Билеты по инутрам 4 семестр

Вопросы курса <<Дифференциальные и интегральные уравнения>> IV семестр. 2005 г Лектор: проф. Мирошин Н.В.

1. Понятие устойчивости решения ОДУ и системы ОДУ по Ляпунову.

Устойчивость линейных систем ОДУ с постоянными коэффициентами.

2. Функция Ляпунова. Теорема Ляпунова об устойчивости нулевого решения системы ОДУ.

3. Теорема Четаева о неустойчивости.

4. Система ОДУ, симметричная форма записи системы ОДУ. Первые интегралы, критерий первого интеграла.

5. Связь первого интеграла системы уравнений характеристик с решениями однородного уравнения с частными производными первого порядка.

6. Теорема об общем решении линейного однородного уравнения в частных производных первого порядка.

7. Квазилинейное уравнение в частных производных первого порядка.

Характеристики. Теорема об общем решении.

8. Задача Коши для квазилинейного уравнения в частных производных первого порядка.

9. Интегральные уравнения Вольтерра и Фредгольма второго рода в пространстве непрерывных

функций. Существование и единственность решений интегральных уравнений Вольтерра.

10. Существование и единственность решения интегральных уравнений Фредгольма при малых значениях параметра.

11. Интегральное уравнение Фредгольма с вырожденным ядром. Сведение к системе ЛАУ. Теоремы Фредгольма.

12. Спектр и резольвента интегрального уравнения Фредгольма второго рода . Разрешающее ядро.

13. Вполне непрерывные, самосопряжённые операторы в евклидовом пространстве. Свойства собственных чисел и собственных функций вполне непрерывного, самосопряжённого оператора.

14. Теорема Гильберта-Шмидта.

15. Решение интегральных уравнений Фредгольма второго рода. ФормулыШмидта.

16. Интегральный оператор Фредгольма в пространстве С1о[а;b]. Условие самосопряжённости, вполне непрерывность.

17. Теорема Гильберта о равномерной сходимости ряда по собственным функциям эрмитово симметричного, непрерывного ядра.

18. Постановка краевых задач для ЛДУ второго порядка. Функция Грина. Теорема о существовании и единственности функции Грина.

19. Теорема Гильберта о решении краевой задачи для ЛДУ с помощью функции Грина,

20. Задача Штурма-Лиувилля, сведение к интегральному уравнению. Свойства собственных чисел и собственных функций задачи Штурма-Лиувилля.

21. Разложение решения неоднородной краевой задачи по собственным числам задачи Штурма-Лиувилля. Теорема Стеклова.