Готовые билеты
.pdf
Вопрос 1.
Основные определения.
Пусть =< , > : [ , ], ( , ], [ , ) или ( , ), где − ∞≤ < ≤ + ∞. φ( ) ( ), если φ( ), φ'( )… φ( )( ) непр. на D.
Обл. в 3: ( , , ) , и на опр. ( , , ) : ∂∂ 0 в G.
Опр. ( , , ') = 0 (1), где −незав. пер., и ' −неизв. ф-ия и ее произв. соотв. наз. ОДУ 1-го порядка, не разрешенным относительно производной.
Опр. = φ( ) 1( ) наз. частный решением ОДУ ( , , ') = 0 на D, если
1)( , φ( ), φ'( ))
2)( , φ( ), φ'( ))≡0 в
Опр. Общим решением ОДУ (1) называется совокупность всех частных решений.
~
Опр. Если (1) удается в некоторой области разрешить относительно ', то оно принимает вид :
' = ( , ) (2), которое называется ОДУ 1-го порядка, разрешенным относительно производной. Его частное и общее решения определяются аналогично.
Опр. Пусть = φ( ) – частное решение (1) или (2). На плоскости оно представляет кривую, которая называется интегральной кривой соответствующих уравнений.
Общее решение ОДУ ' = ( ) = ∫ ( ) = ( ) + . Общее решение ОДУ 1-го порядка содержит 1
произвольную постоянную. На плоскости общее решение будет представлять собой совокупность интегральных кривых.
Инт. кривые ур − я ' = ( , ) в α = '|( 0, 0) = ( 0, 0)
Опр. В обл. сущ-я и единств-ти решения ЗК общим реш-м ур-я (2) наз. дифф. ф-ия = φ( , С) :
1)Для ψ( ) −частное решение ОДУ (2) С0 : ψ( ) = φ( , 0)
2)Для φ( , С) −решение (2)
Опр. Соотношение Φ( , ) = 0, где Φ( , ) 0 на D, наз. частным инт. на D уравнения (2), если решение уравнения (2) = φ( ) такое, что Φ( , φ( ))≡0 на .
Замеч. Из частного интеграла по теореме о неявной функции может быть получено частное решение ОДУ (2) Опр. Общим интегралом уравнения наз. ф-ия Φ( , ) , но сохраняющая постоянное значение на любом решении уравнения (2). Иногда общим интегралом называется само соотношение Φ( , ) = С или более общее Φ( , , С) = 0
Замеч. Из общего интеграла по теореме о неявной функции может быть получено общее решение.
Вопрос 2.
' = ( , ) (1)
Опр. Задача нахождения инт. кривой ур-ия (1), проход. через заданную точку ( 0, 0) наз. задачей Коши
(ЗК) для ур-ия (1): { ' = ( , ) ( 0)= 0 (2). Второе условие в системе называется начальным условием ЗК.
→
В каждой точке ( 0, 0) уравнение(1) однозначно определяет направление касательной τ = {1, ( 0, 0)} к
интегральной кривой, проходящей через эту точку.
Интегральные кривые уравнения (1) не могут пересекаться (могут только касаться).
В случае касания ЗК в окрестности этой точки имеет не единственное решение. Теор. (О существовании и единственности решения ЗК для уравнения (1)) (далее ТСЕ)
Пусть П = {| − 0|≤ , | − 0|≤ } . ( , ), ∂∂ непр. в П по совокупности пер.
> 0 : на {| − 0|≤ }= ( 0) и ед. решение ЗК (2).( = { , }, где = | ( , )| )
Замеч.
1)Теор. имеет локальный х-р, т.е. гарант., что реш-е сущ. в нек. окр. т. 0. Во всей ( 0)гарант. единств.
реш., понимаемая так:
= φ1( ) − решение ЗК (2)на[ 0 − , 0 + ] = φ2( ) − реш. ЗК (2) на < α, β > |
: 0 < α, β > |
φ1( ) ≡ φ2( ) на [ 0 − , 0 + ]∩ < α, β >.
2)Реш. ЗК (2) сущ. при выполн. только лишь усл-я ( , ) С(П), но не гарант. единств.
