МО практики

Разделив левую и правую части каждого из неравенств (5.4) на цену игры γ > 0 , получим

a

p1

+a

p2

+... + a

pi

+... + a

pm

≥1, j =

1,n.

γ

2 j γ

mj

γ

1 j

ij γ

(5.5)

При использовании обозначений

pi = x i =1,m.
γ	i	(5.6)
неравенства (5.5) примут вид

a

x

+a

21

x

2

+...+a x +...+a

m1

x

m

≥1;

11 1

i1 i

a12 x1 +a22 x2 +...+ai2 xi +...+am2 xm ≥1;

.............................................................

a

x

+a

2n

x

2

+...+a x +...+a

mn

x

m

≥1,

1n 1

1n i

где, очевидно, все xi ≥ 0 , так как p ≥ 0,

γ > 0.

i

Из равенства

p1 + p2 +... + pm =1

и в силу определения (5.6) следует, что переменные ( xi ) удовлетворяют условию

x1 + x2 +... + xi +... + xm = γ1 .

Учитывая, что игрок I стремится максимизировать γ , получаем

линейную функцию

f (x)= x1 + x2 +... + xi +... + xm → min .

(5.8)

51

Таким образом, задача решения игры свелась к следующей задаче

линейной

оптимизации:

найти

неотрицательные

значения

переменныххi ,i =

1,m,

минимизирующие линейную функцию (5.8) и

удовлетворяющие ограничениям (5.7).

Из решения задачи линейной оптимизации легко найти цену игры γ и

оптимальную стратегию p = ( p ,

p

2

,..., p

m

) игрока I:

I

1

γ =

1

; p =

xi

, i =

1,m.

m

m

i

∑xi

∑xi

i=1

i=1

В свою очередь, оптимальная стратегия игрока II

qII = (q1 ,q2 ,...,qn )

может быть найдена из выражения

		u j
	q j =		, j =1, n,
		n
		∑u j
		j=1

где u j - неотрицательные переменные задачи линейной оптимизации

f (u)=u1 +u2 +... +u j +... +un → max; a11u1 +a12u2 +... +a1 ju j +... +a1nun ≤1; a21u1 +a22u2 +... +a2 ju j +... +a2nun ≤1;

.................................................................

am1u1 +am2u2 +...+amju j +... +amnun ≤1,

которая является двойственной по отношению к задаче, представленной условиями (5.7) и (5.8).

В этой системе неравенств переменные u j = qγj , j =1, n.

Таким образом, оптимальные стратегии

52

pI = ( p1 , p2 ,..., pn ) и qII = (q1 , q2 ,..., qn )

игры с платежной матрицей aij ( m ×n) могут быть найдены путем

решения симметричной пары двойственных задач линейной оптимизации.

Исходная задача						Двойственная задача
m						f (u)= ∑n u j → max;
f (x)= ∑xi		→ min;
i=1						j=1
n						m
∑aiju j ≤1,i		=1,m;				∑aij xi ≥1, j =1, n;
j=1						i=1
xi ≥ 0, i =				.		u j ≥ 0, j =
	1, m
							1,n.

Цена игры и вероятности применения стратегий игроками I и II равны

γ =	1	=	1	;
			f (u)max
	f (x)min

pi =γ χi ,i =1,m, q j =γ u j , j =1,n.

5.6 Задачи для самостоятельного решения

Путем сведения двойственных задач линейного программирования найти оптимальные смешанные стратегии и цену игры матричных игр с такими платежными матрицами:

1)		-8		2		2)		-2			-5		3)		-1			5		4)		5		-6		5)		-3		1
		1		-8				-4			3				6			-4				-3		0				2		-1
6)		-3		3	3		7)		0			1		6		8)			1		0		-1		9)		1		0		-1
		-5		5	-3				7			1		3					0		2		1				-1		2		3
		3		-9	2				1			2		0					1		-1		3				-2		-3		3
															53

ЛИТЕРАТУРА

1.Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие /Под ред. В.И.Ермакова. – М.: ИНФРА-М, 2001 (и поздние издания)

2.Кузнецов А.В., Холод Н.И., Костевич Л.С. Руководство к решению задач по математическому программированию.– Мн: Вышэйшая школа,2001

3.Налбандян Ю.С. Руководство к решению задач по линейной алгебре. Метод. указания для студентов специальности «Менеджмент организаций». - Ростов-на-Дону: 2007.

4.Общий курс высшей математики для экономистов: Учебник/Под ред. В.И.Ермакова. – М.: ИНФРА-М, 2000 (и поздние издания).

5.Исследование операций в экономике / Под ред. Н.Ш.Кремера – М.: ЮНИТИ, 1997 (и поздние издания).

6.Солодовников А.С., Бабайцев П.А., Браилов А.В Математика в экономике. Ч.1. М.: Финансы и статистика, 2001

54