отчеты по лабораторным работам / лабораторная работа № 1 / lab1_var6 / lab1_var6

\documentclass[a4paper,11pt, fleqn]{article}
\usepackage[warn]{mathtext}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{ucs}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{itmo}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{floatflt}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{listings}
\usepackage{cite}
\usepackage{indentfirst} %Отступ в абзацах
% title
\author{Быковский Сергей}
\group{4105}
\title{Лабораторная работа №1}
\theme{Многокритериальный выбор структуры вычислительной системы}
\prepod{Богатырев В.А.}
\begin{document}
% % Title here
\maketitle
\tableofcontents

\newpage
\pagestyle{plain}
\section{Исходные данные}
\begin{tabular}{lll}
\(P_r=0.9\)& \(P_m=0.93\)& \(P_k=0.94\) \\
\(C_r=5\) &\(C_m=6\) &\(C_k=3\) \\
\(V_r=3\)& \(V_m=3\)& \(V_k=1\)
\end{tabular}

\section{Расчет структур}
\subsection{Структура 13}
\includegraphics[scale=0.6]{13.png}
\includegraphics[scale=0.6]{13p.png}

\subsubsection{Оценка надежности}
\[P=P_k(1-(1-P_r)^2)(1-(1-P_kP_m)^2)=0.916\]
\subsubsection{Предельно допустимая итенсивность}
\[\lambda(\lambda_0)=0.7\lambda_0\]

Given

\(\frac{\lambda_0V_k}{2}<1\) 
\(\frac{\lambda_0V_m}{2}<1\)
\(\frac{\lambda_0V_r}{2}<1\)
\(\lambda_0V_k<1\)

\[L=Maximize(\lambda, \lambda_0)=0.667\]
\[\lambda(L)=0.467\]

\subsubsection{Среднее время пребывания запросов в системе}

\[T_{km}=\frac{V_k}{1-\frac{\lambda(L)V_k}{2}}+\frac{V_m}{1-\frac{\lambda(L)V_m}{2}}\]

\[T=\frac{V_k}{1-\lambda(L)V_k}+\frac{V_r}{1-\frac{\lambda(L)V_r}{2}}+T_{km}=23.179\]

\subsubsection{Затраты на построение системы}

\[C=3C_k+2C_r+2C_m=31\]

\subsection{Структура 18}
\includegraphics[scale=0.6]{18.png}
\includegraphics[scale=0.6]{18p.png}

\subsubsection{Оценка надежности}
\[P=P_k(1-(1-P_r)^3)(1-(1-P_kP_m)^3)=0.937\]
\subsubsection{Предельно допустимая итенсивность}
\[\lambda(\lambda_0)=0.7\lambda_0\]

Given

\(\frac{\lambda_0V_k}{3}<1\) 
\(\frac{\lambda_0V_m}{3}<1\)
\(\frac{\lambda_0V_r}{3}<1\)
\(\lambda_0V_k<1\)

\[L=Maximize(\lambda, \lambda_0)=1\]
\[\lambda(L)=0.7\]

\subsubsection{Среднее время пребывания запросов в системе}

\[T_{km}=\frac{V_k}{1-\frac{\lambda(L)V_k}{3}}+\frac{V_m}{1-\frac{\lambda(L)V_m}{3}}\]

\[T=\frac{V_k}{1-\lambda(L)V_k}+\frac{V_r}{1-\frac{\lambda(L)V_r}{3}}+T_{km}=24.638\]

\subsubsection{Затраты на построение системы}

\[C=4C_k+3C_r+3C_m=45\]

\subsection{Структура 21}
\includegraphics[scale=0.6]{21.png}
\includegraphics[scale=0.6]{21p.png}

\subsubsection{Оценка надежности}
\[P=P_k^2(1-(1-P_r)^2)(1-(1-P_m)^3)=0.874\]
\subsubsection{Предельно допустимая итенсивность}
\[\lambda(\lambda_0)=0.7\lambda_0\]

Given

\(\frac{\lambda_0V_m}{3}<1\)
\(\frac{\lambda_0V_r}{2}<1\)
\(\lambda_0V_k<1\)

\[L=Maximize(\lambda, \lambda_0)=0.667\]
\[\lambda(L)=0.467\]

\subsubsection{Среднее время пребывания запросов в системе}

\[T=\frac{2V_k}{1-\lambda(L)V_k}+\frac{V_r}{1-\frac{\lambda(L)V_r}{2}}+\frac{V_m}{1-\frac{\lambda(L)V_m}{3}}=19.375\]

\subsubsection{Затраты на построение системы}

\[C=2C_k+2C_r+3C_m=34\]

