Занятие № 7 Многомерные случайные величины (случайные векторы) и их характеристики.

1°. Понятие случайного вектора.

Иногда, в случайных экспериментах, приходится отслеживать значения нескольких случайных величин. Например, при стрельбе по мишени случайными будут обе координаты точки попадания. При подбрасывании 2 – х кубиков можно интересоваться, например, тремя СВ: очками, выпавшими на каждом из них, и ещё их суммой или разностью. Примеров можно привести очень много.

Ниже мы рассмотрим двумерный случай, который с одной стороны более нагляден и технически менее трудоёмок, а с другой – включает в себя все основные особенности многомерных СВ. Итак, две случайные величины , заданные на одном и том же вероятностном пространстве, мы будем рассматривать как упорядоченную пару и называть двумерной случайной величиной или двумерным случайным вектором. Геометрически ДСВ интерпретируется как случайная точка с координатами на плоскости в системе прямоугольных координат , или как радиус – вектор этой точки.

Многие основные понятия, связанные со случайной величиной переносятся и на многомерный случай. Так, совместной функцией распределения ДСВ называется функция двух переменных , определенная на всей плоскости, и заданная соотношением

Иначе говоря, для каждой пары значений − это вероятность того, что случайная точка

попала в квадрант с вершиной , изображенный ниже на рисунке.

•

О

Совместная функция распределения обладает следующими общими свойствами:

не убывает по каждой переменной;

Здесь функции распределения случайных величин соответственно. Их называют маргинальными распределениями. Таким образом, по совместной функции распределения можно определить функции распределения отдельных компонент, но обратное, вообще говоря, неверно.

2°. Дискретная двумерная случайная величина.

ДСВ называется дискретной (ДДСВ), если и являются дискретными случайными величинами. Если при этом принимает значения , а значения , то вероятности

представляют собой совместный закон распределения ДДСВ . Если множества возможных значений обеих величин конечно, то закон распределения можно представить в форме таблицы с двумя входами:

				. . .
				. . .
				. . .
				. . .
. . .	. . .	. . .	. . .	. . .	. . .
				. . .
				. . .

В последней строке этой таблицы записан закон распределения СВ , а в крайнем правом столбце – закон распределения СВ . Эти законы также носят название маргинальных.

Величины считаются независимыми, если для любых допустимых , верно, что

Пример 2.1 Симметричный игральный кубик подбрасывают 2 раза. Пусть число очков, выпавшее первый раз, число очков, выпавшее второй раз и . Составить таблицу закона распределения ДДСВ и маргинальных законов.

Решение. Прежде всего, отметим, что при фиксированном значении , значение однозначно определятся тем, сколько очков выпало во второй раз, т. е. значением . Поэтому, . Последняя вероятность либо равна 0 (если ), либо равна , что соответствует вполне определенному исходу при подбрасывании кубика дважды. Теперь можно составить таблицу закона распределения:

	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
1							0	0	0	0	0
2	0							0	0	0	0
3	0	0							0	0	0
4	0	0	0							0	0
5	0	0	0	0							0
6	0	0	0	0	0

Как и следовало ожидать, в правом крайнем столбце мы получили распределение СВ числа выпавших очков при первом броске, а в нижней строке − распределение суммы. ∎