3)Усл-е ∂∂ С(П) можно заменить на ∂∂ огр. в П (усл-е Липшица).
4)Теор. явл. достат. условием
5)Если при движении по отрезку [ 0 − , 0 + ]в др. т. также выполн. усл-е ТСЕ, то реш. часто удается продлить дальше, иногда на полупрямую и всю прямую.
Вопрос 3.
Решение ОДУ 1-го порядка в простейших случаях.
Предп., что реш. , подставим его в ур-е и получим тождество, затем равносильными преобраз-ми получим общее реш. Проверим подстановкой в уравнение.
Уравнения с разделяющимися переменными
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
' |
|||
' = ( ) * ( ) (1), где ( ) (< , >), ( ) |
(< , >). |
( )≠0 на < , > |
( ) |
= ( ). |
||||||||||||||||||||||
Проинтегрируем по : ∫ |
(' ) |
= ∫ ( ) ∫ |
( ) |
= ∫ ( ) ( ) = ( ) + ( ) − ( ) = (2) |
||||||||||||||||||||||
(предположительно это общий интеграл). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
'( ) = |
(1 ) |
сохр. знак ( ) −стр. монот. ф-ия −1 = −1( ( ) + ) (3). |
||||||||||||||||||||||||
Проверим, что (3) определяет−1общее решение. Пусть = −1( ( ) + ) = φ( , С). |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
( + ) |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
* ( ) = ( ) * (φ( , С)), т.е. обращают (1) в |
|||||||
|
= |
|
|
|
( ( ) + ) = |
( + ) |
* |
|
|
= |
|
* ( ) = |
(φ(1 , С)) |
|||||||||||||
тождество (3) общее решение, а (2) – общий интеграл. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Замеч. Если в какой-л. т. 0 < , > |
0 |
= 0, то ≡ 0 явл. реш. ур-ия (1) и его нужно присоед. к (3). |
||||||||||||||||||||||||
Опр. ( , ) + ( , ) ( M,N – изв. ф(-ии) |
2-х пер., dx,dy – дифф-лы пер. x, y) наз. дифф. формой, а ур-е |
|||||||||||||||||||||||||
( , ) + ( , ) =0 – ур-ем в дифф-лах. |
|
|
( , ) |
|
|
|
( , ) |
|||||||||||||||||||
Его реш. наз. каждое из реш. ОДУ 1-го порядка |
|
=− |
( , ) |
и |
|
=− |
( , ) |
. |
||||||||||||||||||
Наиболее общий вид ур-ия с разд. пер.: 1( ) 1( ) + 2( ) 2( ) = 0.
Рассм. ур-ие ' = ( + + ) (9) ( ≠0) − сводится к ур-ию с разд. пер. путем замены
( , ( )) → ( , ( )), где |
=' + + |
' |
|
|
|
Док-во: ' = + ' ' = |
− |
' = ( + + ) = ( ) } |
|
− |
= ( ) |
(10) ' = + ( ) −уравнение с разделяющимися переменными. |
|
||||
Пусть (10) имеет общий интеграл Φ( , ) = . Тогда (9) имеет общий интеграл Φ( , + + ) =
(11) ' = |
|
|
|
|
|
|
Однородные уравнения. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
функции одной степени однородности |
||||||||||||||
(12) ( , () ) + ( , α ) = 0, где M,N – однородныеα |
|||||||||||||||||||||||||
> 0 ( , ) = ( , ) |
( , ) = ( , ) |
ОДУ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
(Опр. Уравнения (11) и (12) называется однородными) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Заменой ( , ( )) → ( , ( )), где = |
|
однородные ОДУ сводятся к уравнениям с разделяющимися |
|||||||||||||||||||||||
переменными |
|
|
|
|
' |
|
|
|
|
|
' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Док-во: = ' = ' + ; 1) (11)→ |
+ = ( ) |
= ( ) − |
|
( )− |
= |
|
|||||||||||||||||||
2) = + ; (12) → ( , ) + ( , )( + ) = 0 |
(1, ) + (1, )( + ) = 0 |
||||||||||||||||||||||||
= 0 – проверить, ( (1, ) + (1, ) * ) =− (1, ) |
|
(1, ) |
=− |
|
|
||||||||||||||||||||
(1, )+ * (1, ) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
