Коллоквиум по матану (Петрова, Бухарова) / Билет 3

Билет 3. Точная верхняя и нижняя грани числового множества. Теорема об их существовании у непустого ограниченного множества.

Множество ХR называется ограниченным сверху если М : xX X≤M ограниченного множества.

Множество ХR называется ограниченным снизу если m: xX x≥m. m-нижняя грань. m,M xX (m ≤ x ≤ M)

Наименьшая из верхних граней множества ХR называется точной верхней гранью Х. Обозначается sup X.

(S = sup x): = (xX x≤S)  (>0 x^*X: x^*>S-)

(S = sup x): = (xX x≤S)  (S^* < S x^*X: x^*>S^*)

Наибольшая из нижних граней множества XR называется точной нижней гранью Х. Обозначается inf X.

(I = inf x): = (xX x≥I)  (>0 x^*X: x^*< I+)

(I = inf x): = (xX x≥I)  (I^*>I x^*X: x^*<I^*)

Точная верхняя и нижняя грань может принадлежать и не принадлежать Х.

Х={xR, 0≤x<1}

Inf X = 0X; sup X = 1X

Теорема.

Всякое непустое множество ограниченное СВЕРХУ имеет единственную точную ВЕРХНЮЮ грань. Всякое непустое множество ограниченное СНИЗУ имеет единственную точную НИЖНЮЮ грань.

Док-во для точной верхней грани (для нижней – аналогично).

1. Существование: X = {yR: x≤y, xX} множество верхних граней

По условию теоремы Х и У непустые и такие что xX yY x≤y тогда по аксиоме 15* SR: x≤S≤ тогда из левой части => S – верхняя грань, из правой части => S-точная верхняя грань.

2. Единственность.

Пусть множество Х имеет 2 точные верхние грани S₁ и S₂ таких что S₁ ≠ S₂

Пусть для S₁<S₂ тогда из определения S₂=sup X следует что для S₁<S₂

x^*X, x^*>S₁ противоречит тому что S₁=sup X

***АКСИОМА 15. Аксиома полноты.

А15. Х и У пустые множества R xX; yY x≤y тогда сR (x ≤ c ≤ y)