\subsection{Структура 10}
\includegraphics[scale=0.6]{10.png}
\includegraphics[scale=0.6]{10p.png}

\subsubsection{Оценка надежности}
\[P=P_k(1-(1-P_rP_m)(1-P_rP_k(1-(1-Pm)^2)))=0.916\]
\subsubsection{Предельно допустимая итенсивность}
\[\lambda(\lambda_0)=0.7\lambda_0\]

Given

\(\frac{\lambda_0V_k}{2}<1\) 
\(\frac{\lambda_0V_m}{2}<1\)
\(\frac{\lambda_0V_r}{2}<1\)
\(\frac{\lambda_0V_m}{4}<1\)
\(\lambda_0V_k<1\)

\[L=Maximize(\lambda, \lambda_0)=0.667\]
\[\lambda(L)=0.467\]

\subsubsection{Среднее время пребывания запросов в системе}

\[T_{a}=\frac{V_r}{1-\frac{\lambda(L)V_r}{2}}+\frac{V_m}{1-\frac{\lambda(L)V_m}{2}}\]

\[T_{b}=\frac{V_r}{1-\frac{\lambda(L)V_r}{2}}+\frac{V_k}{1-\frac{\lambda(L)V_k}{2}}+\frac{V_m}{1-\frac{\lambda(L)V_m}{4}}\]

\[T=\frac{V_k}{1-\lambda(L)V_k}++\frac{T_{a}+T_b}{2}=19.835\]

\subsubsection{Затраты на построение системы}

\[C=2C_k+2C_r+3C_m=34\]

\subsection{Структура 15}
\includegraphics[scale=0.6]{15.png}
\includegraphics[scale=0.6]{15p.png}

\subsubsection{Оценка надежности}
\[P=P_r(1-(1-P_k)^2)(1-(1-P_m)^2)=0.892\]
\subsubsection{Предельно допустимая итенсивность}
\[\lambda(\lambda_0)=0.7\lambda_0\]

Given

\(\frac{\lambda_0V_m}{2}<1\)
\(\frac{\lambda_0V_k}{2}<1\)
\(\lambda_0V_r<1\)

\[L=Maximize(\lambda, \lambda_0)=0.333\]
\[\lambda(L)=0.233\]

\subsubsection{Среднее время пребывания запросов в системе}

\[T=\frac{V_r}{1-\lambda(L)V_r}+\frac{V_k}{1-\frac{\lambda(L)V_k}{2}}+\frac{V_m}{1-\frac{\lambda(L)V_m}{2}}=15.747\]

\subsubsection{Затраты на построение системы}

\[C=2C_k+C_r+2C_m=23\]

\section{Определение области Парето}
\begin{tabular}{c|lll}
10&\(P=0.916\)& \(T=19.835\)& \(C=34\)\\
18&\(P=0.937\)& \(T=24.638\)& \(C=45\)\\
21&\(P=0.874\)& \(T=19.375\)& \(C=34\)\\
15&\(P=0.892\)& \(T=15.747\)& \(C=23\)\\
13&\(P=0.916\)& \(T=23.179\)& \(C=31\)
\end{tabular}

К области Парето принадлежат структуры 10, 18, 15, 13.

\section{Выбор наилучшего варианта построения системы}
Для некоторых расчетов возьмем следующие экспертные оценки показателей качества:

\(\alpha_P=0.3\), \(\alpha_T=0.2\), \(\alpha_C=0.5\)
\subsection{Главный критерий}

Возьмем в качестве главного критерия цену, а на остальные параметры наложим ограничения. Таким образом получаем:

\(C->min\) \(T<24\) \(P>0.9\)

Наилучшим вариантом оказалась структура 13.

\subsection{Минимаксный критерий}
Для начала перейдем к одинаковой природе показателей эффективности. Сделаем так, чтобы, чем меньше они были, тем лучше. Для этого вместо вероятности работоспособности возьмем вероятность неработоспособности. Таким образом будем оперировать следующими показателями:

\bigskip
\begin{tabular}{c|lll}
10&\(P=1-0.916=0.084\)& \(T=19.835\)& \(C=34\)\\
18&\(P=1-0.937=0.063\)& \(T=24.638\)& \(C=45\)\\
15&\(P=1-0.892=0.104\)& \(T=15.747\)& \(C=23\)\\
13&\(P=1-0.916=0.084\)& \(T=23.179\)& \(C=31\)
\end{tabular}

\bigskip
Пронормируем эти значения по \(P_{max} = 0.104\), \(T_{max}=24.638\), \(C_{max}=45\)

\bigskip
\begin{tabular}{c|lll|cc}
&P&T&C&max&min\\[2mm]\hline
10& 0.807 & 0.805 & 0.75 & \textbf{0.807} &\textbullet\\
18& 0.605 & 1     & 1    & 1&\\
15& 1     & 0.64  & 0.51 & 1&\\
13& 0.807 & 0.94  & 0.08 & 0.94&
\end{tabular}

Наилучшим вариантом оказалась структура 10.