1 + 1 + 1 |
|
, где |
| |
1 |
1 2 2 |
| |
≠0 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
К однородным сводятся уравнения вида ' = |
|
2 + 2 + 2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
{Док1 -во+: (1 , +) →1 |
(=, |
0) 2 {+ =2 ++ 2 = |
0= + |
|
(, ( , )−решение) |
СЛАУ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
' = = = ' 1 + 1 + 1 = 1 + 0 + 1 + 0 + 1 = 1 + 1 + 1 0 + 1 0 + 1 = 1 +
( |
) |
1 +(1 |
) |
1+ 1 |
|
|
|
( |
|
|
) |
|
|
|
|||||||||
. Аналогично 2 + 2 + 2 = 2 + 2 ' = ( 2 + 2 )= ( 2+ 2 |
|
)= ( ); ' = ( )– однор. |
|
||||||||
Вопрос 4. |
Линейные ОДУ 1-го порядка. |
|
(21) ' + ( ) = ( ) |
( ), ( ) (< , >) |
< , >, то лин. однор. Иначе – лин. неоднор. |
Опр.(21) наз. линейным ОДУ 1-го порядка. Если ( )≡0 на |
||
1.Рассм. соотв. однор. ур-ие – всегда явл. ур-ем с разд. пер.:
' + ( ) = 0 =− ( ) ln | | =− ∫ ( ) =− ( ) + , где
'( ) = ( ) |
|
− ( ) |
− ( ) |
, ≡0 (т.к. явл. реш. этого ур-ия) общ. реш. однор. ур-ия |
|||
| | = |
|
|
|
= ± |
|||
~ |
− ( ) |
~ |
|
|
~ |
|
|
. = |
|
(где = ± |
|
или 0, ) |
|
||
2.Неоднор. ур-е:( , ( )) → ( , ( )), где
= ( ) − ( ), т. е. ( ) = + ( ) ' = '( ) − ( ) + ( ) − ( )(− ( )) = '( ) − ( ) − ( ) − ( ) ( ) '( )'( ) = ( ) ( ) ( ) = ∫ ( ) ( ) = ( ) + 1( ( ) − первообр. ( ) ( ))
( ) = ( ( ) + 1) − ( ) = ( ) − ( ) + 1 − ( )
Теор.(Об общем решении неоднородного линейного ОДУ 1-го порядка) .н = . + ч.н |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
(31) ' + ( ) = ( ) α, |
|
|
|
|
|
|
Уравнение Бернулли |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
( ), ( ) (< , >), α , α≠0, α≠1 (α = 0 лин. неодн., α = 1 л. одн.) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
Ур-ие Бернулли заменой ( , ( )) → ( , ( )), где ( ) = 1−α сводится к лин. неодн' |
. ур-ию. |
1−α |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
||
Док-во: Разделим обе части (31) на |
|
(при α > 0 |
у (31) решение ≡0) |
α |
+ |
α−1 |
= ( ); = |
|
. |
||||||||||||||||||||
' |
|
|
|
|
−α |
|
|
|
|
' |
|
|
|
' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
= (1 − α) |
|
|
* ' = (1 − α) |
α |
|
|
(1−α) |
+ ( ) = ( ) ' + ( )(1 − α) = ( )(1 − α) −лин. неодн. |
||||||||||||||||||||
отн. ( ). Пусть общ. реш. ( ) = φ( , ) общ. инт. ур-ия (31) 1−α = φ( , ) (при α > 0 присоединяется |
|
||||||||||||||||||||||||||||
≡0) |
' + ( ) + ( ) 2 |
|
|
|
|
|
|
Уравнение Риккати |
на < , > |
|
|
||||||||||||||||||
(41) |
= ( ), где ( ), ( ), ( ) (< , >) и ( ), ( ) 0 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
В общем случае не интегрируемо в квадратурах. Если известно ч. реш. ур-ия Р., то общ. реш. находим |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
сведением к ур-ию Б. заменой ( , ( )) → ( , ( )), |
где ( ) = ( ) − ч( ) |
. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нек. ч.решение |
|
|
||||||
Разность любых двух частных решений уравнения Риккати является решением уравнения Бернулли. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
Док-во: ч( ) − нек. ч. реш., т. е. ч' + ч + ч2 = и = − ч = + ч ' = ' + ч' |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
' |
+ ч' |
+ + ч |
|
+ + ч |
|
2 = ' + ч' |
+ + ч + 2 + 2 ч + ч2 = |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
