лекции, учебные пособия / конспект лекций / Lekcii / Лекция 4 (Муллачанов Д.М

Определение области компромиссов и сужение области компромиссов (продолжение лекции 3)

Рассмотрим некоторую точку в области решений R. Стоит задача определить все множество точек, которые доминируют над точкой.

Из рисунка видно, что нас интересуют точки лежащие выше и левее выбранной точки. Далее, если анализировать рисунок, то видно, что все лучшие решения лежат на границе области R, т.к. выше этих точек не лежат точки, удовлетворяющие допустимым решениям.

Проанализируем границу области R, на предмет все ли она содержит эффективное решение.

Как видно из рисунка эффективное решение могут содержать отрезки AB и EF. Эти отрезки могут претендовать на Парето оптимальность. Заметим, что точка B не входит в рассмотрение, т.к. она уступает точки E, которая имеет то же значение по параметру x2, но лучшее значение по x1.

Существует несколько способов определения точек компромисса.

Графически: смысл данного метода, что вся граница области решения проверяется на оптимальность с помощью равнобедренного треугольника. Одно из ребер треугольника «прикладывается» в границе, так чтобы ребро лежало на границе под углом 90⁰, далее смотрится точки пересечения нижнего ребра с областью допустимых значений, если пересечения нет, то данная область (покрытая треугольником) содержит возможные точки компромисса. Данный метод годиться, если 2 критерия определения области компромисса. Для обхода данного ограничения можно воспользоваться векторной оценкой: допустим, что у нас 4 критерия.

4	0	3	2
5	0	2	2
2	1	1	3
5	0	1	2

Если сравнивать данные критерии, то видно, что на Парето оптимальность можно сравнивать только 2 и 4 критерии, т.к. 2 критерий однозначно доминирует над 4. Следовательно, претенденты на оптимальность 1, 2, 3, т.к. пока мы не можем их сравнить.

Мы нашли область компромиссов, теперь нужно сузить эту область, как один из вариантов, это задание начальных минимальных критериев.

Метод Т-упорядочивания

Основан на том, что имеется некоторое представление о предпочтительности одних критериев другим.

Определение: Даны вектора критерий i, j, т.е. f_i и f_j равноценны, если для всех векторов Z и W оценки Z(Z_m) и W(Z_m) одинаковы по предпочтению независимо от δ. Т.е. если от одного критерия вычесть δ, а другому прибавить, система не измениться.

Критерий f_i более важен, чем критерий f_j, если оценка Z = (…) менее предпочтительная, чем W = (….). Как пример можно привести оценки в школе. Допустим, у ученика оценки по математике 3, а по физкультуре 5. После упорных занятий у него стало по математике 5, а по физкультуре 3, т.е. математика более предпочтительна.

Данное определение позволяет строить отношения доминирования более строгие, чем отношения по Парето.

Как видно из примера данные решения по Парето несоизмеримы, т.к. первые два критерия у каждого решения несоизмеримы. Однако, если принять, что первый критерий более предпочтительней, чем второй, тогда W можно улучшить: По Парето оптимальности Z доминирует над W’, а т.к. W’>W, то Z>W. Таким образом, путем переноса мы смогли сравнить несоизмеримые решения.

Т.о. этапы решения сводятся:

1. Нахождение области решений R;

2. Нахождение области компромиссов (областей Парето оптимальности);

3. Сужение области компромиссов (области Парето);

4. Поиск решения.

Способы поиска решений:

1. Привидение векторного показателя к скалярному;

2. Ранжирование критерия по важности;

3. Сравнение эффективности относительно затрат (допустим, ввести денежный эквивалент);

4. (Для выч. систем) глубокое изучение системы и выявление взаимосвязей между ними.

Подходы к решению векторных задач

Принцип равенства

Имеется некоторая область решений R. Легко определяется область компромиссов.

В данном случае все просто, прямая проведенная из центра, т.е. на этой прямой w1=w2. Т.о. точка пересечения с границей R и есть искомое решение. Однако, следует учитывать, что область R м.б. другого вида и прямая не будет пересекать R.

Принцип Максимина

В векторе решений (x₁,x₂,…,x_n) ищем минимальное значение, стараемся найти решение позволяющее увеличить x_min.

Принцип главного критерия

Среди всех критериев выделяется самый главный, и ищем решение, где этот критерий максимален, а остальные вписываются в ограничения.