задания c1 c2

Пример 21. В кубе ABCDA1 B1C1 D1 найдите угол между плоскостями AB1C и BC1 D .

Решение. Пусть

AD

=

a

,

AB

=

b

,

AA1

=

c

(рис.

=

=

= 1,

=

= 0 .

18), где

=

a

b

c

a

b

a

c

b

c

Векторы

и

являются векторами нор-

BD1

CA1

мали плоскостей AB1C и BC1 D соответственно,

так как BD1 AB1C и CA1

BC1 D . Тогда

=

−

+

,

= −

−

+

,

BD1

a

b

c

CA1

a

b

c

= (

−

+

)(−

−

+

)= −

2 +

2 +

2 =1

BD1

CA1

a

b

c

a

b

c

a

b

c

=

(

−

+

)2 =

2 +

2 +

2 = 3 ,

BD1

a

b

c

a

b

c

= (−

−

+

)2 =

2 +

2 +

2 = 3 ,

CA1

a

b

c

a

b

c

cosϕ =

=

BD1

CA1

1

=

1

,

ϕ = arccos

1

,

BD1

CA1

3 3

3

3

где ϕ - искомый угол.

Рис. 18

Ответ: arccos 13 .

12.Метод объемов

•При составлении уравнения используется объем фигуры, выраженный двумя независимыми способами.

Пример 22. Ребро куба ABCDA1 B1C1 D1 равно а. Найдите расстояние от точки С до плоскости

BDC1 .

Решение. Искомое расстояние х равно высоте CQ (рис. 19), опущенной в пирамиде BCDC1 из

вершины С на основание BDC1 . Объем этой пирамиды равен

	1	S	BCD			CC =	1			1		BC CD CC									=	a3			. С другой
3							3			2												6
						1														1
стороны, так как треугольник																				BDC1 равносто-
ронний со стороной а																2 , объем пирамиды ра-
вен				1	SBC D CQ =						1			(a		2 )2 3				x =			a2 3			x . От-
			3													4						6
						1				3
сюда получаем уравнение																		a3		=	a2	3			x , из ко-
																		6			6
торого находим										x =					a	3	.
																3

Рис. 19

Ответ: a 33 .

13. Метод ключевых задач

Ключевая задача № 1

• Если S – площадь фигуры Ф, расположенной в плоскости α , S′ - площадь проекции фигуры Ф на плоскость β , то справедлива формула cos (α; β)= SS′ .

Пример 23. В кубе ABCDA1 B1C1 D1 найдите угол между плоскостями AB1C и АВС.

21

Решение. Пусть α - искомый угол. Используем

соотношение S ABC									= S AB C cosα (рис. 20), где
S ABC =	1			, S AB C			=		(	2 )2	1 3	=	3		(треугольник
	2									4			2
					1
AB1C равносторонний). Отсюда имеем
cosα =		1		:	3	=		1		, α	= arccos				3	.
	2				2				3						3

Рис. 20

Ответ: arccos 33 .

Ключевая задача № 2 (теорема о трех синусах)

• Пусть в одной из граней двугранного угла, величина которого равна α, проведена прямая, составляющая с ребром двугранного угла угол β ( 0D < β < 90D ), γ - величина угла между этой

прямой и другой гранью. Тогда справедливо следующее соотношение:

sin γ = sinα sin β .

Пример 24. В кубе ABCDA1 B1C1 D1 найдите угол между плоскостями AB1C и АВС.

	Решение. Пусть α - искомый угол (рис. 20). Так
	как β = B AC = 60D , γ = B AB = 45D , то име-
		1	1
	ем sin 45D	= sin α sin 60D , sin α =			2	:	3	=	2	,
					2		2		3
	α = arcsin		2	.
			3

Ответ: arcsin 23 .

Ключевая задача № 3 (теорема о трех косинусах)

• Пусть α - величина угла между наклонной l и ее проекцией на некоторую плоскость, β - величина угла между проекцией наклонной l и прямой, проведенной через основание той же наклонной в плоскости проекции, и γ - величина угла между наклонной l и прямой, проведенной через ее основание в плоскости проекции. Тогда справедливо следующее соотношение:

cosγ = cosα cos β .

Пример 25. Угол между боковыми ребрами правильной четырехугольной пирамиды, не лежащими в одной грани, равен 120°. Найдите плоский угол при вершине пирамиды.

Решение. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD проведем диагональное сечение ASC (рис. 21); SD – наклонная к плоскости сечения, SO - высота пирамиды и проекция SD на эту плоскость, SC – прямая, проведенная в плоскости ASC через основание наклонной. По

условию ASC =120D .

На основании теоремы о трех косинусах имеем:

cos DSC = cos DSO cos CSO .