1 ( |
|
1 |
|
( |
) |
) |
|
(2 |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
' + |
+ 2 ч =− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
' + = |
|
−ур-ие Бернулли с α = 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
{ = |
φ( , ) ≡0 − общ. реш. ур. Б. [ = φ( , ) + ч = ч −общ. реш. исходного уравнения Риккати |
||||||||||||||||||||||||||||
Вопрос 5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнение в полных дифференциалах |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
(61) ( , ) + ( , ) |
|
= 0, ( , ), |
( , ) дифф. в G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Опр. Если ( , ) опр в : |
|
= |
( , ) + ( , ) , |
∂∂ |
= |
( , ), |
∂∂ |
= |
( , ), то (61) наз. ур-ем в |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
полных дифференциалах (УПД) в G. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Теор. ( , ) = |
С, где ( , ) −дифф. ф-ия из опр. УПД, явл. общим интегралом УПД |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Док-во: = + = 0 в ( , ) = . Если ( , ) = , то = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Рассмотрим задачу Коши для УПД: { + = 0 (62) 0 |
= 0 |
|
|
|
( 0, 0) реш. ЗК (62) неявно |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Общ. инт. первого ур-ия: ( , ) = С. |
|
0, 0 искомой инт. кривой( ) |
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
( |
0 |
|
|
0 |
) |
|
∂∂ |
|
|
|
( |
|
|
∂∂ |
) |
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
( |
|
|
0 |
) |
|
0 |
|
|||
задается ( , ) = |
, |
|
|
(63). Если |
|
|
|
≠0, то по ТСЕ неявной ф-ии (63) задает = ( ) : |
|
|
= |
|
в нек. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
окр. т. . Аналогично, если |
|
|
|
≠0, то (63) задает = ( ), |
|
= |
|
в нек. окр. т. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Теор. (Критерий полного дифференциала в односвязной области( ) Ω) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Дифф. форма ( , ) + ( , ) в односв. обл. Ω явл. полным дифференциалом |
∂∂ |
= |
∂∂ |
во всей Ω |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Доказывается в ВТА |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Практический способ отыскания ( , ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Рассм. ЗК (62) для УПД. ( , ): = + ( , ) = |
∂∂ |
, |
( , ) = |
∂∂ |
= ∫ (ξ, ) ξ + φ( ) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂∂ |
= |
( , ): |
∂∂ |
= |
∂∂ |
∫ (ξ, ) ξ + φ'( ) =по т.из ВТА |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
∂ (ξ, ) |
|
|
|
|
|
0 |
∂ (ξ, ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
= ∫ |
|
∂ |
ξ + φ'( ) = ∫ |
|
|
∂ξ |
|
ξ + φ'( ) = (ξ, )| 0 + φ'( ) = ( , ) − |
0, |
+ φ'( ) = ( , ) φ'( ) = |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
0, η η = 0 |
|||||||||||||
общ. инт. УПД: ∫ (ξ, ) ξ + ∫ 0, η |
|
|
η = С, реш. ЗК (62) неявно задается ∫ (ξ, ) ξ + ∫ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
( |
|
) |
|
Интегрирующий множитель |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
( |
|
|
|
) |
|
|
|||||||||||||
Пусть ( , ) + ( , ) = 0 (*) не является УПД Опр. Если дифф. ф-ия µ( , ): μ( , ) ( , ) + μ( , ) ( , ) = 0 становится УПД, μ −наз. инт. множ-ль
(*).
