Коллоквиум по матану (Петрова, Бухарова) / Билет 18

Билет 18. Предельный переход в неравенствах. Теорема о пределе промежуточной функции.

ВСТАВИТЬ ДЛЯ U

Теорема о предельном переходе в неравенствах.  lim(x->a)g(x)=b₁ , lim(x->a)f(x)=b₂ и x (a) g(x)≤f(x) то b₁≠b₂.

● Предположим противное. b₁>b₂, по усл. lim(x->a)g(x)=b₁  >0 б₁()>0 x (a) => |y(x)-b₁|< также для того же  б₂>0 x (a) => |f(x)-b₂|<. Обозначим б=min{0, б₁, б₂} тогда x (a) при <(b₁-b₂)/2. f(x)<b₁+<b₁-<g(x), что противоречит условию теоремы. ●

Теорема о пределе промежуточной функции. Пусть  lim(x->a)h(x)=b,  lim(x->a)g(x)=b и x (a): h(x)≤f(x)≤g(x) тогда  lim(x->a)f(x)=b.

● б=min{0, б₁, б₂} x (a) b-≤h(x)≤f(x)≤g(x)<b+ => |f(x)-b|< или lim(x->a)f(x)=b ●