Отсюда

cos DSC = cos 60D cos 60D = cos2 60D = 14 ,

DSC = arccos 14 .

Рис. 21

Ответ: arccos 14 .

22

sinα sin β

Ключевая задача № 4 (теорема косинусов для трехгранного угла)

• Пусть для трехгранного угла плоские углы равны α, β и γ и двугранный угол при ребре, противолежащий плоскому углу γ, равен ϕ. Тогда справедливо следующее соотношение:

cosϕ = cosγ −cosα cos β .

Пример 26. В кубе ABCDA1 B1C1 D1 найдите угол между прямыми AD1 и DM , где М – середина

ребра D1C1 .

Решение. Пусть ребро куба равно 1, N – середина ребра А1 В1 , тогда искомый угол γ равен углу

между AD1 и AN (рис. 22). Используем теорему косинусов для трехгранного угла с вершиной А, в котором A1 AD1 =α , A1 AN = β ,NAD1 = γ . Так как ϕ = 90D , то имеем

cosγ = cosα cos β .

Из треугольника A1 AD1													находим
cosα = cos 45D				=			2			, из треугольника								A AN	по-
				2														1
лучаем cos β =						AA1			=1:			5	=	2	. Отсюда
						AN						2
													5
cosγ =	2		2		=				2		, γ	= arccos				2	.
	2		5						5						5

Рис. 22

Ответ: arccos 52 .

Ключевая задача № 5

• Если некоторая прямая образует углы α, β и γ с тремя попарно перпендикулярными прямыми,

то cos2 α +cos2 β +cos2 γ =1 .

Пример 27. Дан прямоугольный параллелепи-

пед ABCDA1 B1C1 D1. Его диагональ											В1 D состав-
ляет с ребром				AD угол 45D , а с ребром DC
угол 60D , Найдите угол между прямыми В D и
DD1 .											1
Решение.				Используем							соотношение
cos2 α +cos2 β +cos2 γ =1,									где		ADB =α ,
											1
CDB1	= β , D1 DB1 = γ (рис. 23). Получаем
cos2 45D	+cos2 60D					+cos2 γ =1,
cos2 γ =1 −		1	−	1	=		1	, cosγ =	1	, γ = 60D .
				2		4			2
	4

Рис. 23

Ответ: 60D .

Ключевая задача № 6

• Если AB и CD – скрещивающиеся ребра треугольной пирамиды ABCD, r – расстояние между ними, АВ = а, CD = b , ϕ - угол между AB и CD, V – объем пирамиды ABCD, то

r = ab6sinV ϕ .

Пример 28. В единичном кубе ABCDA1 B1C1 D1 найдите расстояние между диагональю куба BD1 и диагональю грани AB1 .

Решение. Найдем искомое расстояние по фор-

муле r =		6V	, где V – объем пирами-
	AB BD sinϕ
	1	1

23

ды ABB1 D1 (рис. 24), AB1 = 2 , BD1 = 3 ,

ϕ = π - угол между прямыми BD и AB . Так
2						1	1
как площадь основания АВВ1 пирамиды
ABB D равна			1	, а высота	A D равна 1, то
1		1	2		1	1
	1				1			1
V =		. Следовательно, r =					=		.
					2	3
6							6

Рис. 24

Ответ: 16 .

Литература

1.Самое полное издание типовых вариантов реальных заданий ЕГЭ 2010: Математика /авт.-сост. И. Р. Высоцкий, Д. Д. Гущин, П. И. Захаров и др.; под ред. А. Л. Семенова, И. В. Ященко. – М.: АСТ: Астрель, 2009. – (Федеральный институт педагогических измерений).

2.ЕГЭ. Математика. Тематическая тетрадь.

11класс / И. В. Ященко, С. А. Шестаков, П. И. Захаров. – М.: МЦНМО, Издательство

«Экзамен», 2010.

3.Единый государственный экзамен 2010. Математика. Универсальные материалы для подготовки учащихся / ФИПИ – М.: Интел- лект-Центр, 2010.

4.ЕГЭ 2010. Математика: Сборник тренировочных работ / Высоцкий И.Р., Захаров П.И., Панфёров В.С., Семёнов А.В., Сергеев И.Н., Смирнов В.А., Шестаков С.А., Ященко И.В.

–М.: МЦНМО, 2009.

5.ЕГЭ 2010. Математика. Типовые тестовые задания /под ред. А. Л. Семенова, И. В. Ященко. – М.: Издательство «Экзамен», 2010.

6.Ященко И. В., Шестаков С. А., Захаров П. И. Подготовка к ЕГЭ по математике в 2010 году. Методические указания. – М.:

МЦНМО, 2009.

7.www.mathege.ru - Математика ЕГЭ 2010 (открытый банк заданий)

24