∂∂ |
(µ( , ) ( , )) ≡ |
∂∂ |
(µ( , ) ( , )) или µ' + μ ' |
= µ' + μ ' , т.е. µ( , ) должна удовл. ур-ию в |
|||
частных произв. µ' ( , ) − μ' ( , ) + μ |
' |
− ' |
) |
= 0 (**). В общ. случае решается труднее чем |
|||
исходное (*). |
( |
|
|
|
|||
При непр. дифф. ( , ) и ( , ) не обращ. в ноль одновр., инт. мн-ль ур-ия (*) сущ. Их сущ. ∞ много(инт. мн-во), чтобы решить ур-ие достаточно одной такой функции. Покажем, при каких усл-ях ур-ие (*) имеет
инт. мн-ль спец.вида, н-р, |
μ = μ 2 + 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
' − ' |
= 0 |
|
|
|
|||||||||||||
= 2 + 2 ' µ'' |
= μ' * 2 µ' =( μ' |
* 2) ] µ' (2 ( , ) − 2 ( , )) + µ |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
2 |
|
)2 |
|
|
|
µ' + μ |
2 ( , )−2 ( , ) |
|
= 0 μ этот мн − ль (***) зависит только от = |
|
+ |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
(***) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Рассм. нек. частные случаи, когда инт. мн-ль легко находится∂ ( , ) ∂ .( , ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
µ( , ) не зависит от y, т.е. ∂∂μ |
|
= 0 |
|
(ln µ( ) ) = |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
∂ ( , )( |
∂) ( , ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
µ( , ) не зависит от x, т.е. |
|
|
|
= 0 |
|
|
(ln µ( ) ) = |
|
∂ |
|
− ∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
∂μ∂ |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
∂ |
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− ∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
P(x,y) и Q(x,y) – однор. ф-ии порядка |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
, где (1, ) = |
( , ) |
|
|
( , ) |
|||||||||||||||||
α; = |
|
µ( , ) = |
α+1[ (1, )+ (1, )] |
α |
, |
(1, ) = |
α |
||||||||||||||||||||||||
Вопрос 6. |
|
|
|
|
Уравнения 1-го порядка, не разрешенные относительно производной |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
( , , ) опр. в Ω 3. Рассм. ( , , ') = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0 и |
|
0, 0, 0 Ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
Пусть 0, 0, |
= 0 имеет хотя бы одно реш. = 0, т.е. 0, 0, 0 |
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Теор. (ТСЕ( |
решения) |
ЗК для уравнения 1-го порядка не разрешённого( ) |
|
относительно( |
производной) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Рассмотрим ЗК { ( , , ')= |
0 (1) ( 0)= 0 |
(2) . 1) ( , , ) С(Ω) |
2) |
∂∂ |
, |
|
∂∂ |
С(Ω) 3) |
|
∂∂ |
|( 0, 0, 0)≠0 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
в нек. |
|
0 = |
− 0 ≤ |
! реш-е ЗК (1), (2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
= ( )(, причем) {| доп-но| вып} . усл. ' 0 = 0. |
( |
|
) |
|
|
∂ |
|
∂ |
( |
|
|
|
|
|
)∂∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Док-во: из 1-3 ( , , ) = 0 задает( в)нек. окр. т. |
0, 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(по ТСЕ неявной |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
= ( , ): |
0, 0∂ = 0 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
функции) ЗК { ' = ( , ) (3) ( 0)= 0 |
, ( , ) непр. и |
∂ |
≡ |
|
∂ |
|
=− |
|
|
|
|
|
|
непр. в окр. т. ( 0, 0) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
∂ |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
выполн. усл. ТСЕ реш. ЗК для ур-ия 1-го порядка, разреш. отн. произв. > 0: в |
|
|
0 |
) |
= |
{| |
− 0 |
| |
≤ |
} |
! |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
решение ЗК (3), к-ое явл. и ед. реш. ЗК (1), (2), удовл. доп. усл. ' 0 = 0, 0 |
|
= 0( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Замеч. Доп. информация о решении ' 0 |
= |
0 необходима для(того) , чтобы( |
из)мн-ва инт. кривых, прох. через |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0, 0 выбрать кривую – единственную( |
