел. В различных технических устройствах длина периода выдачи одинаковых псевдослучайных последовательностей (ПСП) различна.

Алгоритмы формирования “хороших”	ПСП являются коммерческой
тайной, так как ПСП используются в	процессах кодирования и

декодирования информации.
Для перехода от величины				X R 0,1				к случайной			величине
Y R a, b	используют линейное преобразование вида:
	Y a X b a .										(1)
Учитывая параметры равномерно распределенной случайной
величины:
	mx	1	,	Dx		1	,				(2)
	mx		,	Dx	12		,				(2)
	2				12
получим
	M Y a (b a)mx a				(b a)				a b	,	(3)
	M Y a (b a)mx a				2					,	(3)
					2			2
	D Y (b a)2 Dx				b a 2			.			(4)
					12

2. Моделирование показательно распределенной случайной величины

Моделирование показательно распределенной случайной величины Y с плотностью вероятности вида:

f y e y ,

y 0,

(5)

проводится с использованием метода обратных функций.

Метод обратных функций основан на следующем утверждении. Пусть случайная величина Y во всей области определения функции

распределения F y имеет явно заданную однозначную функцию - F 1 x ,

									F			y						X R
обратную к			функции						F			y		.	Тогда,		если	X R		0, 1 , то	случайная
величина Y F 1 x							имеет распределение с функцией F y .
		Для показательно распределенной случайной величины																			Y имеем
следующую обратную функцию:
			Y		1			ln			1 X				,	0,		0 X 1.			(6)
			Y					ln			1 X				,	0,		0 X 1.			(6)


		Таким образом, формула для моделирования показательно
распределенной случайной величины Y имеет вид:
			Y	1		ln				X
			Y			ln				X			,		0,		X R		0, 1 .		(7)

1		X
1
0.8
0.8
0.6
0.6
F(x)

0.4
0.4
0.2
0.2																					Y
																					Y

	0		1											2			3			4	5
																x

Рис. 1. Моделирование показательно распределенной случайной величины с параметром 1.

3. Моделирование нормально распределенной случайной величины

Моделирование нормально распределенной случайной величины Y с
параметрами: my 0 , y 1, (сокращенно	Y N 0, 1 ) может быть

проведено разными способами, одним из которых является способ, основанный на центральной предельной теореме по формуле:

X R

0, 1 .

(8)

i 1

Получим

12 k

M Y M

X i

M X i

k i 1

k 2

D Y D

12k

X i

k i 1

12 k

D X i

k i 1

k 12

Для получения случайной		величины			Y N my , y		используем
линейное преобразование:
	y	y		Y N
Y m			Y ,	Y N		0, 1 .	(9)

На практике для получения приемлемой точности моделирования одного значения нормально распределенной случайной

величиныY N 0, 1 , используют число реализаций равномерного датчика

ПСП из условия k 12 .	При k			12 получим формулу
Y	12	X	i	6	,	X R	0, 1 .	(10)
			i
	i 1

4. Метод усечений плотности вероятности

Применяется для случаев, когда известен аналитический закон распределения случайной величины, но получить однозначную обратную функцию для случайной величины на заданном интервале невозможно.

	Пример закон	Эрланга с плотностью		вероятности	f (x) xe x ,
x 0.	Функция	распределения	данного	закона	имеет	вид
F (x) 1 xe x e x ,		x 0.

0.4

0.3

f (x) 0.2

0.1

Рис. 2. Закон Эрланга вида f (x) xe x .

Для моделирования случайных чисел с заданной аналитически функцией плотности вероятности выбираются минимальные и максимальные

границы распределения абсциссы xmin , xmax и ординаты ymin , ymax функции плотности вероятности, актуальные для конкретной исследовательской


задачи. После чего строится прямоугольник распределения двух чисел,
равномерно		распределенных		в	диапазонах		X R xmin , xmax ;
Y R ymin , ymax .
Для	моделирования случайного числа					X ,	имеющего	заданное
распределение		вероятностей,		получают		две	реализации	чисел:
X R xmin , xmax ; Y R ymin , ymax ;					проверяют условие Y f X ; если
данное	условие		выполняется		полагают		текущее	число

X R xmin , xmax распределенным по заданному закону. В противном случае текущее число X R xmin , xmax выбраковывается.

5
	0.4	Ymax
	0.4
	0.3
f (x)	0.2
	0.1
							Xmax
	0		2	4	6	8		10
					x
Рис.	3.	Моделирование			случайного	числа	X с	заданным	законом
распределения методом усечений плотности вероятности на примере закона
Эрланга.
		5.	Метод статистических испытаний Монте-Карло

Метод Монте-Карло также имеет название метода статистического имитационного моделирования.

Цель метода по результатам многократных реализаций статистической модели исследуемой системы получить оценку генерального распределения признака по гистограмме, а также оценки генеральных параметров.

5.1. Оценка вероятности события в схеме биномиального эксперимента по методу Монте-Карло

Пусть задана вероятность p P A		некоторого события A и,
соответственно, вероятность q 1 p P
	A	противоположного события

A .

Однократное моделирование эксперимента с вероятностью успеха

pP A заключается в следующем:

1.Получают одну реализацию X R 0, 1 датчика чисел, равномерно распределенных на интервале 0, 1 .

2.В случае выполнения условия X p полагают событие A состоявшимся. (испытание успешное)

3. В случае выполнения условия X p полагают состоявшимся событие A . (испытание не успешное)

Многократное (n кратное) моделирование эксперимента с целью получения статистической оценки вероятности успеха p P A заключается в следующем:

1.Значение переменной, суммирующей число успешных реализаций

события A, приравнивают к нулю (счетчик числа успешных реализаций

N 0).
			X R
2.	Получают реализацию		X R	0, 1	датчика чисел, равномерно

распределенных на интервале		0, 1 .

3.В случае выполнения условия X p полагают событие A

состоявшимся. В счетчике числа успешных реализаций добавляют единицу

NN 1.

4.В случае выполнения условия X p полагают состоявшимся событие

5.Получают оценку вероятности p P A по формуле p* Nn .

5.2. Оценка вероятности попадания непрерывной случайной величины в интервал значений по методу Монте-Карло

Пусть		задана	функция	распределения	F (x) или плотность
вероятности		f (x) случайной величины.
Для	моделирования вероятности P( X ) попадания данной
величины	в	интервал	значений	x ,a b в	схеме многократных

(n кратных)статистических испытаний:

1. Значение переменной, суммирующей число успешных реализаций события A : X , приравнивают к нулю (счетчик числа

успешных реализаций N 0).

2.Получают реализацию случайной величины X методом обратных функций или методом усеченной плотности.

3.Если условие X a,b выполняется, испытание считается успешным.

В счетчике числа успешных реализаций добавляют единицу

N N 1.

4.Если условие X a,b не выполняется, испытание считается не успешным.

5.Получают оценку вероятности P( X ) по формуле p* Nn .

Соседние файлы в папке Лекции

#
16.05.2024394.41 Кб0Л3-ТВ.pdf
#
16.05.20241.09 Mб0Л4 - матстат.pdf
#
16.05.2024453.96 Кб0Л4-ТВ.pdf
#
16.05.20241.06 Mб0Л5-матстат.pdf
#
16.05.2024400.2 Кб0Л5-ТВ.pdf
#
16.05.2024377.37 Кб0Л6-матстат.pdf
#
16.05.2024489.81 Кб0Л6-ТВ.pdf
#
16.05.2024383.6 Кб0Л7-ТВ.pdf
#
16.05.2024461.05 Кб0Л8-ТВ.pdf
#
16.05.2024462.8 Кб0Л9-ТВ.pdf