Коллоквиум по матану (Петрова, Бухарова) / Билет 17

Билет 17. Свойства пределов функции в точке: единственность предела, локальная ограниченность, сохранение знака.

ДОРИСОВАТЬ В ПЕРВОЙ И ВТОРОЙ СТРОЧКЕ ВТОРОГО ДОКВА И ДАЛЬШЕ ДЛЯ U

Теорема о единственности предела. Если функция f(x) имеет предел в точке х=а, он единственный.

● Предположим противное. Пусть  2 предела lim(x->a)f(x)=b₁; lim(x->a)f(x)=b₂; b₁≠b₂. Пусть b₁<b₂. Возьмем <(b₂-b₁)/2, тогда >0 б₁>0 xX: 0<|x-a|<б₁ => |f(x)-b₁|<; b₁-<f(x)<b₁+ и б₂ xX: 0<|x-a|<б₂ => |f(x)-b₂|<; b₂-<(x)<b₂+. Тогда для б=min{б₁, б₂} подчеркнутые неравенства выполняются одновременно, что невозможно, т.к. -окрестности не пересекаются. Противоречие. ●

Теорема о локальной ограниченности. Если функция f(x) имеет предел в точке х=а, то  окрестность этой точке, в которой функция ограничена.

● Пусть  lim(x->a)f(x)=b   б()>0: xX  (a) => |f(x)-b|<. Фиксируем . Тогда b-<f(x)<b+. Обозн. M=max{(b-), (b+)} => |f(x)|≤M x (a) ●

Теорема о сохранении знака. Если  lim(x->a)f(x)=b>0 то  (a) f(x)>0 x (a)

● Выберем <b/2, тогда по определению предела lim(x->a)f(x)=b  >0 б x (a) => |f(x)-b|< => b-<f(x)<b+ т.к. <b/2 то 0<b-<f(x) x (a). ●