)проходящую по направлению 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
( |
0, )0, |
) |
= 0 может иметь несколько решений 1, 2 ... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
≠ 2 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
( |
|
|
|
|
|
|
Рисунок для случая, когда имеется решений 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, 0, 1 = |
0 и 0, 0, 2 |
= 0. Каждая из ЗК |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0 ' |
|
0 |
|
= 2 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{ (( , , '))= 0 0 =( 0 ' 0) |
= 1 |
|
|
{ ( , , ') = 0 0 |
) |
|
|
) |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
имеет единственное( ) решение( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
( |
|
|
|||||||||
α1 = 1, α2 = 2
Замеч. Нарушение ! реш. ЗК, прох. по заданному напр. чаще всего связанно с наруш. 3 свойства ТСЕ, т.е. если
∂ |
|( 0, 0, 0) = 0. Тогда ЗК может не иметь реш., может иметь, причем неединств., прох. по этому напр. |
∂ |
'( 0)= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Маленькое дополнение |
( |
− |
) |
|
||||||||
( ') = 0 |
(5). Если ( ) = 0 имеет хотя бы один действ. корень, то общий интеграл (5) будет |
= 0 (6) |
||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
− |
( |
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Док-во: 0 |
, |
0 |
|
= 0 ' = 0 0 = |
− |
= 0 + |
|
|
||||||||||||||||||
Рассм. |
|
|
|
|
= 0. |
|
Покажем, что оно неявно задает ( ), явл. решением (5), т.е. обратим его в тождество при |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
подстановке(∂ |
.)По∂∂т.*о∂ |
неявной− |
ф-ии, задается у-ие (6) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
=− |
|
∂ |
|
=− |
|
|
|
∂ |
|
− |
|
= |
− |
= ( ') = ( 0)= 0 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
* |
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
∂∂ |
|
|
∂∂ |
∂∂ |
= |
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Вопрос 7. |
(6). |
|
|
Метод введения параметра |
||||||
( , , ') = 0 |
|
|
||||||||
( , , ) = 0 |
задает нек. пов-ть в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3: (7) { = φ( , ) = ψ( , ) = χ( , ) ( , ) , ( , ) (φ( , ), ψ( , ), χ( , ))≡0. |
||||||||||
На каждом реш. ур-ия (6) д.б. вып. |
|
= или = (8). Из (7),(8) |
||||||||
ψ' + ψ' = χ( , ) |
φ' |
+ φ' |
) |
|
χ( , )φ' |
' ' |
|
|||
|
( |
|
|
|
−ψ' |
|||||
(ψ' − χ( , )φ' ) = (χ( , )φ' − ψ' ) |
|
= |
ψ −χ( , )φ |
− ур-ие для ( ), разреш. отн. произв. |
||||||
Его общ. реш.: = ω( , ) (9), т.е. на инт. кривой и связаны соотнош. (9) при нек. значении С.Общ. реш. исх. ур-ия м.б. задано параметрически: { = φ( , ω( , )) = ψ( , ω( , ))
Частный случай Если (6) легко разрешить отн. , т.е. = ( , '), то и − параметры: { = = ( , ) ' =
−'
= = ' + ' } ( − ' ) = ' = ' = ( , ) общ.реш.
= ( , ( , ))
ИЛИ
|
= |
' |
= ω( , ) общее решение задано неявно { = ω( , ) = (ω( , ), ) , где р – параметр |
|
|
||
−' |
Замеч. Нельзя писать далее, что ' = ( , ) и интегр его, т.к. р – параметр Рассмотрим ( , , ') = 0
Самый простой случай решения уравнения – разрешить его относительно , то есть привести к одному или нескольким уравнениям вида ' = ( , ) и решить их, объединить все решения. Поскольку далеко не всегда
удается это сделать, чаще применяется метод введения параметра.
Вопрос 8
Опр. Огибающей S семейство кривых наз. линия, к-ая в каждой своей точке кас. нек. кривой (прямой) этого семейства, не совпадая с S в сколь угодно малой окр. этой точки.
Из курса дифф. геом. известно, что если семейство кривых Ф( , , ) = 0 имеет огибающую, то она явл.
реш. с-мы {Φ( , , ) = 0 Φ'С( , , ) = 0 Исключим С из этой системы, получим связь типа = ( ) .
