Buharova_Kratnye_i_krivolinejnye_integraly_2013
.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ЯДЕРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИФИ»
КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ
ИНТЕГРАЛЫ
Учебно-методическое пособие
М о с к в а 2 0 1 3
УДК 517.373(07) ББК 22.161.1я7 К82
Кратные и криволинейные интегралы. Учебно-методическое пособие / Т.И. Бухарова, С.А. Гришин, С.В. Мустяца, Е.Х. Садекова, М.А. Петрова. — М.: НИЯУ МИФИ, 2013. — 84 с.
Настоящее пособие содержит материалы для проведения занятий и подготовки студентов к проведению контрольных и зачетных мероприятий по разделу «Кратные и криволинейные интегралы» на факультете «КиБ».
В пособии представлен основной теоретический и практический материал к разделу в виде шести основных и двух дополнительных занятий. Каждое занятие содержит краткий теоретический материал, разобранные примеры и задачи по данной теме. Представлены задачи для самостоятельной аудиторной и внеаудиторной работы. Два дополнительных занятия по теме «Поверхностные интегралы», не включенные в стандарт изучаемой специальности, но замыкающие традиционный классический курс дифференциального и интегрального исчисления, могут быть предложены сильным студентам для самостоятельного изучения.
Пособие включает в себя примерные варианты контрольных работ с ответами. Они предназначены для самостоятельной подготовки студентов к зачетным мероприятиям.
Рецензент проф., зав. каф. высшей математики ИАТЭ НИЯУ МИФИ Е.А. Сатаев
ISBN 978-5-7262-1885-4
♥Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ», 2013
|
Оглавление |
|
|
|
|
|
Занятие 1. Двойной интеграл. Повторное интегрирование . |
4 |
|||||
Занятие 2. |
Замена переменной в двойном интеграле. |
. |
13 |
|||
Занятие 3. |
Приложение двойного интеграла . |
. |
. |
24 |
||
Занятие 4. Тройной интеграл . |
. |
. |
. |
. |
33 |
|
Занятие 5. |
Криволинейный интеграл 1-го рода, приложения . |
45 |
Занятие 6. Криволинейный интеграл 2-го рода, формула Грина, приложения . . . . . . . 52
Занятия 7-8 (дополнительные). Поверхностный интеграл, формулы
Стокса, Остроградского - Гаусса. |
. |
. |
. |
. |
63 |
Варианты контрольных работ . |
. |
. |
. |
. |
77 |
Список рекомендуемой литературы . |
. |
. |
. |
82 |
3
Занятие 1. ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ. ПОВТОРНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
1. |
Определение двойного интеграла. Пусть функция |
||||
|
|
определена на измеримом по Жордану множест- |
|||
ве |
на плоскости |
. Разобьем на |
измеримых по Жордану и |
||
попарно непересекающихся |
частей |
. В каждой части |
|||
возьмем произвольную точку |
и составим сумму |
||||
|
|
|
|
|
, |
где |
– площадь |
. Эта сумма называется интегральной сум- |
|||
мой функции |
соответствующей данному разбиению мно- |
||||
жества |
на части |
и данному выбору промежуточных точек . |
|||
Диаметром множества |
точек назовем точную верхнюю грань |
расстояний между двумя произвольными точками этого множест-
ва: |
. |
|
. |
|
Пусть |
|
|
|
|
Определение 1.1. Число |
называется пределом |
интегральных |
||
сумм |
при |
если |
такое, что для лю- |
|
бого разбиения |
, у которого |
, и для любого выбора проме- |
||
жуточных точек |
выполняется неравенство |
|
||
|
|
|
. |
|
Если существует |
|
, то он называется двой- |
||
ным интегралом от функции |
по множеству |
и обозначает- |
||
ся |
или |
|
, а функция |
называет- |
ся интегрируемой на множестве .
Теорема 1.1. Функция, непрерывная на измеримом по Жордану компакте , интегрируема на этом компакте.
Теорема 1.2. Пусть функция ограничена на измеримом по Жордану компакте и множество ее точек разрыва имеет жорданову меру нуль. Тогда функция интегрируема на .
Двойные интегралы обладают такими же свойствами, как и определенные интегралы (линейность, аддитивность, формулы сред-
него значения и т.п.). |
|
Пример 1.1. Вычислить интеграл |
рас- |
сматривая его как предел интегральных сумм при сеточном раз-
4
биении квадрата на ячейки – квадраты со сторонами длиной и
выбирая значение подынтегральной функции в правых верхних вершинах этих квадратов.
