ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА Лекция 3
Необходимые условия равновесия системы материальных точек
Материальная точка находится в равновесии если равен нулю главный
вектор всех активных и реактивных сил, приложенных к этой точке. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Рассмотрим |
систему |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
точек , |
= 1,2, … , . |
|
|
|||||||||||||
каждую точку действуют: |
N |
|
|
материальных |
|
На |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
), |
||||||||||||
|
|
- внешние активные силы, |
|
|
|
|
- внутренние активные силы ( |
|
=- |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
внутренние реактивные силы ( |
|
|
=- |
|
|
|||||||||||||
|
- внешние реактивные силы, |
|
|
|
|
|
|
). |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
Условие равновесия j-ой точки |
|
+ ∑ |
|
|
|
|
|
= 0 ( = 1,2, … , ) |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
+ ∑ |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(11) |
||||||||||||||
|
|
Просуммируем |
(11) по |
|
от 1 до , при |
этом реактивные силы взаимно |
||||||||||||||||||||||||||||
уничтожаются |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
Введем обозначение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
+ |
|
) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
- главный вектор всех внешних активных и реактивных сил.
|
Имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Теперь умножим (11) слева |
векторно на |
|
|
и просуммируем по |
|||||||
|
|
|
= |
|
|
||||||
|
, при этом моменты всех реактивных сил |
взаимно уничтожаются |
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
+ 1 |
|
= 0 |
||||||
|
|
× |
|
× |
|
||||||
|
=1 |
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(12)
от 1 до
Вводим обозначение |
|
|
|
|
|
= |
||
|
× |
|
+ × |
|
||||
=1 |
|
|
=1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
- главный момент всех внешних активных и реактивных сил, |
||||||||
действующих на систему. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Имеем |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(13) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказана теорема. Если система материальных точек находится в равновесии, то главный вектор и главных момент всех внешних активных и реактивных сил, действующих на систему равны нулю.
Необходимые и достаточные условия равновесия абсолютно
твердого тела |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Абсолютно твердое |
тело |
можно |
рассматривать |
|
как систему |
|
||||||
материальных точек на |
которую наложено |
|
|
|
связей. |
Необходимые |
||||||
|
. |
|
|
= ∞ |
||||||||
условия равновесия |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∞ |
|
|
|
|
|
|||
Число степеней свободы |
абсолютно твердого тела |
|
, следовательно |
|||||||||
|
= , |
= |
|
достаточными. |
|
|||||||
эти условия будут не только необходимыми, но и |
|
|
= 6 |
|
|
|
||||||
Теорема. Абсолютно твердое тело находится в равновесии тогда и только тогда, когда главный вектор и главный момент внешних активных и
реактивных сил равны нулю. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
Рассмотрим систему |
|
из |
|
|
|
|
твердых |
тел. |
Каждое тело находится в |
||||||||||||||
равновесии |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(14) |
|||||||||||||
|
|
+ |
∑ |
|
|
|
|
|
+ ∑ |
|
|
|
= 0 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
+ ∑ |
|
|
|
|
|
+ ∑ |
|
|
= 0 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
(15) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
– главный вектор и главный( = 1,2, … , ) |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
момент внешних активных сил, |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
, |
|
|
= − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
). |
|
|
|
|
|
|
|
|
( =- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
, |
|
|
|
|
- главный вектор и главный момент внешних реактивных сил, |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- главный вектор и главный момент внутренних реактивных сил |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Просуммируем, = −(14) и (15) по |
|
от 1 до |
|
, при этом реактивные силы и их |
||||||||||||||||
моменты взаимно уничтожаются |
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Снова получаем |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= , |
= |
|
||||
Если система абсолютно твердых тел находится в равновесии, то главный вектор и главных момент всех внешних активных и реактивных сил, действующих на систему равны нулю.
Формы записи уравнений равновесия |
|
|
|
|
|
||||||||
Имеем уравнения равновесия |
|
|
= 0 |
|
|
|
|
|
|||||
Возьмем в качестве |
|
|
= 0, |
|
|
|
|
с |
. По |
||||
формуле (6) |
|
|
|
|
С |
О |
|
|
|||||
|
|
|
полюса другуюО |
точку С с радиус вектором |
|
||||||||
откуда следует |
С |
|
. |
|
|
|
= |
− × |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
Делаем вывод: |
вместо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
= 0 |
|
= 0, |
|
С |
= 0 |
|
|
|
|
|
||
можно записать |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
или |
С |
|
|
|
= 0, |
|
|
= 0 |
|
|
) |
|
|
|
= 0, |
О |
= 0 |
(если только |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
× ≠ 0 |
|
|
|
|||
Выбор формы записи уравнений равновесия влияет только на рациональность решения.
3
Условные обозначения опор
Плоская система сил
1 – шарнирно подвижная опора. Уравнение связи = 0, вдоль опорного стержня.
2 – шарнирно неподвижная опора. Уравнения связи
реакции – две силы. |
= 0, = 0, |
3 – жесткая заделка. Уравнения связи |
|
две силы и реактивный момент. |
Для трехмерной системы жесткая заделка
реакция – сила
= 0, = 0 = 0 реакции –
4
МЕХАНИКА ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
Используем модель сплошной среды – среды, которую можно рассматривать как непрерывную, пренебрегая ее дискретным атомномолекулярным строением.
Гипотезы.
1.О сплошности материала. Материал полностью заполняет объем твердого тела, без каких либо пустот.
2.Гипотеза однородности. В окрестности любой точки тела материал обладает одинаковыми свойствами.
3.Гипотеза изотропности. Материал тела обладает одинаковыми свойствами во всех направлениях.
4.О малости деформаций. Относительные перемещения точек твердого тела малы по сравнению с размерами тела.
Тензор напряжений
|
|
|
вектором напряжений |
|
|
|
|||||
|
Определение: |
, действующем на площадке с |
|||||||||
нормалью называется |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
≡ ̅ |
|
|
|
|
|
|
→0 |
напряжение и |
|
– касательное |
если |
Разложим |
|
на |
|
- |
нормальное |
|
|
|
||
|
|
|
очередь |
|
тоже можно разложит по двум осям. Так, |
||||||
напряжение. В свою |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
= , ,
Введем понятие тензора напряжений
Первый индекс – направление напряжения, второй – нормаль площадки.
Правило знаков: на площадке с положительной нормалью положительное напряжение направлено вдоль оси.
Тензор напряжений |
|
11 |
|
12 |
13 |
|
|
|
|
|
21 |
|
22 |
23 |
|
|
|
= 31 |
|
32 |
33 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Другое (техническое) |
обозначение |
|
|
|
|||
|
|
|
|
||||
|
|
= |
|
|
|
||
Закон парности касательных напряжений |
|
|
|||||
|
|
|
2 = 0 |
|
|||
|
31( 2 3) 1 − 13( 1 |
2) 3 = 0 |
|||||
аналогично |
21 = 12, |
= |
31 = 13 |
|
|||
|
32 = 23 |
|
|
|
|||
6
Плоское напряженное состояние (частный случай)
7