Опр. Всякая кривая = ( ) задаваемая этой системой называется С-дискриминантной кривой. В частности, огибающая является С-дискриминантной кривой, но не только она.
С- дискриминантная кривая может содержать: огибание, точки заострения, узловые точки.
Огибание
Точки заострения(возврата)
Узловые точки
Если известно, что Ф', Ф' огр. и необр. в ноль одновременно, то с-ма (4) задает именно огибающую.
Опр. Мн-во точек, в к-ых нарушается единств. реш. ЗК наз. особым мн-вом. Если это особое мн-во представляет собой интегр. кривую исх. ДУ, не разреш. отн. произв., то говорят об особом решении. В частности, огибающая ур-ие Клеро явл. особым реш. этого ур-ия.
Рассм. (1) ( , , ') = 0
Опр. Реш. = φ( ) наз. особым реш. ур-ия (1), если через его т. ( 0, φ( 0))по тому же напр. проходит др.
реш. ур-ия (1) = ψ( ), не совп. с = φ( ) в сколь угодно малой окр. т. ( 0, φ( 0)). Если семейство решений имеет огибающую, то она является особым решением
Т.к. в каждой т. особого реш. нарушается единств. решения ЗК, то если ( , , ) непр. дифф. нарушение единств. реш. ЗК (в соответствии с ТСЕ) может возникнуть, если в нек. т. ( 0, 0, 0) выполн.:
|
' |
|
|
|
|
|
|
|
|
(2) { ( , , ) = 0 ( , , ) = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
Опр. Всякая кривая, являющаяся решением этой системы называется Р-дискриминантной кривой. |
|||||||||
В частности, особое реш. (если |
|
) – Р-дискрим. кривая. Но Р-дискрим. кривая не обяз. явл. особым |
|
||||||
решением. |
|
|
|
|
|
|
( , , ) |
||
Р-дискриминантная кривая может быть: |
|
|
|
||||||
|
Огибание |
|
|
Особое решение всегда непр. дифф. |
|||||
|
|
|
ищем по схеме: |
|
|
||||
|
Точки заострения |
1) Отыскиваем всевозможные |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
P-дискриминантные кривые (они являются |
||||
|
|
|
|
|
решением системы (2)) |
|
|
||
|
Точки прикосновения |
2) Проверяем, явл. ли эти кривые инт. |
|||||||
|
|
|
|
|
кривыми уравнения |
( , , ') = 0 |
(т.е. |
||
|
Ассимптотич. |
|
удовлетворяет ли |
|
|
||||
|
|
|
ему) |
|
|
||||
|
|
|
|
|
3) Если они удовл. этому ур-ию, проверяем, |
||||
|
Из всех этих случаев только |
наруш. ли в каждой их т. единств. реш. , т.е. |
|||||||
огибающая является особым решением |
{φ( ) = ψ(λ) φ'( ) = ψ'(λ) |
|
|
||||||
Замеч. Это же касается С-дискриминантных кривых |
|
|
|||||||
Замеч. Если |
( , , ) |
не явл. дифф., то ос. реш. возможно опр. усл., что частные произв. ф-ии или сама ф-ия |
|||||||
неогр. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вопрос 9
Уравнение Лагранжа и уравнение Клеро Опр. Ур-ие = φ( ') + ψ( ') (1), где φ( ') и ψ( ') непр. и дифф. ф-ии своего аргумента на нек. интервале, φ( ') ≠ ', наз. уравнением Лагранжа.