□ Разбиение области интегрирования на ячейки проводится
прямыми |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, значение функции в правой |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
верхней вершине ячейки равно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Очевидно, что диа- |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
метр разбиения (диагональ квадрата со стороной |
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
при |
. Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Учитывая, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
что сумма первых |
|
натуральных |
|
|
чисел равна |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
, |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
■ |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Вычисление двойных интегралов с помощью повторного
интегрирования. Пусть функция |
|
определена в области |
|
|
|
где |
–непре- |
рывные функции на отрезке |
(рис. 1.1). Такую область на- |
||
зовем элементарной относительно оси |
(или |
– трапециевид- |
|
ной). |
|
|
|
|
Рис. 1.1 |
Рис. 1.2 |
Теорема 1.3. Пусть: |
|
|
1) существует двойной интеграл |
; |
|
2) |
существует определенный |
интеграл |
|
. |
|
|
5 |
|
Тогда существует определенный интеграл |
|
|
(он называется повторным), и справедливо равенство |
|
|
|
, |
(1.1) |
т.е. двойной интеграл равен повторному. |
|
|
Если область |
является элементарной относительно |
оси |
(рис. 1.2), то при соответствующих условиях справедлива формула, аналогичная (1.1):
. (1.2)
Область более сложного вида часто удается разбить на элемен-
тарные области, к которым применима формула (1.1) или (1.2) (рис. 1.3).
|
|
|
|
Рис. 1.3 |
|
|
|
|
|
|
||||
Пример 1.2. |
Свести двойной интеграл |
|
к по- |
|||||||||||
вторному двумя способами, если |
– |
область, ограниченная кри- |
||||||||||||
выми |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
□ Область |
|
изображена на рис. 1.4, а. |
|
|
||||||||||
При каждом значении |
переменная |
изменяется от |
||||||||||||
|
|
до |
, |
т.е. область |
можно представить |
в виде |
||||||||
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. По формуле (1.1) получаем |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Чтобы воспользоваться формулой (1.2), надо область |
разбить |
|||||||||||||
на две части |
|
и , как показано на рис 1.4, б. В области |
пере- |
|||||||||||
менная меняется от -1 до 0, при каждом значении |
переменная |
|||||||||||||
изменяется от |
до 1. В области |
переменная |
меняется от 0 |
|||||||||||
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
до 1, при этом переменная изменяется от |
|
до 1. По формуле |
|||||||
|
|||||||||
(1.2) получаем |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
. ■ |
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||||
а) |
|
|
б) |
||||||
|
|
|
Рис. 1.4 |
|
|
|
|
|
Пример 1.3. Изменить порядок интегрирования в повторном ин-
теграле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
□ Область |
|
можно представить следующим образом (рис. 1.5). |
|||||||||||||||||||||||||||||||
Если меняется от |
до |
|
|
|
, то |
|
|
|
|
|
|
|
, если |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
меняется от |
|
|
|
|
|
до |
, |
|
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
Кривые |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пересекаются в точке |
|
|
. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Таким образом, переменная |
меняется от |
|
|
до . Найдем, в каких |
|||||||||||||||||||||||||||||
пределах меняется переменная |
. Для этого разрешим выражения |
||||||||||||||||||||||||||||||||
и относительно : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1.5
7
Применяя формулу (1.2), будем иметь: |
|
|
|||||
|
|
|
|
. ■ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
Пример 1.4. Вычислить |
|
, где |
– тре- |
||||
|
|||||||
угольник, ограниченный прямыми |
|
. |
|||||
□ Треугольник изображен на рис. 1.6. |
|
|
|
|
Рис. 1.6 |
|
|
|
Отрезком |
разделим |
на два треугольника и |
, элемен- |
||
тарных относительно оси |
. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
. По формуле (1.1) находим
,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. ■ |
|
|
|
|
|
||||
следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Пример 1.5. Вычислить |
, где задано неравенст- |
||||||||||||||||||
вами |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
□ Область (неконцентричное кольцо) |
изображена на рис. 1.7. |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1.7 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Обозначим: |
|
|
– круг: |
– круг: |
. То- |
|||||||||||||||||||||
гда |
. |
Продолжим функцию |
|
|
с на |
, пола- |
||||||||||||||||||||
гая |
для |
|
|
. Тогда |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
Круги и |
зададим |
в виде: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
По формуле (1.2) находим: |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
так как функция |
|
во внутреннем интеграле нечетна. |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, . ■
Перемена порядка в повторном интеграле иногда существенно
упрощает его вычисление. |
|
Пример 1.6. Вычислить |
. |
□ Внутренний интеграл не является элементарной функцией . Изменим порядок интегрирования. Пределы интегрирования в данном повторном интеграле определяет треугольник (рис. 1.8), кото-
рый можно задать и неравенствами |
. |
9 |
|
Рис. 1.8
Следовательно,
3. В аудитории |
= |
|
|
|
|
|
|
|
. ■ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1. В двойном интеграле |
|
расставить пределы ин- |
||||||||
тегрирования в том и другом порядке для указанных областей: |
||||||||||
1.1. – треугольник с вершинами |
; |
|||||||||
1.2. |
– параболический сегмент, |
ограниченный кривыми |
||||||||
1.3. |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Область |
ограничена линиями |
.
2. Изменить порядок интегрирования:
2.1. ; 2.2. ;
2.3. ; 2.4. .
3. Вычислить повторный интеграл, переменив порядок интегрирования:
3.1. ;
10