\subsection{Мультипликативный критерий}
Рассчитаем мультипликативный критерий для каждой структуры.

\[k_{10}=P^{\alpha_P}\frac{1}{T}^{\alpha_T}\frac{1}{C}^{\alpha_C} = 0.092\]
\[k_{18}=P^{\alpha_P}\frac{1}{T}^{\alpha_T}\frac{1}{C}^{\alpha_C} = 0.077\]
\[k_{15}=P^{\alpha_P}\frac{1}{T}^{\alpha_T}\frac{1}{C}^{\alpha_C} = 0.116\]
\[k_{13}=P^{\alpha_P}\frac{1}{T}^{\alpha_T}\frac{1}{C}^{\alpha_C} = 0.093\]

Наилучшим вариантом оказалась структура 15.
\subsection{Аддитивный критерий}
\(C_{min}=23\) \(T_{min}=15.747\) \(P_{max}=0.937\)

\[k_{10}={\alpha_P}\frac{P}{P_{max}}+{\alpha_T}\frac{T_{min}}{T}+{\alpha_C}\frac{C_{min}}{C} = 0.79\]
\[k_{18}={\alpha_P}\frac{P}{P_{max}}+{\alpha_T}\frac{T_{min}}{T}+{\alpha_C}\frac{C_{min}}{C} = 0.683\]
\[k_{15}={\alpha_P}\frac{P}{P_{max}}+{\alpha_T}\frac{T_{min}}{T}+{\alpha_C}\frac{C_{min}}{C} = 0.987\]
\[k_{13}={\alpha_P}\frac{P}{P_{max}}+{\alpha_T}\frac{T_{min}}{T}+{\alpha_C}\frac{C_{min}}{C} = 0.8\]

Наилучшим вариантом оказалась структура 15.
\subsection{Метод последовательной уступки}
Для начала быберем за главный критерий цену \(C->min\).
Тогда наилучшим вариантом окажется структура 15.

Теперь ведем ограничения на цену, а за главный показатель примем надежность, то есть \(C<35\), \(P->max\). Наилучшими вариантами окажутся структуры 10,13.

Ограничим надежность и минимизируем время:\(C<35\), \(P->0.9\), \(T->min\).

Окончательным результатом является структура 10.

\subsection{Метод отклонения от идеала}
Зададим идеальные показатели качества.
\(C_i=20\), \(P_i=0.94\), \(T_i=14\).

Позчитаем отклонение от идеала для каждой сруктуры.

\[k_{10} = {\alpha_P}\frac{P_i-P}{P_i-P_{max}}+\frac{T-T_i}{T_{min}-T_i}{\alpha_T}+{\alpha_C}\frac{C-C_i}{C_{min}-C_i}=4.18\]
\[k_{18} = {\alpha_P}\frac{P_i-P}{P_i-P_{max}}+\frac{T-T_i}{T_{min}-T_i}{\alpha_T}+{\alpha_C}\frac{C-C_i}{C_{min}-C_i}=9.83\]
\[k_{15} = {\alpha_P}\frac{P_i-P}{P_i-P_{max}}+\frac{T-T_i}{T_{min}-T_i}{\alpha_T}+{\alpha_C}\frac{C-C_i}{C_{min}-C_i}=5.16\]
\[k_{13} = {\alpha_P}\frac{P_i-P}{P_i-P_{max}}+\frac{T-T_i}{T_{min}-T_i}{\alpha_T}+{\alpha_C}\frac{C-C_i}{C_{min}-C_i}=4.05\]

Наилучшей структурой можно признать структуру 13.

\section{Вывод}

Опираясь на результаты расчетов, можно выделить три конкурирующих структуры - это 15, 13, 10. Они оказались лучшими в одинаковом количестве методов поиска наилучшего варианта построения системы. То есть с помощью этих методов нам не удалось однозначно определить оптимальное решение.  15 выигрывает у 13 и 10 по времени пребывания заявок и стоимости, но проигрывает по надежности. Окончательно сравним данные системы по максимально допустимой интенсивности запросов, при которой система работает без перегрузок.  Максимальная интенсивность запросов в системе 15 меньше, чем 13 и 10, так как у 15 меньше обрабатывающих узлов. Таким образом можно сделать вывод, что на основе исследуемых методов поиска наилучшего решения не удалось выбрать наидучший вариант между структурами 13 и 10. 

\end{document}