Применим к его решению метод введения параметра : { = ' = = φ( ) + ψ( )= , = φ( ) + φ'( ) + ψ'( ) = φ( ) + φ'( ) + ψ'( ) ( − φ( )) = ( φ'( ) + ψ'( )) (2)
Если : φ( )= , = 1, (2) имеет реш. ≡ = реш. (1) = φ( )− ψ( )= + ψ( )
( − φ( )) 0 |
|
= |
φ'( )+ψ'( ) |
− лин. неодн. ур. отн. ( ), всегда инт. в квадратурах. |
|
−φ( ) |
Его общ. реш. = ω( , ), −произв. пост. реш. (1)в пар. форме: { = ω( , ) = ω( , )φ( ) + ψ( )
[{ = ω( , ) = ω( , )φ( ) + ψ( ) = + ψ( ), где − корни уравнения φ( )= , = 1,
Опр. Пусть φ( ) ≡ , т.е. (3) = ' + ψ( '). Уравнение (3) называется уравнением Клеро
Решим его методом введения параметра: { = ' = = + ψ( ) { = = + + ψ'( )
= + + ψ'( ) ( + ψ'( )) = 0 [ = 0 = = + ψ( ) − сем − во прямых =−[ = + ψ( ), С − пр. постоянная { =− ψ'( ) =− ψ'( ) + ψ( )
Кривая { =− ψ'( ) =− ψ'( ) + ψ( ) – огиб. сем-во прямых = + ψ( ) , если ψ( ) не явл. лин. функцией.
Вопрос 10 Уравнения высших порядков, интегрируемые в квадратурах или допускающие понижения порядка.
( |
, , 1, … |
) |
|
|
( ) |
~ |
+2 |
, |
|
∂ |
≠0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
опр. в Ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Опр. , , ', …, |
|
|
= 0 |
(1) |
наз. ОДУ n-го порядка, не разреш. относительно старшей производной. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Опр. В(нек. обл. (1): ) ( ) = |
, , ', …, ( −1) |
) |
(2), где f опр. в Ω +1, (2) наз. ОДУ 1-го порядка, разреш. отн. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
старшей производной |
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(< , >) : |
|
|
|
|||||||||||||
Опр. Частным решением уравнения (1) или (2) называется функция = φ( ) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
1) |
, φ( ), …, φ ( ) |
Ω |
|
|
|
, φ( ), …, φ( −1)( ) Ω |
|
< , > |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
2) |
(( , φ( ), …, φ( )( )) ≡0 |
|
|
φ(( )( ) ≡ , φ( ), …,) |
φ( )−1)( ) |
на < , > |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Опр. Совокупность( |
всевозможных) ( |
частных решений( |
образует общее)) |
решение. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
ЗК для (2): найти реш. ур. (2), удовл. доп. усл. (начальным условиям): |
|
|
0 |
|
= 0 ... |
( −1) 0 |
|
= 0( −1) |
( |
||||||||||||||||||||||||||
0 = 0 ' 0 |
= 0(1) ... |
( −1) |
( |
0 |
) |
= 0( −1) , |
т. е. { ( ) = |
|
, , ', …, ( −1) |
) |
) |
) |
|||||||||||||||||||||||
Теор( ). (ТСЕ решения( ) |
ЗК (3)) |
' |
|
|
|
|
0 |
0 |
|
( |
|
|
|
|
( |
|
|
( |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
~ |
|
|
' |
' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
В нек. обл. Ω |
, , 1, …, −1 ( ) ,( 0, 0, 1, …, −1) – внутр. т. D, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
> 0: в |
|
( ) = |
|
− 0 ≤ |
|
! реш. ЗК { ( ) = , , ', …, ( −1) 0 |
= 0 ' 0 = 10 |
... ( −1) 0 = 0−1 |
|
||||||||||||||||||||||||||
В обл. сущ. и единств{| . реш.|общ}. реш. ур-ия (2) зависит( |
от n произв). пост( .,) |
т.е. =(φ() , 1, …, ) наз(. общим) |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
реш. ур-ия (2), если частное реш. (2) получено при нек. знач. 1, …, , а при наборе 01, …, 0
= φ( , 01, …, 0) - реш. (2). Если это реш. в неявном виде Ф( , , 1, …, )= 0, то говорят об общем
интеграле уравнения (2).
Соотношение вида Ф( , , ', …, ( −1), 1, …, − )= 0 явл. сл. ур-ия (2), наз. частным инт. этого ур-ия. Н-р, соотношение Ф( , , ', …, ( −1), 1)= 0 или Ф( , , ', …, ( −1))= 1, явл. сл. ур-ия (2), наз. первым интегралом. Т.е. функция const, но сохраняет постоянное значение на любом решении уравнения (2).